直线与椭圆的位置关系

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
x y 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 2
直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的 思想方法．
题型一：公共点问题
x 2 y2 例3：直线y=kx+1(k∈R)与椭圆 1恒有公共点, 5 m 求m的取值范围。
y kx 1 解 : x2 y 2 (m 5k 2 ) x 2 10kx 5 5m 0 1 5 m
2 △ 10k） 4(m 5k 2（5 5m） 0 （ )
（适用于任何二次曲线）
3、中点弦问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率（点差法）
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )， 则有：x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2 2 y1 y2 又k AB x1 x2 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上， 2 2 x2 2 y2 2 x1 y1 2 1 2 1 2 a b a2 b
这是求解直线与二 mx2+nx+p=0（m≠ 0） 次曲线有关问题的 通法。 2
= n -4mp
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离
>0 =0 <0
题型一：公共点问题 1 例1.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们4 x1 x2 5 2 由韦达定理 的位置关系。
分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
42 52 尝试遇到困难怎么办? d 4 x0 5 y0 40 4 x0 5 y0 40 41
l
m m
且
x0 2 25

y0 2 9
1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
直线与椭圆的位置关系
问题1：椭圆与直线的位置关系？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线有关问题的通法
一.直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0 由方程组： x 2 y2 2 1 2 a b
4 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 = 3 2
4 ∴ x1 x2 , x1 x2 0 3
0 ( 1) 1 2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
例3、焦点分别为 0,5 2 和 0,5 2 的椭圆 截直线y 3x 2所得椭圆的弦的中点 1 的横坐标为 ，求此椭圆方程。 2



例4、 (2010福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C 经过点A2,3，且点F 2,0为其右焦点 （ ）求椭圆C的方程； 1 （2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C 有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求 出直线l的方程；若不存在，说明理由。
两式相减得：
b2 ( x12 x2 2 ) a 2 ( y12 y12 ) 0
由b 2 ( x12 x2 2 ) a 2 ( y12 y12 ) 0
y y b 即 2 x x a
2 1 2 1 2 1 2 2 2
k AB
y1 y1 b 2 x1 x2 b 2 x0 2 x1 x2 a y1 y1 a 2 y 0
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法： 弦长公式：
2 |AB|= 1 k 2 · x1 x2） 4 x1 x2 （
相交
= 1
1 · y1 y2） 4 y1 y2 （ 2 k
变式2：相交所得的弦的弦长是多少？
2
2
| 弦长公式：AB | 1 k x1 x2 1 k （x1 x2 ) 4 x1 x2 k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
题型一：公共点问题
x y 例2：判断直线kx-y+3=0与椭圆 1 的 16 4
2 2
位置关系
y kx 3 2 2 解 :由 x 4 x 2 1x 2 24kx 20 0 y 16 4 1 1616k 2 5 5 (1) 0,即k 或k 4 5 ( 2) 0，即k 或k 4 5 (3) 0，即 k 4 5 时，相交 4 5 时，相切 4 5 时，相离 4
题型二：弦长问题
例1：已知斜率为1的直线l过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
解 :由椭圆方程知 : a 2 4, b2 1, c 2 3.
右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为 : y x 3.
的右焦点，
y x 3 2 x y2 1 4
消y得：x 2 8 3x 8 0 5
题型三：中点弦问题
x2 y2 例1、已知椭圆 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
Hale Waihona Puke 点 作差点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆
ax by 1 与直线x+y-1=0交
2 2
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
m2 (5k 2 1)m 0
即 m 1 5k
2 2
由m 1 5k 恒成立得m 1 又m 0且m 5 所以m 1且m 5
题型一：公共点问题
2 2
x y 例 4:已知椭圆 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
x y 2 1 的两个焦点坐标 F1 ( 1, 0), F2 (1, 0) 解:∵椭圆 2
2
2
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
2
3x 4x 0
x
o
d max
思考：最大的距离是多少？
65 41 42 52 41
40 25
知识点2：弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为k． 弦长公式：
AB 1 k · x1 x2） 4 x1 x2 （
2 2
1 2 1 2 （y1 y2） 4 y1 y2 k 适用于任意二次曲线
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 3 8 x1 x2 , x1 x2 5 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
题型二：弦长问题
x2 y2 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.
斜率是
2 ，试求a、b的值。 2
y ax 2 by 2 1 2 消y得:(a b) x 2bx b 1 0 解: A x y 1 0
=4b -4(a b)(b 1) 0 ab a b
2
M
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
题型一：公共点问题
x2 y 2 例3：已知椭圆 1，直线l：x - 5 y 40 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：x 5 y k 0 4
x
o
4 x 5 y k 0 2 2 消去y，得25 x 2 8kx k 2 - 225 0 由方程组 x y 1 25 9 由 0，得64k 2 - 4 25 k 2 - 225） 0 （
解：联立方程组 x x 1 1 1 2 5 y x 消去y 2 2 5 x 4 x 1 0 ----- (1) x2+4y2=2 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
6 AB 2 5
2
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ A(1, ), B( , ) 2 5 10
o
B
x
2b b 1 b a x1 x2 , x1 x2 AB中点M ( , ) ab ab ab ab a 2 又 AB 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 kMO b 2a b 2 1 2 2b 2 b 1 a ,b 2 2 2 ( ) 4 ab ab 3 3
∴ SF1 AB
= 2
1 1 4 4 4 d AB = 2 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3
题型三：中点弦问题
x2 y2 例1、已知椭圆 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程. 解 法 一
韦达定理→斜率 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
解得k1 =25，k 2 =-25
由图可知k 25.
题型一：公共点问题
2 2
x y 例3：已知椭圆 1，直线l：x - 5 y 40 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
直线m为：x 5 y 25 0 4
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 且d 40 25 15 41 42 52 41