2019-2020年高三上学期期中考试数学试题含答案(VIII)

2019-2020年高三上学期期中考试数学试题含答案(VIII) 注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．
．） 1．已知复数i(1i)(i z =-为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限．
2．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}{}1,5,9,3,5,9A B ==，则()U A B ð的子集个数为 ▲ ．
3．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也
不必要”中选一个）．
4．某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，
若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的23
，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为 ▲ ． 5．执行如图所示的程序框图,若输出s 的值为11,则输入自
然数n 的值是 ▲ ．
6． 直线x a =和函数2
1y x x =+-的图象公共点的个数为
▲ ．
7．已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ= ▲ ．
8．若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则
该直角三角形的周长为 ▲ ．
9．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，可得到函数sin(2)4y x π=+的图象，
则ϕ的最小值为 ▲ ．
10．已知函数2()1f x x ax a =-+-在区间(0,1)上有两个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 11． 已知函数2,0,1()3,0,4
x x x x x f x e x ⎧>⎪⎪++=⎨⎪-⎪⎩≤ 则函数()f x 的值域为 ▲ ．
12．若点(,)P x y 满足约束条件0,2,2,x x y a x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩
≥≤≤ 且点(,)P x y 所形成区域的面积为12，则实数
a 的值为 ▲ ．
13．若函数1()sin()4
f x x π=
与函数3()g x x bx c =++的定义域为[0,2]，它们在同一点有相同的最小值，则b c += ▲ ． 14．已知实数0y x >>，
若以x y x λ+为三边长能构成一个三角形，则实数λ的
范围为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为135．
（1）求()(2)a b a b +⋅-的值； （2）若k 为实数，求a kb +的最小值．
16．在正四面体ABCD 中，点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DE ∶EA =2∶3． 证明：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）直线BD ⊥直线EF ．
17．已知函数22()sin cos sin cos f x x x a x a x b =+-+，(,)a b ∈R ．
（1）若0a >，求函数()f x 的单调增区间；
（2）若[,]44
x ππ∈-时，函数
()f x 的最大值为3
，最小值为1,a b 的值．
18．在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，其前n 项和为n T ，且223311,29b S S b +==．
（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项；
（2）问是否存在正整数,,m n r ，使得n m n T a r b =+⋅成立？如果存在，请求出,,m n r 的关系式；如果不存在，请说明理由．
19．如图，
ABC 为一直
角三角形草
坪，其中
90,2
C B C ∠==方案二
米，4AB =米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：
方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE 过点B ，且与AC 平行，DF 过点A ，EF 过点C ；
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE 过点B ，DF 过点A ，EF 过点C ．
（1）求方案一中三角形DEF 面积1S 的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF 面积2S 的最大值．
20．已知函数312()ln ,()23f x x x g x ax x e
=⋅=-
-． （1）求()f x 的单调增区间和最小值；
（2）若函数()y f x =与函数()y g x =在交点处存在公共切线，求实数a 的值；
（3）若2(0,]x e ∈时，函数()y f x =的图象恰好位于两条平行直线1:l y kx =； 2:l y kx m =+之间，当1l 与2l 间的距离最小时，求实数m 的值．
无锡市2014年秋学期高三期中考试数学答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．一 2．2 3．必要不充分 4．60% 5．4 6．1
7．12-
8．24 9．8
π 10．2,1) 11．31(,]43-
12．16a =- 13．14- 14．12λ<<二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）
15．解：因为22()(2)2a b a b a b a b +⋅-=-+⋅…………………………………………3分
411(2=-⨯=． ………………………………………………6分 （2）22222a kb a k b ka b +=++⋅ ……………………………………………………8分
2222(1)1k k k =-+=-+．…………………………………………………………10分 当1k =时，2a kb +的最小值为1，………………………………………………………12分 即a kb +的最小值为1． …………………………………………………………14分
16．证：（1）因为点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3， ……1分 所以EF ∥AC ， ………………………………………………………………………………3分 又EF ⊄平面ABC ，
AC ⊂平面ABC ，
所以EF ∥平面ABC ．…………………………………………………………………………6分
（2）取BD 的中点M ，连AM ，CM ，
因为ABCD 为正四面体，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ， ……………………………………8分 又AM CM =M ，所以BD ⊥平面AMC ， ………………………………………………10分 又AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥AC ， ……………………………………………………12分 又HF ∥AC ，
所以直线BD ⊥直线HF ．……………………………………………………………………14分
17．解：（1）因为22()sin cos sin cos f x x x a x a x b =+-+
sin 2cos2x a x b -+ …………………………………………2分 2sin(2)6a x b π
=-+． …………………………………………………… 4分
且0a >，所以函数()f x 的单调增区间为[,],63k k k ππππ-
++∈Z ． ………………6分
（2）当[,]44x ππ∈-时，22[,]633x πππ-∈-，2sin(2)[4
x π-∈-， ……8分
则当0a >时，函数()f x b +，最小值为2a b -+．
所以3,21b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩
解得1,3a b == …………………………………10分 当0a <时，函数()f x 的最大值为2a b -+
b +．
所以123,b a b +=-+=⎪⎩
解得1,1a b =-=． ……………………………………12分
综上，1,3a b ==1,1a b =-=．……………………………………………14分
18．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则
23311,2(3332)9,q d d d q +++=⎧⎨++++=⎩
………………………………………………………2分 解得3,2d q ==． …………………………………………………………………4分 所以13,2n n n a n b -==． …………………………………………………………6分
（2）因为112221n n n T -=++
+=-， ………………………………………7分 所以有12132
n n m r --=+⋅．………（*） 若2r ≥，则1221n n
r -⋅>-，（*）不成立，所以1r =，1213n m --=．………9分 若n 为奇数，①当1n =时，0m =，不成立， …………………………………10分
②当1n ≥时，设*
21,n t t =+∈N ，则12212141333n t t m ----===∈Z ……12分 若n 为偶数，设*
2,n t t =∈N ，则121112121241411233333n t t t m ------⋅--====⋅+， 因为1413
t --∈Z ，所以m ∉Z ．……………………………………………………14分 综上所述，只有当n 为大于1的奇数时，1211,3
n r m --==． 当n 为偶数时，不存在． …………………………………………………………16分
19．解：（1）在方案一：在三角形AFC 中，设,(0,90)ACF αα∠=∈，
则,AF FC αα==， …………………………………………2分
因为DE ∥AC ，所以E α∠=，2sin EC α
=， 且FA FC AD CE =
sin α
= …………………………………4分 解得2cos AD α
=
， ………………………………………………………………6分
所以11224)3(sin 2)2cos sin 3sin 2S αααααα=++=++ 所以当sin 21α=，即45α=时，1S
有最小值7+ …………………………8分
（2）在方案二：在三角形DBA 中，设,(0,120)DBA ββ∠=∈，则s i n (120)s i n 60D B A B β=-，
解得)DB β=-， ……………………………………………………10分 三角形CBE 中，有sin sin 60EB CB β=
，解得EB β=， ……………………12分
))ββββ-+=，…14分
，所以面积2S
2=．……16分 20．解（1）因为()ln 1f x x '=+，由()0f x '>，得1x e >
， 所以()f x 的单调增区间为1(,)e +∞，……………………………………………………2分 又当1(0,)x e ∈时，()0f x '<，则()f x 在1(0,)e 上单调减， 当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1(,)e +∞上单调增，
所以()f x 的最小值为11()f e e =-． …………………………………………………5分
（2）因为()ln 1f x x '=+，21()32
g x ax '=-， 设公切点处的横坐标为x ，则与()f x 相切的直线方程为：(ln 1)y x x x =+-， 与()g x 相切的直线方程为：231
2(3)223y ax x ax e
=---，
所以231ln 13,222,3x ax x ax e ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩
…………………………………………………………8分 解之得1ln x x e =-，由（1）知1x e =，所以2
6
e a =． …………………………10分 （3）若直线1l 过22(,2)e e ，则2k =，此时有ln 12x +=（x 为切点处的横坐标）， 所以x e =，m e =-， ………………………………………………………………11分 当2k >时，有2:l (ln 1)y x x x =+-，1:l (ln 1)y x x =+，且2x >
，
所以两平行线间的距离
d =12分
令()ln (ln 1)h x x x x x x =-+-，因为()ln 1ln 1ln ln h x x x x x '=+--=-， 所以当x x <时，()0h x '<，则()h x 在(0,)x 上单调减；
当x x >时，()0h x '>，则()h x 在2(,)x e 上单调增，
所以()h x 有最小值()0h x =，即函数()f x 的图象均在2l 的上方，………………13分
令2
2()ln 2ln 2x t x x x =++，则 2222222ln 4ln 42ln 22ln 2ln 2()0(ln 2ln 2)(ln 2ln 2)
x x x x x x x x x x x x x t x x x x x ++--++'==>++++， 所以当x x >时，()()t x t x >，………………………………………………………15分 所以当d 最小时，x e =，m e =-．…………………………………………………
16分。