第7节二项分布、超几何分布、正态分布--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

高考总复习
2025
第7节 二项分布、超几何分布、正态分布
课标解读
1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.理解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.
3.理解服从正态分布的随机变量,借助频率直方图的几何直观,理解正态分布的特征.
4.理解正态分布的均值、方差及其含义.
1 强基础 固本增分
知识梳理
伯努利试验 1.n 重伯努利试验与二项分布
(1)n 重伯努利试验
一个可能结果只有两种的随机试验,称为 .
一般地,在相同条件下重复做n 次伯努利试验,且各次试验相互独立,那么称这样的试验为n 重伯努利试验.
(2)二项分布
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
如果随机变量X 服从两点分布,那么E(X)=
,D(X)= . 如果X~B(n,p),那么E(X)= ,D(X)=
. X~B (n ,p )
p p (1-p ) np np (1-p ) 微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:
(1)在一次试验中,事件A 发生与不发生,二者必居其一,且A 发生的概率不变;
(2)试验可以独立重复进行n 次.
2.超几何分布
一般地,设有N件产品,其中有M件次品.从中任取n件产品,用X表示取出的n 件产品中次品的件数,那么
其中M≤N,n≤N,m=max{0,n-(N-M)},r=m in{n,M},n,M,N∈N+.
公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0.
若随机变量X的分布列具有(*)式的形式,则称分布列
为超几何分布列.
如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分布,记作
X~H(N,M,n).
微点拨超几何分布与二项分布的关系
不同点联系
假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即
X~B(n,p)(其中p= );若采用不放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n 远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似
3.正态分布
(1)正态曲线
函数p(x)= (-∞<x<+∞),其中μ和σ为参数,且μ∈R,σ>0,p(x)称
为概率密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态分布密度曲线特点
图1 图2
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
④当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
⑤σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡;
⑥曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1.
(3)标准正态分布
均值μ=0,方差σ2=1时的正态分布称为标准正态分布,其密度函数记为φ(x)= (-∞<x<+∞),其图象如图所示,随机变量X服从标准正态分布,简记为X~N(0,1).
(4)3σ原则
假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N+,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k 有关的定值.特别地,
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
常用结论
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.二项分布是一个概率分布,其概率计算公式相当于(a +b )n 二项展开式的通项,其中a =p ,b =1-p .( )
2.从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X 服从超几何分
布.(
)3.两点分布是二项分布当n =1时的特殊情况.( )4.正态曲线落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的部分对应事件的概率很小,接近于0.( )× √ √ √
题组二回源教材
5.(湘教版选择性必修第二册习题3.3第5题改编)已知某批材料的材料强度X服从正态分布N(200,182),现从中任取一件,则取得的材料的强度不低于
B
182但又不高于218的概率为( )
(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.0.997 3
B.0.682 7
C.0.841 3
D.0.815 9
解析由题意,这批材料的材料强度X服从正态分布N(200,182),得
μ=200,σ=18,所以P(182≤X≤218)=P(200-18≤X≤200+18)≈0.682 7,故选B.
6.(湘教版选择性必修第二册3.2.2节第138页练习第2题改编)某车间有10台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10 k W,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动12 m in,且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张,供电部门只提供50 k W的电力,机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班8 h内,不能正常工作的时间大约是多少?这说明了什么?
解设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ,由于机床类型相同,且机床的开动与否相互独立,因此ξ~B(10,p).其中p是每台机床正常工作的概
7.(湘教版选择性必修第二册3.2.2节第140页练习第2题)设在15个同类型的零件中有2个次品,每次任取1个零件,共取3次,用X表示取出的3个零件中次品的个数.
(1)若每次取出后不放回,求X的分布列;
(2)若每次取出后重新放回,求X的分布列.
解(1)若每次取出后不放回,则随机变量X服从参数为N=15,M=2,n=3的超
故X的分布列为
题组三连线高考
8.(2022·新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,
0.14　
则P(X>2.5)= .
解析由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.
9.(2006·重庆,理18)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求:
(1)随机变量ξ的分布列;
(2)随机变量ξ的均值.
由此可得ξ的分布列为
2 研考点 精准突破
考点一 二项分布及其应用
例1已知某学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人.
(1)若从该校排球队随机抽取3人拍宣传海报,求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率;
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练,且在训练阶段进行了多轮测试,规定:在一轮测试中,这3个动作至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.已知在某一轮测试的3个动作中,甲
解(1)设A表示事件“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”,则有
[对点训练1](2024·安徽蚌埠模拟)某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在100天里的销售记录,绘制了以下频数分布表:
日销售量
(单位:个)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)频数1525302010
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;
(2)用ξ表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数,求随机变量ξ的分布列、均值E(ξ)和方差D(ξ).
续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”,则P(A)=0.62×0.15+0.15×0.62=0.108.
ξ的分布列为
ξ0123
P0.3430.4410.1890.027 E(ξ)=3×0.3=0.9,D(ξ)=3×0.3×(1-0.3)=0.63.
考点二 超几何分布及其应用
例2(2024·青海西宁模拟)某机构针对延迟退休这一想法进行了网上调查,
所有参与调查的人中,持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.
年龄支持保留不支持
50岁以下8 000 4 000 2 000
50岁及以上 1 000 2 000 3 000 (1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n个人,已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人,求n的值;
(2)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取10人,并将这10人看成一个总体,从这10人中任意选取3人,求50岁以下人数ξ的分布列和数学期望.
解(1)参与调查的总人数为8 000+4 000+2 000+1 000+2 000+3 000
=20 000,其中从持“不支持”态度的人数2 000+3 000=5 000中抽取了30人,所以n=20 000 =120.
(2)在持“不支持”态度的人中,50岁以下和50岁及以上的人数之比为2∶3,因此抽取的10人中,50岁以下与50岁及以上的人数分别为4人,6人,故ξ的
ξ的分布列为
[对点训练2](2024·河南洛阳模拟)某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况,随机抽查了150名学生,并统计出他们在家的锻炼时长,得到频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值,并估计锻炼时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(2)从锻炼时长分布在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生,再从这7名学生中随机抽出3人,记3人中锻炼时长不少于40分钟的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
解(1)由题意可得(0.006+0.010+2a+0.024+0.036)×10=1,解得a=0.012,样本数据在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]内的频率分别为
0.06,0.10,0.12,0.36,0.24,0.12,则平均值为
0.06×5+0.10×15+0.12×25+0.36×35+0.24×45+0.12×55=34.8,故估计锻炼时长的平均数为34.8.
所以X的分布列为
考点三 正态分布及其应用(多考向探究预测)
考向1正态分布的概率计算
例3(1)已知X服从正态分布N(2,σ2),且P(1≤X≤2)=0.4,则P(X>3)= . 0.1
解析由题知μ=2,故P(X≥2)=0.5,又P(2≤X≤3)=P(1≤X≤2)=0.4,故
P(X>3)=P(X≥2)-P(2≤X≤3)=0.5-0.4=0.1.
(2)(2024·云南昆明模拟)某校高三年级近期进行一次数学考试,参加考试的学生人数有1 000人,考试成绩X~N(80,25),则该年级学生中数学成绩在90分
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以上的人数约为 .(运算结果四舍五入到整数)
(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ+2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
解析由成绩X~N(80,25)知,μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85,μ-2σ=70,μ+2σ=90,所以P(75≤X≤85)≈0.682 7,P(70≤X≤90)≈0.954 5,所以P(X>90) (1-0.954 5) =0.022 75,则该年级学生中数学考试成绩在90分以上的人数为
1 000×0.02
2 75≈23.
[对点训练3](多选题)(2024·安徽安庆模拟)某中学高一(2)班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中,测量某种物体的质量X服从正态分
ABD　
布N(10,0.04),则下列判断正确的是( )
A.P(X>10)=0.5
B.P(X>10.2)=P(X<9.8)
C.P(X>9.6)<P(X<10.2)
D.P(9.4<X<10.2)=P(9.8<X<10.6)
解析因为X服从正态分布N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,所以
P(X>10)=P(X<10)=0.5,P(X>10.2)=P(X<9.8),P(9.4<X<10.2)=P(9.8<X<10.
6),故A,B,D正确;
根据正态分布密度曲线的对称性可得P(X>9.6)=P(X<10.4)>P(X<10.2),C 错误.故选ABD.
考向2正态分布的实际应用
例4(2024·广东省六校联考)某商场在五一假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,闯关活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2 500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;
②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解(1)设A i表示事件“第i次通过第一关”,B i表示事件“第i次通过第二关”,甲可以进入第三关的概率为P,由题意知
(2)设此次闯关活动的分数记为X~N(μ,σ2).
[对点训练4]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ, μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内从该生产线上抽取的16个零件的尺寸:
9.95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04
10.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95。