空间直线单元练习题及答案

空间直线单元练习题及答案
典型例题⼀
例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（）．
A ．异⾯直线
B ．相交直线
C ．平⾏直线
D ．相交直线或异⾯直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满⾜已知条件的模型或图形⽽得出正确结论．
解：如图所⽰，在正⽅体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //．若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异⾯．
故选D ．
说明：利⽤具体模型或图形解决问题的⽅法既直观⼜易于理解．⼀般以正⽅体、四⾯体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置关系是相交、平⾏或异⾯．类
似地；a ，b 异⾯，b ，c 异⾯，则a ，c 的位置关系是平⾏、相
交或异⾯．这些都可以⽤正⽅体模型来判断．
典型例题⼆
例2 已知直线a 和点A ，α?A ，求证：过点A 有且只有⼀条直线和a 平⾏．分析：“有且只有”的含义表明既有⼜惟⼀，因⽽这⾥要证明的有两个⽅⾯，即存在性和惟⼀性．
存在性，即证明满⾜条件的对象是存在的，它常⽤构造法（即找到满⾜条件的对象来证明）；惟⼀性，即证明满⾜条件的对象只有．．⼀个，换句话说，说是不存在第⼆个满⾜条件的对象．
因此，这是否定性．．．
命题，常⽤反证法．证明：（1）存在性．
∵ a A ?，∴ a 和A 可确定⼀个平⾯α，
由平⾯⼏何知识知，在α内存在着过点A 和a 平⾏的直线．（2）惟⼀性
假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满⾜a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与A c b = ⽭盾，
∴过点A 有⼀条且只有⼀条直线和a 平⾏．
说明：对于证明“有且只有”这类问题，⼀定要注意证明它的存在性和惟⼀性．
典型例题三
例3 如图所⽰，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，
DA 上的点，且
λ==AD AH AB AE ，µ==CD
CG
CB CF ，求证：
（1）当µλ=时，四边形EFGH 是平⾏四边形；（2）当µλ≠时，四边形EFGH 是梯形．分析：只需利⽤空间等⾓定理证明FG EH //即可．
证明：连结BD ，在ABD ?中，
λ==AD
AH
AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=．
在CBD ?中，
µ==CD
CG
CB CF ，∴ BD FG //，且BD FG µ=．∴ FG EH //，
∴顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平⾯内．（1）当µλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平⾏四边形；（2）当µλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形．说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．特别地，当2
1
=
=µλ时，E ，F ，G ，H 是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平⾏四边形．
如果再加上条件BD AC =，这时，平⾏四边形EFGH 是菱形．
典型例题四
例4 已知b a 、是两条异⾯直线，直线a 上的两点B A 、的距离为6，直线b 上的两点D C 、的距离为8，BD AC 、的中点分别为N M 、且5=MN ，求异⾯直线b a 、所成的⾓．
分析：解题的关键在于依据异⾯直线所成⾓的定义构造成和异⾯直线b a 、平⾏的两条相交直线，然后把它们归纳到某⼀三⾓形中求解．
解：如图，连结BC ，并取BC 的中点O ，连结ON OM 、，
∵ON OM 、分别是ABC ?和BCD ?的中位线，∴AB OM //，CD ON //，即 a OM //，b ON //．
∴ON OM 、所成的锐⾓或直⾓是异⾯直线b a 、所成的⾓．⼜∵ 6=AB ，8=CD ，∴3=OM ，4=ON ．
在OMN ?中，⼜∵5=MN ，
∴2
2
2
MN ON M =+，
∴
90=∠MON ．
故异⾯直线b a 、所成的⾓是
90．
说明：在求两条异⾯直线所成的⾓时，⼀般要依据已知条件，找出与两条异⾯直线分别平⾏并且相交于⼀点的两条直线．但是，异⾯直线所成⾓的定义中的点O ⼀般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从⽽找出这⼀点和过这⼀点与两异⾯直线平⾏的直线，以得到两条异⾯直线所成的⾓，在求这个⾓的⼤⼩时，⼀般是根据平⾯图形中解三⾓形的知识求解的．
典型例题五
例5 已知四⾯体ABC S -的所有棱长均为a ．求：（1）异⾯直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长；（2）异⾯直线EF 和SA 所成的⾓．
分析：依异⾯直线的公垂线的概念求作异⾯直线AB SC 、的公垂线段，进⽽求出其距离；对于异⾯直线所成的⾓可采取平移构造法求解．
解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、．
由已知，得SAB ?≌CAB ?．∴CF SF =，E 是SC 的中点，∴SC EF ⊥．
同理可证AB EF ⊥
∴EF 是AB SC 、的公垂线段．
在SEF Rt ?中，a SF 23=
，a SE 2
1
=．∴22SE SF EF -=
a a a 2
2
414322=-．（2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．
∴EF 和GE 所成的锐⾓或直⾓就是异⾯直线EF 和SA 所成的⾓．连结FG ，在EFG ?中，a EG 21=，a GF 2 1
=，a EF 22=．由余弦定理，得
222
2
2124142412cos 2
222
2
2
=??-+=??-+=∠a a a
a a EF EG GF EF EG GEF ．∴
45=∠GEF ．
故异⾯直线EF 和SA 所成的⾓为
45．
说明：对于⽴体⼏何问题要注意转化为平⾯问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六
例6 如图所⽰，两个三⾓形ABC ?和'
''C B A ?的对应顶点的连线'AA 、'BB 、'
CC 交于同⼀点O ，且
3
2
'''
===O C CO O B BO O A AO ． (1)证明：'
'//B A AB ，'
'
//C A AC ，'
'
//C B BC ； (2)求
'
''C B A ABC
S S ??的值．
分析：证两线平等当然可⽤平⾯⼏何的⽅法．⽽求⾯积之⽐则需证两个三⾓形相似，由于三⾓形是平⾯图形，故也可⽤平⾯⼏何的⽅法证明．
证明：(1)当ABC ?和'
''C B A ?在O 点两侧时，如图甲∵'AA 与'
BB 相交于O 点，且
O
B BO
O A AO ''
=，∴'
'//B A AB （因为'
AA 、'
BB 共⾯）．同理'
'
//C A AC ，'
'
//C B BC ．
(2)∵'
'//B A AB ，且'
'
//C A AC ，AB 和'
'B A ，AC 和'
'C A 的⽅向相反，∴
'''C A B BAC ∠=∠，同理'''C B A ABC ∠=∠．
因此，ABC ?∽'
''C B A ?．
⼜3
2'''==O A AO B A AB ，∴94322
'''=
=C B A ABC S S ．
当ABC ?和'
''C B A ?在O 点的同侧时，如图⼄所⽰，同理可得(1)(2)．
说明：此题ABC ?与'
''C B A ?是否共⾯并不重要，因为等⾓定理对各种位置已作说明．
典型例题七
例7 S 是矩形ABCD 所在平⾯外⼀点，BC SA ⊥，CD SB ⊥，SA 与CD 成?60⾓，
SD 与BC 成?30⾓，a SA =，求：
(1)直线SA 与CD 的距离； (2)求直线SB 与AD 的距离．
分析：要求出SA 与CD 、SB 与AD 的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异⾯直线间的距离．
解：如图所⽰，在矩形ABCD 中，AD BC //．∵BC SA ⊥，∴AD SA ⊥．
⼜AD CD ⊥，∴AD 是异⾯直线SA 、CD 的公垂线段，其长度为异⾯直线SA 、CD 的距离．
在SAD Rt ?中，∵SDA ∠是SD 与BC 所成的⾓，∴?=∠30SDA ．⼜a SA =，∴a AD 3=
．
(2)在矩形ABCD 中，CD AB //，AD SB ⊥，∴AB SB ⊥，⼜AD AB ⊥，
∴AB 是直线SB 、AD 的公垂线段，其长度为异⾯直线SB 、AD 的距离．在SAB Rt ?中，SAB ∠是异⾯直线SA 与CD 所成的⾓，∴?=∠60SAB ．⼜a SA =，∴2
60cos a a AB =?=，∴直线SB 与AD 的距离为
2
a ．说明：(1)求异⾯直线之间距离的步骤是：①找（作）线段；②证线段是公垂线段；③求公垂线段的长度．
(2)求异⾯直线间的距离的问题，⾼考中⼀般会给出公垂线段．
典型例题⼋
例8 a 、b 、c 是三条直线，若a 与b 异⾯，b 与c 异⾯，判断a 与c 的位置关系，并
画图说明．
分析：这是⼀道考查异⾯直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语⾔的表达能⼒．
解：直线a 与c 的位置关系有以下三种情形如图：
∴直线a 与c 的位置关系可能平⾏（图中的(1)）；可能相交（如图中的(2)）；可能异⾯（图中的(3)）．
说明：本题也考查了空间想象能⼒和逻辑划分、分类讨论的能⼒．
典型例题九
例9 如果两条异⾯直线称作“⼀对”，那么在正⽅体的⼗⼆条棱中，共有⼏对异⾯直线（）．
A ．12对
B ．24对
C ．36对
D ．48对
分析：⼀般地，⽴体⼏何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定⼀规律，然后按此规律进⾏计数．正⽅体的各棱具有相同的位置关系．所以以⼀条棱为基量，考察与其异⾯的⼏对，问题可解．
解：如图，正⽅体中与AB 异⾯有C C 1，D D 1，11C B ，11D A ，
∵各棱具有相同的位置关系，且正⽅体有12条棱，排除两棱的重复计算成本，∴异⾯直线共有
242
4
12=?对．说明：分析清楚⼏何体特点是避免重复计数的关键．计数问题必须避免盲⽬乱数，做到“不重不漏”．
典型例题⼗
例10 如图，已知不共⾯的直线a ，b ，c 相交于O 点，M 、P 是直线a 上两点，N 、
Q 分别是b ，c 上⼀点．
求证：MN 和PQ 是异⾯直线．
证法1：假设MN 和PQ 不是异⾯直线，则MN 与PQ 在同⼀平⾯内，设为α
∵a P M ∈、，α∈P M 、∴α?a ．
⼜a O ∈，∴α∈O ．
∵α∈N 且b O ∈，b N ∈，∴α?b ．同理：α?C
∴a ，b ，c 共⾯于α，与已知a ，b ，c 不共⾯相⽭盾，∴MN 、PQ 是异⾯直线．
证法2：∵O c a = ，∴直线a ，c 确定⼀平⾯设为β．∵a P ∈，c Q ∈，∴β∈P ，β∈Q ，∴β?PQ 且β∈M ，PQ M ?．⼜a ，b ，c 不共⾯，b N ∈，∴β?N ，∴MN 与PQ 为异⾯直线．
说明：证明两条直线异⾯的⽅法有两种． (1)⽤定义证明（即定义法）：此时需借反证法，假设两条直线不异⾯，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线⼀定共⾯，即这两条直线可能相交也可能平⾏，然后，推导出⽭盾即可．
(2)⽤定理证明（即定理法）：⽤该法证明时，必须阐述出定理满⾜的条件：α?a ，α?A ，a B ?，然后可以推导出直线a 与AB 是异⾯直线．
典型例题⼗⼀
例11 已知平⾯α与平⾯β相交于直线l ，A ，B 为直线l 上的两点．在α内作直线
AC ，在β内作直线BD ．求证AC 和BD 是异⾯直线．
已知：平⾯α平⾯β=l ，l A ∈，l B ∈，α?AC ，β?BD ，如图．
求证：AC 、BD 是异⾯直线．
证明：假设AC ，BD 不是异⾯直线，则它们必共⾯．∴A 、B 、C 、D 在同⼀平⾯内．
即A 、B 、C 所确定的平⾯α与A 、B 、D 确定的平⾯β重合这与平⾯α平⾯β=l ⽭盾
∴AC 、BD 是异⾯直线．
说明：证明两条直线为异⾯直线，⽤反证法往往⽐较简单．
典型例题⼗⼆
例12 已知空间四边形ABCD ，求证它的对⾓线AC 和BD 是异⾯直线．证法⼀：（反证法）如图
假设AC 和BD 不是异⾯直线，则AC 和BD 在同⼀平⾯内．
∴A 、B 、C 、D 在同⼀平⾯内，即四边形ABCD 是平⾯四边形，这与已知条件⽭盾，所以假设不成⽴．因此AC 和BD 是异⾯直线．证法⼆：（定理法）
过BC 和CD 作⼀平⾯α，则对⾓线BD 在平⾯α内．
对⾓线AC 与平⾯α交于BD 外的⼀点C ，即点C 不在直线BD 上，且A 点在平⾯α外．
∴根据异⾯直线判定定理知：AC 和BD 是异⾯直线．
说明：判定两条直线是异⾯直线的证明问题常⽤这两种⽅法，即(1)反证法，(2)⽤判定定理．
典型例题⼗三
例13 已知空间四边形ABCD ，AC AB ≠，AE 是ABC ?的BC 边上的⾼，DF 是BCD ?的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异⾯直线．
证法⼀：（定理法）如图
由题设条件可知点E 、F 不重合，设BCD ?所在平⾯α．
∴
∈??DF
E E A D
F αααAE 和DF 是异⾯直线．证法⼆：（反证法）
若AE 和DF 不是异⾯直线，则AE 和DF 共⾯，设过AE 、DF 的平⾯为β． (1)若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AC AB ≠相⽭盾． (2)若E 、F 不重合，
∵EF B ∈，EF C ∈，β?EF ，∴β?BC ．∵β∈A ，β∈D ，
∴A 、B 、C 、D 四点共⾯，这与题设ABCD 是空间四边形相⽭盾．综上，假设不成⽴．
故AE 和DF 是异⾯直线．
说明：反证法不仅应⽤于有关数学问题的证明，在其他⽅⾯也有⼴泛的应⽤．⾸先看⼀个有趣的实际问题：
“三⼗六⼝缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做⼀做．也许你在试验⼏次后却⽆法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？
⽤反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可⾏的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数⽭盾．只须两句话就解决了这个问题．
典型例题⼗四
例14 已知E 、1E 分别是正⽅体1111D C B A ABCD -的棱AD 、11D A 的中点．求证：111C E B BEC ∠=∠．
分析：欲证两个⾓相等，可通过等⾓定理或其推论来实现．证明：如图，连结1EE
∵1E ，E 分别为11D A ，AD 中点，∴
1
1E A AE ，
∴EA E A 11为平⾏四边形．∴A A
1E E 1．
⼜∵A
A
1B B 1，∴E E 1B B 1，
∴四边形11EBB E 是平⾏四边形．
∴EB B E //11．同理EC C E //11．⼜111B E C ∠与CEB ∠⽅向相同．∴CEB B E C ∠=∠111．
说明：有关证明⾓相等问题，⼀般采⽤下⾯三种途径：(1)利⽤等⾓定理及其推论；(2)利⽤证三⾓形相似；(3)利⽤证三⾓形全等．
本例是通过第⼀种途径来实现．请同学们再利⽤第三种途径给予证明．
典型例题⼗五
例15 由四个全等的等边三⾓形的封⾯⼏何体称为正四⾯体，如图，正四⾯体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中
点，CF 与DE 是⼀对异⾯直线，在图形中适当的选取⼀点作出异⾯直线CF 、DE 的平⾏线，找出异⾯直线CF 与DE 成的⾓．
分析1：选取平⾯ACD ，该平⾯有以下两个特点，(1)该平⾯包含直线CF ，(2)该平⾯与DE 相交于点D ，伸展平⾯ACD ，在该平⾯中，过点D 作CF DM //交AC 的延长线于M ，连结EM ．可以看出：DE 与DM 所成的⾓，即为异⾯直线DE 与CF 所成的⾓．如图．
分析2：选取平⾯BCF ，该平⾯有以下两个特点：(1)该平⾯包含直线CF ，(2)该平⾯与DE 相交于点E ．在平⾯BCF 中，过点E 作CF 的平⾏线交BF 于点N ，连结ND ，可以看出：EN 与ED 所成的⾓，即为异⾯直线FC 与ED 所成的⾓．如图．
分析3：选取平⾯ADE ，该平⾯有如下两个特点：(1)该平⾯包含直线DE ，(2)该平⾯与CF 相交于点F ．在平⾯ADE 中，过点F 作DE FG //，与AE 相交于点G ，连结CG ，可以看出：FG 与FC 所成的⾓，即为异⾯直线CF 与DE 所成的⾓．
分析4：选取平⾯BCD ，该平⾯有如下特点：(1)该平⾯包含直线DE ，(2)该平⾯与CF 相交于点C ，伸展平⾯BCD ，在该平⾯内过点C 作DE CK //与BD 的延长线交于点K ，且BD DK =，连结FK ，则CF 与CK 所成的⾓，即为异⾯直线CF 与DE 所成的⾓．如图．
说明：(1)两条异⾯直线所成的⾓是⾮常重要的知识点，是每年⾼考的必考内容，要求牢固掌握两条异⾯直线所成的⾓的定义和两条异⾯直线互相垂直的概念，两条异⾯直线所成的⾓是刻划两条异⾯直线相对位置的⼀个量，是通过转化为相交直线成⾓来解决的，这⾥我们要注意：两条异⾯直线所成的⾓θ的范围是?≤
移后相交所得的⾓必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．⼀般提倡像思考2，那样作⾓，因为此⾓在⼏何体内部，易求．
(2)本例题多⽅位、多⾓度思考问题，思路开阔、运⽤知识灵活，对我们解决异⾯直线所成⾓问题⼤有裨益，要认真理解．
典型例题⼗六
例16 如图，等腰直⾓三⾓形ABC 中，?=∠90A ，
2=BC ，AC DA ⊥，AB DA ⊥，
若1=DA ，且E 为DA 的中点．
求异⾯直线BE 与CD 所成⾓的余弦值．
分析：根据异⾯直线所成⾓的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平⾏线，换句话说，平移BE （或CD ）．设想平移CD ，沿着DA 的⽅向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的⾓即为BEF ∠或其补⾓，解EFB ?即可获解．
解：取AC 的中点F ，连结EF ，在ACD ?中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴CD EF //，
∴BEF ∠即为所求的异⾯直线BE 与CD 所成的⾓或其补⾓．
在EAB Rt ?中，1=AB ，21
21==
AD AE ，∴25=BE ．在AEF Rt ?中，1=AC ，2
1
=
AE ，∴22=EF ．
在ABF Rt ?中，1=AB ，2
1
=
AE ，∴25=BF ．
在等腰三⾓形EBF 中，1010
2
5
4221cos ===∠BE EF
FEB ，∴异⾯直线BE 与CD 所成⾓的余弦值为
10
10．说明：求⾓或求⾓的三⾓函数值的⼀般步骤是：①找（或作出）⾓，适合题意，②求⾓或求⾓的三⾓函数值，往往是化归成⼀个三⾓形的内⾓，通过解三⾓形求得．
典型例题⼗七
例17 在正四⾯体ABCD 中，已知E 是棱BC 的中点，求异⾯直线AE 和BD 所成⾓的余弦值．
分析：可在平⾯BCD 内过E 作BD 平⾏线，可在AEF ?中求得所成⾓的余弦值．
解：如图，取CD 的中点F ，连结EF ，AF ，∵E 为BC 的中点，
∴EF 为CBD ?的中位线，∴BD EF //，
∴AE 与EF 所成的锐⾓或直⾓就是异⾯直线AE 和BD 所成的⾓．设正四⾯体的棱长为a ，由正三⾓形的性质知，
a AF AE 23=
=，a EF 2
1
=．在AEF ?中， 6
3
21cos =
=∠AE EF AEF ，即异⾯直线AE 和BD 所成⾓的余弦值为63．说明：本题是利⽤三⾓形中位线达到平移的⽬的．这种作异⾯直线所成⾓的⽅法称为中
位线平移法．
典型例题⼗⼋
例18 在正⽅体1111D C B A ABCD -中，求正⽅体对⾓线1BD 和⾯对⾓线AC 所成⾓的⼤⼩．
解：如图．
取D D 1上中点N ，则有：DN N D =1，连结BD ．令O AC BD = ，则DO BO =，连结NO ，NA ，NC
∵N ，O 分别为D D 1，BD 的中点，∴NO
12
1
BD ，∴NOA ∠(或NOC ∠)是异⾯直线1BD 和AC 所成的⾓．在NAD Rt ?及NCD Rt ?中，∵CD AD =，ND ND =，∴NAD Rt ≌NCD Rt ?，∴NC NA =，
∴ANC ?为等腰三⾓形．⼜O 为AC 中点，∴AC NO ⊥，
∴异⾯直线1BD 和AC 所成⾓为?90．
说明：(1)由于异⾯直线所成⾓最⼤为直⾓，所以，在把异⾯直线平移得到的两个夹⾓中，必须选取其中较⼩的⾓为异⾯直线的所成⾓．
(2)实际上，正⽅体的体对⾓线与任意⼀条⾯对⾓线所成⾓均为直⾓．
典型例题⼗九
例19 在正⽅体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，求AE 、BF 所成⾓的余弦值．
分析1：可平移BF ⾄1EC ，可得到⾓1AEC ，再解三⾓形即可．但要注意到1AEC ∠为钝⾓．
解法1：如图，
连结1EC ，则BF EC //1，
由AE 与1EC 所成的锐⾓或直⾓，就是AE 与BF 所成的⾓，连1AC ，令正⽅体的棱长为a ，有a EC AE 2
5
1=
=，a AC 31=
在1AEC ?中，5
1
5612122cos 2
2
122121-=-=-=-=∠AE AC AE AC AE AEC ，∴1AEC ∠的补⾓为异⾯直线AE 与BF 所成⾓．
∴AE 、BF 所成⾓的余弦值是
5
1．分析2：连结DB 、FD ，可得DFB ∠即为异⾯直线AE 和BF 所成的⾓．进⽽求其余
弦值．
解法2：连结DB 、FD ，可证得AE FD //．(∵
EF AD ) DFB ∠(或其补⾓)即为异⾯直线AE 、BF 所成的⾓．
a BF DF 2
5
=
=，a BD 2=．由余弦定理，有
()
512
52
45452
525222525cos 2
2
2
=-+=??-??
+ ?
=∠a a a
a a DFB ，
∴AE 、BF 所成⾓的余弦值是5
1
．
说明：异⾯直线所成⾓的范围是]90,0(??，当求得某⾓的余弦值为负值时，则此⾓的补⾓是异⾯直线所成⾓．
典型例题⼆⼗
例20 在空间四边形ABCD 中：CD AB =，BD AC =，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：线段EF 是异⾯直线AD ，BC 的公垂线．
证明：如图．
连结AF 、DF 、BE 、CE ．在ABD ?和ACD ?中，
CD AB =，BD AC =，AD 公⽤∴ABD ?≌ACD ?．⼜E 是AD 中点，∴CE BE =．
在BEC ?中，F 是BC 的中点，∴BC EF ⊥．同理AD EF ⊥，
∴EF 是异⾯直线AD 、BC 的公垂线．
说明：证明某⼀条直线是两条异⾯直线的公垂线，须证明以下两点：(1)与两条异⾯直线都垂直；(2)与两条异⾯直线都相交．
典型例题⼆⼗⼀
例21 如图，空间四边形ABCD 中，四边AB 、BC 、CD 、DA 和对⾓线AC 、BD 都等于a ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．
(1)求证：EF 是异⾯直线AB 、CD 的公垂线． (2)求异⾯直线AB 和CD 的距离．
分析：要证明EF 是异⾯直线AB 与CD 的公垂线，必须说明两个⽅⾯的问题，⼀个⽅⾯EF 与AB 、CD 都相交，另⼀个⽅⾯AB 、CD 与EF 都垂直．
(1)证明：连结AF 、BF ，由已知BCD ?和ACD ?均为正三⾓形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴BF AF =，AB EF ⊥．
同理CD EF ⊥，⼜EF 与AB 、CD 都相交，∴EF 为异⾯直线AB 、CD 的公垂线．
(2)解：∵空间四边形各边及对⾓线AC 、BD 的长均为a ，
∴a BF AF 23=
=，⽽a AE 2
1
=，∴在AEF Rt ?中，a AE AF EF 2
2
22=
-=
．∴异⾯直线AB 和CD 之间的距离为
a 2
2
．说明：(1)求线段的长度⼀般地要把该线段放到⼀个三⾓形中去求解，尤其是放到特殊三⾓形中去求解，如直⾓三⾓形、等腰三⾓形等．
(2)满⾜条件的该空间四边形其实质是空间正四⾯体，该问题实质上是求正四⾯体对棱之间的距离．
典型例题⼆⼗⼆
例22 已知a 、b 是异⾯直线，直线c //直线a ，那么c 与b （）． A ．⼀定是异⾯直线 B ．⼀定是相交直线
C ．不可能是平⾏直线
D ．不可能是相交直线
解：由已知a 、b 是异⾯直线，直线c //直线a ，所以直线c 直线b ，否则若b c //，
则有b a //与已知⽭盾．所以c b ．∴应选C ．
说明：本题考察两直线位置关系和公理4的应⽤及异⾯直线定义．
典型例题⼆⼗三
例23 两条异⾯直线指的是（）． A ．在空间内不相交的两条直线
B ．分别位于两个不同平⾯内的两条直线
C ．某平⾯内的⼀条直线和这个平⾯外的⼀条直线
D ．不在同⼀平⾯内的两条直线
解：对于A,在空间内不相交的两条直线也可能是平⾏，应排除A ．对于B ，分别位于两个不同平⾯内的两条直线可能是异⾯直线，也可能是相交直线或平⾏直线，应排除B ．
对于C ，某平⾯内的⼀条直线和这个平⾯外的⼀条直线可能是异⾯直线，也可能是平⾏直线，应排除C ．∴应选D ．
说明：本题主要考查对异⾯直线定义的掌握，特别是对“不同在任何⼀个平⾯内的两条直线”含义的理解．
典型例题⼆⼗四
例24 如图，在棱长为1的正⽅体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为11B A 和1
BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成的⾓的余弦值是（）．
A ．
23 B ．1010 C ．53 D ．5
2
解：在平⾯11A ABB 中，过N 点作AM NP //，交AB 于P ，连结PC ，如图，
PNC ∠(或其补⾓)就是AM 与CN 所成的⾓．
设AB 的中点为Q ，则P 是BQ 中点．
可求得45=
NP ，417=CP ，2
5=NC ．在PNC ?中，由余弦定理得
5
2
2cos 222=?-+=∠PN NC PC PN NC PNC ．
∴应选D ．
说明：作出平⾏线PN ，进⽽在PNC ?中利⽤余弦定理求出直线AM 与CN 所成⾓的余弦值．
典型例题⼆⼗五
例25 如图，1111D C B A ABCD -是正⽅体，4
1
11111B A F D E B ==，则1BE 与1DF 所成的⾓的余弦值是（）．
A ．
1715 B ．21 C ．17
8
D ．23
解：过A 点在平⾯11A ABB 内作1//DF AF ，再过1E 在平⾯11A ABB 内作FA E E //1，则E BE 1∠(或其补⾓)即是1BE 与1DF 所成的⾓．由已知4
1
11111B A F D E B =
=， 1111D C B A ABCD -是正⽅体，所以可求得a BE 4
17
1=
(a 为正⽅体的棱长)，⼜E E AF DF 11==，⽽11BE DF =，∴a E E 4171=
，显然a EB 2
1
=．在E BE 1?中，由余弦定理，得
171541722141722cos 22
112
21211=
??-???? ??=?-+=∠a a a E E BE EB E E BE E BE ．
∴应选A ．
说明：(1)解答本题的关键是作平⾏线AF 、E E 1．进⽽在E BE 1?中解出E BE 1∠的余弦值；(2)考查历届⾼考试题，求异⾯直线所成⾓的题常以正⽅体和正四⾯体为载体，在正
⽅体和正四⾯体中命题．
典型例题⼆⼗六
例26 在棱长都相等的四⾯体BCD A -中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，连结AF 、CE ，如图所⽰，求异⾯直线AF 、CE 所成⾓的余弦值．
解：连结DF ，取DF 的中点G ，连结EG ，CG ，
⼜E 是AD 的中点，故AF EG //，所以GEC ∠是异⾯直线AF 、CE 所成⾓．∵AF 是正三⾓形ABC 的⾼，∴AB AF 23=
，∴AB EG 4
3=．在FCG Rt ?中，AB AB FD FG 43232121=?==
，AB CF 2
1
=，则 AB AB AB FC FG CG 47214322
2
2=??? ??+???
=+=．
在EGC ?中，AB CE 23=
，AB EG 43=，AB CG 4
7=，⽤余弦定理可得3
2
cos =
∠GEC ．∴异⾯直线AF 、CE 所成⾓的余弦值是
3
2．说明：求两条异⾯直线所成⾓或求所成⾓的函数值，关键是作出异⾯直线所成的⾓．。