华安县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

华安县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
2． 双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（
）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
3． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．6
4． 已知双曲线：（，），以双曲线的一个顶点为圆心，为半径的圆
C 22
221x y a b
-=0a >0b >C 被双曲线截得劣弧长为，则双曲线的离心率为（ ）C 23
a π
C A ． B
C
D
6
5
5． 四面体 中,截面 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
ABCD PQMN A ． B ．AC BD ⊥AC BD
= C. D ．异面直线与所成的角为AC PQMN P PM BD 45
o
6． 数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n 为（
）
A ．2n ﹣1
B ．﹣3n+2
C ．（﹣1）n+1（3n ﹣2）
D ．（﹣1）n+13n ﹣2
7． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为
真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q
⌝∧8． 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知平面向量，，若与垂直，则实数值为（ ）
(12)=，
a (32)=-，
b k +a b a k 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．
C ．
D ．1
5
-11
9
1119
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．11．已知集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}，若A ⊆B ，则实数a 的范围是（
）
A ．[3，+∞）
B ．（3，+∞）
C ．[﹣∞，3]
D ．[﹣∞，3）
12．设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α
C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
二、填空题
13．已知[2,2]a ∈-，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.14．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则m= ．
15．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ．　
16．对任意实数x ，不等式ax 2﹣2ax ﹣4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是 ．17．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．
18．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．
三、解答题
19．已知函数，．3()1
x
f x x =
+[]2,5x ∈（1）判断的单调性并且证明；
()f x （2）求在区间上的最大值和最小值．
()f x []2,520．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．
3212)(-++=x x x f （I ）若，使得不等式成立，求实数的最小值；R x ∈∃0m x f ≤)(0m M （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数满足，证明：
.,a b 3a b M +=313b a
+≥
21．（本小题满分12分）设函数（）．mx x x x f -+=
ln 2
1)(2
0>m （1）求的单调区间；)(x f （2）求的零点个数；
)(x f （3）证明：曲线没有经过原点的切线．
)(x f y =22．已知集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}．（1）求C R （A ∩B ）；
（2）若C={x|x ≤a}，且A C ，求实数a 的取值范围．
⊆23．已知函数f （x ）=sin ωxcos ωx ﹣cos 2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时
，列表并填入的部分数据如下表：x ①
ππf （x ）
1
﹣1
0（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f （x ）在区间[﹣
，
]上的值域；
（Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A+）=1，b+c=4，a=
，求△ABC 的面
积．　
24．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．
华安县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，
设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD
Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米
在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900
∴CD=30米（负值舍去）
故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．
2．【答案】B
【解析】解：由题意，m2﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1
∵双曲线的方程是y2﹣x2=1
∴a2=1，b2=3，
∴c2=a2+b2=4
∴a=1，c=2，
∴离心率为e==2．
故选：B．
【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2．
3．【答案】C．
【解析】解：∵2a=3b=m，
∴a=log2m，b=log3m，
∵a，ab，b成等差数列，
∴2ab=a+b，
∵ab≠0，
∴+=2，
∴=log m 2， =log m 3，∴log m 2+log m 3=log m 6=2，解得m=．
故选 C
【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．　
4． 【答案】B
考点：双曲线的性质．5． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为截面是正方形，所以，则平面平面，PQMN //,//PQ MN QM PN //PQ ,//ACD QM BDA 所以,由可得，所以A 正确；由于可得截面
//,//PQ AC QM BD PQ QM ⊥AC BD ⊥//PQ AC //AC ，所以C 正确；因为，所以，由，所以是异面直线与PQMN PN PQ ⊥AC BD ⊥//BD PN MPN ∠PM BD
所成的角，且为，所以D 正确；由上面可知，所以，而0
45//,//BD PN PQ AC ,PN AN MN DN BD AD AC AD
==
，所以，所以B 是错误的，故选B. 1
,AN DN PN MN ≠=BD AC ≠考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.
6．【答案】C
【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n﹣2，故通项公式a n=（﹣1）n+1（3n﹣2）．
故选：C．
7．【答案】D
【解析】
考点：命题的真假.
8．【答案】C
【解析】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，
由题意P（A）==，P（B）=，
∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：
p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）
==．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．
9．【答案】D
【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x
联立方程组，解得A（，），B（，﹣），
设直线x=与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）
∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA
∴c﹣＜，b＜a，c2﹣a2＜a2∴c2＜2a2，e2＜2，e＜又∵e＞1
∴离心率的取值范围是1＜e＜
故选D
【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．
10．【答案】A
11．【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}，若A ⊆B ，则a ＞3，故选：B ．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．　
12．【答案】D
【解析】解：A 选项中命题是真命题，m ⊥α，m ⊥β，可以推出α∥β；B 选项中命题是真命题，m ∥n ，m ⊥α可得出n ⊥α；
C 选项中命题是真命题，m ⊥α，n ⊥α，利用线面垂直的性质得到n ∥m ；
D 选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D ．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．　
二、填空题
13．【答案】(,0)(4,)-∞+∞U 【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，
[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 2
2
+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2
a =时，044)42(x )2(f(a)y 2
>++--+=-==x f ，即086x )2(2
>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2
a =时，044)42(x )2(y 2
>-+-+==x f ，即02x )2(2
>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞U ．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，
[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
14．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2++y 2=1故圆的圆心为（1，0），半径为1直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18
15．【答案】　3π　．
【解析】解：将棱长均为3的三棱锥放入棱长为的正方体，如图
∵球与三棱锥各条棱都相切，
∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，
而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点
由此可得该球的直径为，半径r=
∴该球的表面积为S=4πr2=3π
故答案为：3π
【点评】本题给出棱长为3的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．
16．【答案】　（﹣4，0]　．
【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；
当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，
则满足，
即，
∴
解得﹣4＜a＜0，
综上：a的取值范围是（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．
17．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角
根据余弦定理，得
cosC=
=＞0
∵C ∈（0，π），∴角C 是锐角，
由此可得A 、B 也是锐角，所以△ABC 是锐角三角形故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．　
18．【答案】　﹣4　．
【解析】解：∵函数f （x ）=，
∴f （﹣2）=4﹣2=，f （f （﹣2））=f （）=
=﹣4．
故答案为：﹣4．　
三、解答题
19．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.2.5【解析】
试题分析：（1）在上任取两个数，则有，所以在[]2,512x x <1212123()
()()0(1)(1)x x f x f x x x --=<++()f x []
2,5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为，最大值为.
(2)2f =5
(5)2
f =试题解析：
在上任取两个数，则有
[]2,512x x <，12121233()()11x x f x f x x x -=
-++12123()
(1)(1)
x x x x -=++0<所以在上是增函数．
()f x []2,5所以当时，，2x =min ()(2)2f x f ==当时，.5x =max 5()(5)2
f x f ==考点：函数的单调性证明．
【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数，然后作差，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成12x x <12()()f x f x -几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.120．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能
力．
21．【答案】
【解析】（1）的定义域为，．()f x (0,)+∞211()x mx f x x m x x
-+'=+-=令，得．
()0f x '=210x mx -+=当，即时，，∴在内单调递增．
240m ≤∆=-02m ≤<()0f x ≥'()f x (0,)+∞当，即时，由解得240m ∆=->2m >2
10x mx -+=
，，且，1x =2x =120x x <<在区间及内,，在内，，
1(0,)x 2(,)x +∞()0f x '>12(,)x x ()0f x '<∴在区间及内单调递增，在内单调递减．
()f x 1(0,)x 2(,)x +∞12(,)x x （2）由（1）可知，当时，在内单调递增，∴ 最多只有一个零点．
02m ≤<()f x (0,)+∞()f x 又∵，∴当且时，；1()(2)ln 2
f x x x m x =
-+02x m <<1x <()0f x <当且时，，故有且仅有一个零点．2x m >1x >()0f x >()f x 当时，∵在及内单调递增，在内单调递减，
2m >()f x 1(0,)x 2(,)x +∞12(,)x x
且211()2f x =+
，ln =+22204
m m -+-<<
（∵），
4014
<=<=2m >∴，由此知，
1()0f x <21()()0f x f x <<又∵当且时，，故在内有且仅有一个零点．
2x m >1x >()0f x >()f x (0,)+∞综上所述，当时，有且仅有一个零点．
0m >()f x （3）假设曲线在点（）处的切线经过原点，
()y f x =(,())x f x 0x >
则有，即，()()f x f x x '=21ln 2x x mx x +-1x m x =+-化简得：（）．（*）21ln 102
x x -+=0x >记（），则，21()ln 12
g x x x =-+0x >211()x g x x x x -'=-=令，解得．
()0g x '=1x =当时，，当时，，
01x <<()0g x '<1x >()0g x '>∴是的最小值，即当时，．3(1)2g =()g x 0x >213ln 122
x x -+≥由此说明方程（*）无解，∴曲线没有经过原点的切线．
()y f x =
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}．
那么：A ∩B={x|6≥x ≥3}．
∴C R （A ∩B ）={x|x ＜3或x ＞6}．
（2）C={x|x ≤a}，
∵A C ，
⊆∴a ≥6
∴故得实数a 的取值范围是[6，+∞
）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．　
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）①处应填入．=
．∵T=
，∴
，，即．∵，∴，∴，从而得到f （x ）的值域为．
（Ⅱ）∵，
又0＜A ＜π，∴
，
得，．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA==（b+c）2﹣3bc，
即，∴bc=3．
∴△ABC的面积．
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（1）证明：∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴，
∴AB•PC=PA•AC．…
（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∴PC=40，BC=30，
又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，
又由（1）知，
∴AC=12，AB=6，
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴，
∴．
【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．。