福建省东山二中2018届高三上学期期中考试数学(文)试卷及答案

2017—2018学年东山二中高三上学期期中考试
数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．集合{}0lg |>=x x M ，{}
4|2
≤=x x N ，则N M ⋂（ ）
A. ()2,1
B. [)2,1
C.(]2,1
D.[]2,1
2．已知，其中i 是虚数单位，则
的虚部为（ ）
A． B.
C ．
D ．
3.设12018
20172018
1
2017
,log 2018,log 2017
a b c === 则（ ） A.c b a >> B.b c a >> C.a c b >> D.a b c >> 4.已知数列{}n a 为等比数列,且π422
7131=+a a a ,则()122tan a a 的值为 ( )
A.3±
B.3-
C.3
D.3
3
-
5．下列说法正确的是（ ）
A ．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的充分不必要条件
B ．
，“
”是“1>a ”的必要不充分条件
C ．命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”
D ．命题p ：“R x ∈∀，
2cos sin ≤+x x ”
，则p ⌝是真命题 6．已知实数y x ,
满足1
218y y x x y ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，则目标函数y x z
-=的最小值为( )
A ．6
B ．5
C ． 2-
D ．7
7．已知函数f(x)=Asin (ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<,x ∈R 的图象的一部分如上图所示,则函数f(x)的解析式是( )
()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=44sin 2.ππx x f A ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=441sin 2.πx x f B ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=341
sin 2.πx x f C
()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34
sin 2.ππ
x x f D
8.已知
2sin cos 2cos 3sin =-+α
αα
α，则2cos sin cos ααα+⋅=（ ）
A.
65 B.35 C.25 D.35
- 9. 已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）
A . B. C . D.
10. ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+uuu r uuu r uuu r 且OA AB
=u u u
r u u u r ，则向量BA uu u r
在向量BC uuu r 方向
的投影为（ ） A ．23-
B ．21-
C ．21
D ． 2
3
11.设等差数列的前
项和为
，且满足020>S ，021<S ，则
11a S ，2
2a S ，…， 1717
a S 中
最大的项为（ ）
A ． 1010
a S B ．1111a S C ． 1212a S D ．13
13a S
12.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-U ，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有
()()
'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）
A ．,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U
C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U D ．,0,44πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置上。

13.已知2=→
a ，若
，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛+•→→→
b a a ．
14.已知函数f(x)=ln(1+x)ax －的图象在x ＝1处切线与直线x +2y －1=0平行，则实数a 的值为 ．
15.已知x >0，y >0，且xy y x =+82且，则y x +的最小值是 ． 16．已知函数f （x ）=
（m ≠0），则下列结论正确的是
①函数f （x ）是奇函数，且过点（0，0）； ②函数f （x ）的极值点是x=±m ；
③当m ＜0时，函数f （x ）是单调递减函数，值域是R ；
④当m ＞0时，函数y=f （x ）﹣a 的零点个数可以是0个，1个，2个．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n
S ，求使
1415n S <的n 的最大值．
18．（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--= （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若2a =,求ABC ∆面积的最大值.
19、（本小题满分12分）某机械厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每年生产x 台,需另投入成本为()x C 万元,当年产量不足80台时,()x x x C 103
12+=（万元）；当年产量不小于80台时，
()1998750299503+-=x x x C （万元）.通过市场分析，若每台售价为50万元，该厂当年生产的
该产品能全部销售完.
（Ⅰ）写出年利润()x L 万元关于年产量x 台的函数解析式；
（Ⅱ）年产量为多少台时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少?
20. (本小题满分12分) 已知函数2
())2sin 1(0,0)2
x f x x ωϕ
ωϕωϕπ+=++-><<图像关
于y 轴对称，且相邻两对称轴间的距离为
2
π
. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移
6
π
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12（纵
坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当[,]126
x ππ
∈-时，求函数()g x 的值域.
21. （本小题满分12分）数列{}n a 中，)(,22,311*
+∈+==N n a a a n n ．
（1）求证：{}2+n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设2+=n n a n b ，n n b b b b S ++++=Λ321，证明：对∀n ∈N ，都有5
4
51<≤n
S ．
22．（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间． （Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0a b <<，求证：()()1
(1)
f b f a b a a a -<-+．
东山二中高三上学期期中考试数学（文科）参考答案
1、C 2. B 3.D 4.C 5. B 6.C 7.A 8.A 9.A 10. C 11.A 12.D 13. 4 ; 14. 1 ; 15. 18; 16. ①④． 17. (本小题满分10分)
（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，依题意可得
,02
61218
22
4321⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧==++d a d d a a a a a a a 即.............................................................................................3分
n a d a d n =∴==∴≠1,101Θ...........................................................
.......................................5分 (2) 由（1）可得()1
1
111+-=+=
n n n n b n
111111
3121211+-
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n S n Λ...........................................................8分
131415
14
111的最大值为令n n n ∴<∴<+-
..........................................................................10分 18．（本小题满分12分） 解:（Ⅰ）由正弦定理得:
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2
303060A C A C A C C
A A A A A ︒︒︒︒
⇔=++⇔
-=⇔-=
⇔-=⇔=
………………………………………6分
（Ⅱ）2
2
2
2cos ,a b c bc A =+-Q 22
42b c bc bc bc bc ∴=+-≥-=，
∴1sin 2S bc A ==
≤当且仅当b c =时，等号取到. ………………12分
19．（本小题满分12分）解：（1）由题意知：
()()
()()
⎪⎩
⎪⎨⎧∈≥-+--∈≤-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=**
N x x x x x N x x x x x x L ,8025019987502995050,80025010315032π ()
()
⎪⎩
⎪⎨⎧∈≥-+-∈-+-=**N x x x x N x x x x ,80199900030000,800250403132
ππ …………………………4分 （2）当800<≤x 时，()()950603
125040312
2+--=-+-
=x x x x L ∴当60=x 时，()x L 取到最大值()95060=L …………………………6分 当80≥x 时，()1999000300003
-+-=x x x L
∴()()
()()10010031000033000032
2
/
-+-=--=+-=x x x x x L ……8分
∴当10080πx ≤时，()0/
φx L ，函数()x L 在[)100.80上为增函数；
当100φx 时，()0/
πx L ，函数()x L 在()+∞,100上为减函数；
∴ 函数()x L 在100=x 处取到最大值()1000100=L ……………10分
∴ 综上所述：当100=x 时，函数()x L
取到最大值()1000100=L 。

………11分
答：当年产量为100台时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是1000万元。

…………………12分
20.(本小题满分12分)
（Ⅰ）由题意得：，——2分
因为相邻两对称轴间的距离为，所以
——————3分
又因为函数关于
轴对称，故是偶函数，所以
，
且，所以
，故函数————————4分
要使单调递增，需满足
()()Z k k x k Z k k x k ∈≤≤+-
∴∈≤≤+-,2
,222πππ
πππ
所以函数
的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-
πππ,2. ————————8分
（Ⅱ）由题意可得：， ——
——————10分
(),134cos 213,32346,12,34cos 2≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππππππx x x x x g Θ，
，即函数
的值域为
————————12分
21. （本小题满分12分）
解：（1）证明：由a n+1=2a n+2（n∈N）, 得a n+1+2=2（a n+2），————————2分
∵a1=3，a1+2=5，
∴{a n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，————————3分
a n+2=5×2n-1，
∴a n=5×2n-1-2．————————4分
（2）证明：由（1）可得： 1
2
5-⨯=
n n n
b , ⎪⎭⎫
⎝⎛++++=-1222322151n n n S Λ① ————————5分
⎪⎭⎫
⎝⎛++++=n n n S 2232221512132Λ② ————————6分 ①-②可得：.22252221121152221212115212⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=-n n n n n n n n n S Λ ————9分
5
4
<
∴n S ————————10分 又,02
1
5211>+⨯=-++n n n n S S Θ
∴数列{S n }单调递增，5
11=
≥S S n ， ∴对,*
∈∀N n 都有5
4
51<≤n S ． ————————12分
22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）
当m≤0时，f′（x ）＞0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； …2分 当m ＞0时，由
则
，则f （x ）在
上单调递增，在
上单调递减．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立； 当m ＞0时，
只需m ﹣lnm ﹣1≤0 …6分
令g（x）=x﹣lnx﹣1，
则，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分（Ⅲ）
由0＜a＜b得，
由（Ⅱ）得：，则，
则原不等式成立．…12分。