荔城区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

荔城区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 在△ABC
中，已知，则∠C=（ ）
A ．30°
B ．150°
C ．45°
D ．135°
2． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A ． 2
B ．4
C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等. 3． 函数f （x
﹣）=x 2
+，则f （3）=（ ） A ．8
B ．9
C ．11
D ．10
4． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B
．
C
．
D ．1
5． 在函数
y=中，若f （x ）=1，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．1
或 C ．±1 D
．
6． 特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ） A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0
B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0
C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0
D ．∀x ∈R ，x 2+1≥0
7． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ
=，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3
C
．
D ．±3
8． i 是虚数单位，计算i+i 2+i 3=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣i
D ．i
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 已知x ，y
满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
10．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x ≤1时，f （x ）=2x ，则f （2015）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C
．﹣
D
．
11．定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ） A ．T 1=T 19 B ．T 3=T 17 C ．T 5=T 12 D ．T 8=T 11
12．阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120
二、填空题
13．已知（x 2
﹣
）n
）的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是 ．
14．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（
）= ．
15．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1
=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成
角的正切值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
16．一根铁丝长为6米，铁丝上有5个节点将铁丝6等分，现从5个节点中随机选一个将铁丝剪断，则所得的两段铁丝长均不小于2的概率为________．
17．满足tan （
x+
x 的集合是 ．
18．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．
三、解答题
19．已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f （1）=1，且若∀a 、b ∈[﹣1，1]，a+b ≠0，恒有＞
0，
（1）证明：函数f （x ）在[﹣1，1]上是增函数； （2）解不等式
；
（3）若对∀x ∈[﹣1，1]及∀a ∈[﹣1，1]，不等式f （x ）≤m 2
﹣2am+1恒成立，求实数m 的取值范围．
A
20．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=，且a=，b=，求△ABC
的面积．
21．已知函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设向量，求满足
不等式的α的取值范围．
22．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．
23．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．求函数f（x）的解析式．
24．已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．
荔城区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵a2
+b2=c2+ba，即a2+b2﹣c2=ab，
∴由余弦定理得：cosC==，
∴∠C=45°．
故选：C．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2．【答案】B
3．【答案】C
【解析】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．
故选C．
4．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos（45°﹣15°）
=cos30°
=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：∵函数y=中，f（x）=1，
∴当x≤﹣1时，x+2=1，解得x=﹣1；
当﹣1＜x＜2时，x2=1，解得x=1或x=﹣1（舍）；
当x≥2时，2x=1，解得x=（舍）．
综上得x=±1
故选：C．
6．【答案】D
【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x2+1＜0”是特称命题
∴否定命题为：∀x∈R，都有x2+1≥0．
故选D．
7．【答案】B
【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，
可得，（m＞0）
解得m=3．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
8．【答案】A
【解析】解：由复数性质知：i2=﹣1
故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
故选A
【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．
9．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
10．【答案】B
【解析】解：因为f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，
所以f（2015）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；
又因为函数f（x）是定义R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=2x，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
即f（2015）=﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f（2015）=f （3×672﹣1）=f（﹣1）．
11．【答案】C
【解析】解：∵a n=29﹣n，
∴T n=a1•a2•…•a n=28+7+…+9﹣n=
∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确
T3=221，T17=20，故B不正确
T5=230，T12=230，故C正确
T 8=236，T 11=233，故D 不正确 故选C
12．【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．
二、填空题
13．【答案】 45 ．
【解析】解：第三项的系数为C n 2
，第五项的系数为C n 4
，
由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C 10i
（x 2
）
10﹣i
（﹣）i =（﹣1）i C 10
i
=，
令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C 108
=45，
故答案为：45．
14．【答案】 4 ．
【解析】解：∵f ′（x ）=3cosx+4sinx ， ∴f ′（
）=3cos
+4sin
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．
15．【答案】 【解析】解：法1：取A 1C 1的中点D ，连接DM ，
则DM ∥C 1B 1，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°， ∴DM ⊥平面AA 1C 1C ，
则∠MAD 是AM 与平面AA 1C 1C 所的成角，
则DM=，AD=
=
=，
则tan ∠MAD=．
法2：以C 1点坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 分别为X ，Y ，Z 轴正方向建立空间坐标系，
则∵AC=BC=1，侧棱AA
1=，M 为A 1B 1的中点，
∴
=（﹣，，﹣
），
=（0，﹣1，0）为平面AA 1C 1C 的一个法向量
设AM 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，
则sinθ=||=
则tanθ=
故选：A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
16．【答案】3 5
【解析】如图：
,,,,
B C D E F中任取一个所得的两段铁丝长均不小于2的情况可以是：取,,
C D E，
∴所求的概率3
5
P ．
17．【答案】[kπ，+kπ），k∈Z．
【解析】解：由tan（x+）≥﹣得+kπ≤x+＜+kπ，
解得kπ≤x＜+kπ，
故不等式的解集为[kπ，+kπ），k∈Z，
故答案为：[kπ，+kπ），k∈Z，
【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．18．【答案】x=﹣3．
【解析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
∵＞0，
即＞0，
∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，
不等式即为
﹣1≤x+＜≤1，
解得﹣≤x＜﹣1，
即解集为[﹣，﹣1）；
（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，
只须，
解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（﹣）=π，
∴ω==2，
又x=时，2×+φ=+2kπ，得φ=2kπ﹣，（k∈Z）
又∵|φ|＜，
∴φ=﹣，
∴f（x）=sin（2x﹣）…6分
（Ⅱ）由f（A）=，可得sin（2A﹣）=，
∵a＜c，
∴A为锐角，
∴2A﹣∈（﹣，），
∴2A﹣=，得A=，
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=3+c2﹣2，即：c2﹣3c﹣4=0，
∵c＞0，∴解得c=4．
∴△ABC的面积S=bcsinA==…12分
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数
∴x=≤1
∴m≤2
∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]；
（2）由（1）知，函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调增函数
∵，
∵
∴2﹣cos2α＞cos2α+3
∴cos2α＜
∴
∴α的取值范围为．
【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式转化为具体不等式．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2
=sinx﹣2×
=sinx+cosx﹣
=2sin（x+）﹣
∴f（x）的最小正周期T==2π；
（2）∵x∈[0，]，
∴x+∈[，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，
∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．
23．【答案】
【解析】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3﹣3x．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．
由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．。