第23讲：解析几何(二)圆锥曲线 作业

第二十三讲 解析几何（二）圆锥曲线
课后作业
【1】（2008武大）设P 为椭圆22
:162x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆C 的左，右焦点，
若12:5:1PF PF =，则
12PF F 的面积为( )
【2】已知点(2,2)A -，点F 是椭圆22
1259x y +=的右焦点，P 是椭圆上的一动点，求
5
4
PA PF +
的最小值。

【3】过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上一点P 作椭圆C 的切线l ，设12,F F 是椭圆C 的
左，右焦点，12,F F 到l 的距离分别为12,d d 。

求证：2
12d d b ⋅=
【4】上述结论能否类比于双曲线中，证明你的结论。

【5】椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点分别记为1F 、2F ，离心率12e =，过1
F 的直线交椭圆与,A B 两点，且2ABF 的周长为8 (1)求椭圆E 的方程
(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且仅有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，试探究：在平面直角坐标系内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求点M 坐标，若不存在，请说明理由。

第二十三讲 解析几何（二）圆锥曲线
参考答案
【1】（2008武大）设P 为椭圆22
:162x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆C 的左，右焦点，
若12:5:1PF PF =，则
12PF F 的面积为( )
【答案】A
【解析】设P 到左准线3x =-的距离为1d ，到右准线3x =的距离为2d 。

则有12:5:1d d =。

设点P 坐标(,)x y ，则13d x =+，23d x =-，于是35(3)x x +=-，解得2x =。

将点P 坐标(2,)y 代入椭圆方程，解得3
y =±。

故12PF F 的面积为12123
F F y ⋅⋅=
，选A
【2】已知点(2,2)A -，点F 是椭圆22
1259x y +=的右焦点，P 是椭圆上的一动点，求
5
4
PA PF +
的最小值。

【解析】椭圆22
1259x y +=的离心率45e =，右准线25:4l x =。

故45l P PF d →=。

于是537
44
P l A l PA PF PA d d →→≥+=+=。

当且仅当点P 在A 到l 的垂线段上时，54PA PF +取得最小值37
4。

【3】过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上一点P 作椭圆C 的切线l ，设12,F F 是椭圆C 的
左，右焦点，12,F F 到l 的距离分别为12,d d 。

求证：2
12d d b ⋅=
【解析】设点00(,)P x y ，则002
2:
1x x y y
l a b
+=。

根据点到直线距离公式，由1(,0)F c -，2(,0)F c ，
1d =
，2d =
0[,]a x a ∈-，有
02(1,1)x c
a
∈-，
于是0211x c d +=
，0221x c d -=2
021*******
1x c a d d x y a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=+。

由于点00(,)P x y 在椭圆22
22:1x y C a b +=上，有22
00221x y a b
+=。

于是222222
0000
044422242111x y x x c x a b a b a b a b
⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭
故2
022122200
44
1x c a d d b x y a b ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭⋅==+。

【4】上述结论能否类比于双曲线中，证明你的结论。

【解析】结论可以类比为：过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点P 作双曲线C 的切
线l ，设12,F F 是双曲线C 的左，右焦点，12,F F 到l 的距离分别为12,d d ，则有2
12d d b ⋅=。

证明：设点00(,)P x y ，则002
2:
1x x y y
l a b
-=。

根据点到直线距离公式，由1(,0)F c -，2(,0)F c ，
1d =
，2d =
0,x a c a ≥>，有
021x c
a
>， 于是2
2
000022221111x c x c x c x c a a a a ⎛⎫⎛⎫
--⋅-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
而由于点00(,)P x y 在双曲线22
22:1x y C a b -=上，有22
00221x y a b
-=。

于是222222
000004442242211
1x y x x c x a b a b a a b b ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭。

故2
12d d b ⋅=。

【5】椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点分别记为1F 、2F ，离心率12e =，过1
F 的直线交椭圆与,A B 两点，且2ABF 的周长为8 (1)求椭圆E 的方程
(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且仅有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，试探究：在平面直角坐标系内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求点M 坐标，若不存在，请说明理由。

【解析】(1)2ABF 的周长为22AB AF BF ++，而其中11AB AF BF =+， 故11228AF BF AF BF +++=，由于12122AF AF BF BF a +=+=，故48a =。

于是2a =，而离心率1
2
e =
，故1c =
，从而b = 故椭圆E 的方程为22
143
x y +=。

(2)由题意可知，直线l 与椭圆E 相切，设点00(,)P x y ，则00:143
x x y y
l +=。

联立直线4x =，解得00
3(1)
(4,
)x Q y - 设点M 存在，其坐标为11(,)x y ，则有0PM QM ⋅=。

即01011010
3(1)
()(4)()()0x x x x y y y y ---+--
= 整理可得22
010*******
3(1)
(4)4()330x x x x x y y y x y --+++-+
+-=。

考虑到只有0010
3(1)
()x y y y -+
项中有0y 出现，当0y 变化时，等式恒成立，故必有10y =。

于是2
10100(4)4330x x x x x -+++-=，当0x 变化时恒成立。

整理可得2
1011(1)(43)0x x x x -++-+=，
故必有12
1110
430
x x x -+=⎧⎨
-+=⎩，解得11x =。

故(1,0)M 满足条件。