汝州市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

汝州市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如果过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆
有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ）
A ．7049
B ．7052
C ．14098
D ．14101
3． 已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）
[1,1]x ∈-[0,2]y ∈(,)P x y 20210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
………A.
B.
C.
D.
34
38
14
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.
4． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ）A ．16
B ．﹣16
C ．8
D ．﹣8
5． 设集合（
）
A ．
B
．
C ．
D ．
6． 设集合，，则（ ）
{}|22A x R x =∈-≤≤{}|10B x x =-≥()R A B = ðA.
B.
C.
D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤<{}|21x x -≤≤{}
|22x x -≤≤【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.
7． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A ．512个
B ．256个
C ．128个
D ．64个
8． 已知，，其中是虚数单位，则
的虚部为（ ）i z 311-=i z +=32i 2
1
z z
A ．
B ．
C ．
D ．
1-5
4i -i 5
4【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
9． 已知函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），则{a n }的前28项之和S 28=（ ）
A ．7
B ．14
C ．28
D ．56
10．如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．
①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ，使CD 与AB
垂直并且相等
④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③
D ．③④
二、填空题
11．设函数()()()31
321x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩
，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是
．
12．函数的定义域是，则函数的定义域是__________.111]()y f x =[]0,2()1y f x =+13．设m 是实数，若x ∈R 时，不等式|x ﹣m|﹣|x ﹣1|≤1恒成立，则m 的取值范围是 ．　
14．已知α为钝角，sin （
+α）=，则sin （
﹣α）= ．
15．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．16．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．
三、解答题
17．（本小题满分12分）
的内角所对的边分别为，，ABC ∆,,A B C ,,a b c (sin ,5sin 5sin )m B A C =+
垂直.
(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--
（1）求的值；
sin A
（2）若，求的面积的最大值.
a =ABC ∆S 18．（本小题满分12分）已知函数（）.
2
()(21)ln f x x a x a x =-++a R ∈ （I ）若，求的单调区间；1
2
a >
)(x f y = （II ）函数，若使得成立，求实数的取值范围.
()(1)g x a x =-0[1,]x e ∃∈00()()f x g x ≥a 19．已知函数
．
（1）求f （x ）的周期．（2）当时，求f （x ）的最大值、最小值及对应的x 值．
20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .
12
（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －
1＝0，求m 的值；
（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．
21．（14分）已知函数，其中m ，a 均为实数．
1
()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=（1）求的极值； 3分
()g x （2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值； 1,0m a =<12,[3,4]x x ∈12()x x ≠212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-a 5分
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，2a =0(0,e]x ∈(0,e]1212,()t t t t ≠120()()()f t f t g x ==求的取值范围． 6分
m 22．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，解关于的不等式
；
（3）当
时，如果函数
不存在极值点，求的取值范围.
汝州市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，
∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，
整理，得k2，
解得﹣≤k≤．
∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．
2．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，
∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
3．【答案】B
【解析】
4． 【答案】B
【解析】解：∵f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，∴f （﹣2）﹣g （﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．即f （2）+g （2）=f （﹣2）﹣g （﹣2）=﹣16．故选：B ．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．　
5． 【答案】B
【解析】解：集合A 中的不等式，当x ＞0时，解得：x ＞；当x ＜0时，解得：x ＜，集合B 中的解集为x ＞，则A ∩B=（，+∞）．故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　
6． 【答案】B 【解析】易知，所以，故选B.{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥()R A B = ð{}|21
x x -≤<7． 【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了=6次，
则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个．
故选：D ．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．　
8． 【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，，所以的虚部为.i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=2
1z z 549． 【答案】C
【解析】解：∵函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．∴函数f （x ）关于直线x=1对称，
∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），∴a 6+a 23=2．
则{a n }的前28项之和S 28==14（a 6+a 23）=28．
故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n 项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】D
【解析】
【分析】对于①可构造四棱锥CABD 与四面体OABC 一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥；对于③取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r ，可判定④的真假．
【解答】解：∵四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD 与四面体OABC 一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r 即可∴存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，故④正确故选D
二、填空题
11．【答案】11[3)
32⎡⎤
+∞⎢⎥⎣⎦
，，【解析】
考点：1、分段函数；2、函数的零点.
【方法点晴】本题考查分段函数，函数的零点，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、数形结合思想和转化化归思想，综合性强，属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想，对()3x
a≥且
x<时也轴有一个交点式，还需31 =-于轴的交点个数进行分情况讨论，特别注意：1.在1
g x a
=和2
x a
=，两交点横坐标均满足1
x≥.
h x中3
x a
g x与轴无交点，但()
a<；2. 当()130
21
g a
=-≤时，()
-
12．【答案】[]1,1
【解析】
考点：函数的定义域.
13．【答案】　[0，2]　．
【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，
故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，
求得0≤m≤2，
故答案为：[0，2]．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
14．【答案】　﹣　．
【解析】解：∵sin（+α）=，
∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]
=sin（+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜﹣，
∴sin（﹣α）＜0，
∴sin（﹣α）=﹣
=﹣
=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
15．【答案】　3　．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，
∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
16．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r
令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）4．4
5
【解析】
试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sin ,sin ,sin A B C 的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得，由同角关系得；（2）由于已cos A sin A 知边及角，因此在（1）中等式中由基本不等式可求得，从而由公式　A 2
2
2
65
bc
b c a +-=
10bc ≤可得面积的最大值．
1
sin 2S bc A =试题解析：（1）∵，垂直，(sin ,5sin 5sin )m B A C =+ (5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--
∴，
222
5sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∙=-+-=
考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．111]18．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．
请19．【答案】
【解析】解：（1）∵函数．
∴函数f（x）=2sin（2x+）．
∴f（x）的周期T==π
即T=π
（2）∵
∴，
∴﹣1≤sin（2x+）≤2
最大值2，2x=，此时，
最小值﹣1，2x =
此时
【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．　
20．【答案】
【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ，设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0），由h （x ）＝ln x 得h ′（x ）＝，（x ＞0），1x
则有，
{
1
x 0＝m
mx 0－ln x 0－1＝0)
解得x 0＝m ＝1.∴m 的值为1.
（2）φ（x ）＝x 2＋x ＋a －e x ，
12
φ′（x ）＝x ＋1－e x ，令t （x ）＝x ＋1－e x ，∴t ′（x ）＝1－e x ，
当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0，x ＝0时，t ′（x ）＝0.
∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0，即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立，即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减，且当a ＝1有φ（0）＝0.
∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0，
当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0，
即（a －1）（a －）＜0，
2e －3
2
∴1＜a ＜，即a 的取值范围为（1，）．
2e －322e －3
2
21．【答案】解：（1），令，得x = 1．
e(1)
()e x x g x -'=()0g x '=列表如下：
x
（-∞，1）
1
（1，+∞）
∵g （1） = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． 3分
()g x （2）当时，，．
1,0m a =<()ln 1f x x a x =--(0,)x ∈+∞∵在恒成立，∴在上为增函数． 设，∵> 0()0x a f x x -'=>[3,4]()f x [3,4]1e ()()e x
h x g x x ==12e (1)()x x h x x --'=
在恒成立，
[3,4]∴在上为增函数． 设，则等价()h x [3,4]21x x >212111
()()()()
f x f x
g x g x -<
-
于，2121()()()()f x f x h x h x -<-即．
2211()()()()f x h x f x h x -<-设，则u （x ）在为减函数．
1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅[3,4]∴在（3，4）上恒成立． ∴恒成立．
21e (1)()10e x
a x u x x x -'=--⋅≤11
e e x x a x x
---+≥设，∵=，x ∈[3，4]，
11e ()e x x v x x x --=-+112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+1
21131e [(]24
x x ---+∴，∴< 0，为减函数．
1221133
e [()e 1244
x x --+>>()v x '()v x ∴在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -．
()v x 22
e 3
∴a ≥3 -，∴的最小值为3 -． 8分
22e 3a 22
e 3（3）由（1）知在上的值域为． ()g x (0,e](0,1]∵，，
()2ln f x mx x m =--(0,)x ∈+∞当时，在为减函数，不合题意．
0m =()2ln f x x =-(0,e]当时，，由题意知在不单调，0m ≠2()
()m x m f x x
-'=
()f x (0,e]所以，即．①
20e m <<2
e
m >此时在上递减，在上递增，
()f x 2(0,m 2
(,e)m
∴，即，解得．②
(e)1f ≥(e)e 21f m m =--≥3
e 1
m -≥由①②，得．
3
e 1
m -≥()
g x '+0-g （x ）
↗
极大值
↘
∵，∴成立．
1(0,e]∈2
((1)0f f m =≤下证存在，使得≥1．
2
(0,]t m
∈()f t 取，先证，即证．③
e m t -=e 2
m m
-<2e 0m m ->设，则在时恒成立．
()2e x w x x =-()2e 10x w x '=->3
[,)e 1
+∞-∴在时为增函数．∴，∴③成立．
()w x 3[,)e 1+∞-3
e ))01
((w x w ->≥再证≥1．
()e m f -∵，∴时，命题成立． e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥
3
e 1
m -≥
综上所述，的取值范围为． 14分
m 3
[,)e 1
+∞-
22．【答案】（1）单调递增区间为 ；单调递减区间为
．（2） （3）【解析】试题分析：把
代入由于对数的真数为正数，函数定义域为
，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，
，分
和
两种情
况解不等式；当时，
，求导
，函数不存在极值点，只需
恒成立，根据这个要求得出的范围.
试题解析：
（2）时，．
当时，原不等式可化为．
记，则，
当时，，
所以在单调递增，又，故不等式解为；当时，原不等式可化为，显然不成立，
综上，原不等式的解集为．。