2019届高考文科数学一本专题限时集训8 直线与圆 Word版含解析

专题限时集训(八) 直线与圆
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A ．3x ＋y －5＝0
B ．x －2y ＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．2x ＋y －3＝0
D [直线x －2y ＋3＝0的斜率为1
2，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.]
2．(2018·昆明模拟)已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )
A ．3＋6或3－ 6
B ．3＋26或3－2 6
C ．9或－3
D ．8或－2
A [由题意可得，圆心(0,3)到直线的距离为62，所以d ＝|m －3|2＝6
2，m ＝3±6，选A.]
3．(2018·大同模拟)以抛物线y 2
＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 2
9＝1
的两条渐近线都相切的圆的方程为( )
A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0
B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0
C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0
D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0
C [∵抛物线y 2
＝20x 的焦点F (5,0)，∴所求圆的圆心(5,0)，∵双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线分别为3x ±4y ＝0，∴圆心(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离即为所求圆的半径R ，∴R ＝15
5＝3，∴圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16
＝0，故选C.]
4．(2018·重庆模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y ＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝() A．2 B．4 2
C．6 D．210
C[圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝|AC|2－r2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝6，选C.]
5．(2018·忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
B[∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝1－0
3－1
＝
1
2，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，
即2x＋y－7＝0.故选B.]
6．(2018·泰安模拟)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()
A．－5
3或－
3
5B．－
3
2或－
2
3
C．－5
4或－
4
5D．－
4
3或－
3
4
D[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴
的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.
∵反射光线与已知圆相切， ∴
|－3k －2－2k －3|
k 2＋(－1)2
＝1，整理得12k 2
＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－4
3.]
7．(2018·安阳模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14
B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，14 D.⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，14 D [x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与x 2＋y 2＋ky －4＝0，相减得公共弦所在直线方程： kx ＋(k －2)y －4＝0，即k (x ＋y )－(2y ＋4)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧
2y ＋4＝0
x ＋y ＝0得x ＝2，y
＝－2，即P (2，－2)，因此2m ＋2n －2＝0，∴m ＋n ＝1，mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1
4，选D.]
8．(2018·合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )
A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0
B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0
C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0
D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0
B [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，设圆心到直线l 的距离为d ，则|AB |＝2
r 2－d 2＝2
4－d 2＝23，得d ＝1，则直线l 的斜率不存在时，即x ＝0适
合题意；若直线l 的斜率存在，设为k ，则l ：y ＝kx ＋3，|k ＋2|k 2
＋1
＝1，解得k ＝
－34，此时l ：y ＝－3
4x ＋3，即3x ＋4y －12＝0，故选B.]
二、填空题
9．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．
26 [由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2
R 2－d 2＝2
7－1＝2 6.]
10．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________.
－7 [由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点P (1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，
∴
|(3＋a )×2＋4－a －5|
(3＋a )2＋12
＝5⇒a ＝－52，∴b ＝1
4，
∴3a ＋2b ＝－7.]
11．(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝
(1－2)2＋(0＋1)2＝ 2.
故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]
12．(2018·九江模拟)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人．为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本
校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆的方程为________．
(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817 [由题意，1002 500＝a 1 000＝b
600，∴a ＝40，b ＝24，∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|25＋9
＝3
34，
∵直线5x ＋3y ＋1＝0与以A (1，－1)为圆心的圆相交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，
∴r ＝
634
，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝18
17.] 三、解答题
13．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于，A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． [解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．
由题设知CM →·MP
→＝0，
故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－1
3， 故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3.
又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离d 为410
5， 所以|PM |＝2
|OP |2－d 2＝410
5，
所以△POM 的面积为S △POM ＝12|PM |d ＝16
5. (教师备选)
已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．
所以圆C ：x 2＋y 2＝4.
(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝4，
y ＝k (x －1)，
得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝2k 2
k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4
k 2＋1
.
若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1
x 1－t ＋y 2
x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)
x 1－t ＋k (x 2－1)
x 2－t
＝0
⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2(k2－4)
k2＋1
－
2k2(t＋1)
k2＋1
＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。