吉林省吉林市普通中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

吉林市普通中学2012-2013学年度上学期期末教学质量检测
高一数学
本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共48
分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求。

） 1. 设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则()P Q U ð＝
A.{}1,2
B.{}3,4,5
C.{}1,2,6,7
D.{}1,2,3,4,5
2．若直线经过((1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A. 30︒ B. 45︒
C. 60︒
D. 120︒
3. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是 A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b
D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b
4. 函数lg(1)y x =+的定义域是 A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞
C. [0,)+∞
D. (0,)+∞
5. 以两点)1,3(--A 和)5,5(B 为直径端点的圆的方程是 A. 100)2()1(2
2
=++-y x B. 100)2()1(2
2=-+-y x C. 25)2()1(2
2
=+++y x
D. 25)2()1(2
2
=-+-y x
6. 如图, 空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====则AC 与BD 所成角为 A. 030
B. 045
C. 0
60
D. 0
90
7. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等 的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这
主视图
左视图
B
D
个几何体的体积为
A ．
1
6 B ．
1
3
C ．1
2
D ．1
8. 若1
,2
(2,3),(3,2),()m A B C --三点共线 则ｍ的值为
Ａ.
2
1
Ｂ. 2
1
-
Ｃ. －２ Ｄ. ２
9. 已知函数
()f x 是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则()0f x <的解集是
A. （－1，0）
B. （0，1）
C. （－1，1）
D. ()()∞+-∞-，，11
10.
如图长方体中，1CC AB AD ==
=1
C B
D C
的大小为 A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
11. 已知两点(0,0),(1,0)O A ，直线l ：210x y -+=，P 为直线l 上一点.则||||PO PA +最小值
为
A.
B. C. D. 154
12． 已知函数2()|log |f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n
上的最大值为2，则,m n 的值分别为 A.
1
2
，2 B.
C. 14，2
D. 14，4
第Ⅱ卷（非选择题，共72分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．函数3)(2
+--=ax x x f 在区间(]1,-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围为
14. 棱长为2的正方体的顶点都在一个球的表面上，则这个球的表面积为
B
C
A 1
15. 已知(1,1),(2,0),(1,2)A B C --,则△ABC 中AB 边上的高所在的直线方程为 16. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形
成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①△DBC 是等边三角形；②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -
.其中正确的命题是_____.（写出所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤） 17．（本题满分10分）
已知直线l 过点(6,7)A -与圆2
2:86210C x y x y +-++=相切，
（1）求该圆的圆心坐标及半径长 （2）求直线l 的方程
18．（本题满分10分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC , AC BC ⊥，点D 是AB 的中点. 求证：（1）1AC BC ⊥；（2）1//AC 平面1B CD .
19．（本题满分12分）已知：2562≤x 且2
1log 2≥x ， （1）求x 的取值范围；
（2）求函数22()()24
()log log x x f x =的最大值和最小值及对应的x 值。

20．（本题满分12分）
如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的一动点． （1）证明：面PAC ⊥面PBC ；
（2）若2==AB PA ，则当直线PC 与平面ABC 所成角正切值
为2时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
A 1
C 1
B 1
A
B
C
D
21．（本题满分12分）
已知关于y x ,的方程C :0422
2
=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆。

（2）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M,N 两点，且｜MN ｜,求m 的值。

（3）在（2）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为
c 的范围，若不存在，说明理由。

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高一数学参考答案
一. AADBD DAACA BA
二、13． 2≤a ; 14. 12π; 15.350x y +-=; 16.①②. 17． 解：（1）
()()
22
432x y -++= ∴圆心坐标为（４，－３）
，半径2r =．----4分 （2）当直线l 垂直于x 轴时，直线不与圆相切，所以直线的斜率存在， ---------------- 5分 设直线l 的方程为7(6)y k x -=+，即670kx y k -++= 则圆心到此直线的
距离为
2d ．由此解得34k =-或4
3k =-， ---------------------8分
直线l 的方程为：34100,4330x y x y +-=++= --------------------------------------------10分 18．证明：（1）
1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC
∴1CC AC ⊥
，AC BC ⊥，1BC CC C =，
∴AC ⊥平面11BCC B
，1
BC ⊂平面ABC ∴1AC BC ⊥. ----------------------------5分
（2）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，
11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，
又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//
AC 平面1B CD . ---------------------------------------10分
19．解：（1）由2562≤x 得8≤x ，----------------------------------------------------2分
由2
1
log 2≥
x 得2≥x ∴82≤≤x ---------------------------------5分 （2）由（1）82≤≤x 得3
log 21
2≤≤x
4
1
)23(log )2(log )1(log )(2222--=-⋅-=x x x x f 。

-
---------------------------10分
当23log 2=x ，4
1
)(min -=x f ，此时x =
当3log 2=x ，2)(max =x f ,
此时8x = -------------------------------------------------12分\
20．(1) 证明略 ----------------6分
（2）如图，过A 作H PC AH 于⊥,AH BC PAC BC ⊥⇒⊥平面 ,
A 1
C 1 B 1
A
B
C
D
O
PBC AH 平面⊥∴,则ABH ∠即是要求的角。

…..8分
ABC PA 平面⊥ ∴PCA ∠即是PC 与平面ABC 所成角，…..9分
2tan ==
∠AC
PA
PCA ，又2=PC ∴2=AC …..10分 ∴在PAC Rt ∆中，33
2
2
2=
+⋅=
AC PA AC PA AH ,…..11分 在ABH Rt ∆中，3
323
32sin ==∠ABH ，即AC 与平面PBC 所成角正弦值为3
3。

..12分 21．解：（1）方程C 可化为 m y x -=-+-5)2()1(2
2
………………2分 显然 5,05<>-m m 即时时方程C 表示圆。

………………4分
（2）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22
圆心 C （1，2），半径 m r -=5则
圆心C （1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为 5
12
142212
2
=
+-⨯+=
d ………………6分
5221,54
=
=
MN MN 则 ，有 222)21
(MN d r += ,)5
2(
)51(
522+=-∴m 得 4=m …………………………8分
（3）设存在这样的直线
圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为
5
115
32
12212
2
-
<-=
++⨯-=
c c
d 解得5254+<<-c ----------12分。