1 高二数学上学期期末考试试题理

—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————
濉溪县2018—2019学年度第一学期期末考试
高二理科数学试卷
一、选择题．本大题共有10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一个是正确的，选出你认为正确的答案代号，填入本大题最后的相应空格内． 2.“2x >”是“24x >”的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 3.命题“a, b 都是偶数，则a 与b 的和是偶数”的逆否命题是 A. a 与b 的和是偶数，则a, b 都是偶数 B. a 与b 的和不是偶数，则a, b 都不是偶数 C. a, b 不都是偶数，则a 与b 的和不是偶数 D. a 与b 的和不是偶数，则a, b 不都是偶数
4.曲线221259x y +=与曲线22
125-9-x y k k
+=(k<9)的
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
5.已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为
A .221916x y -=
B .221169x y -=
C .2212536x y -=
D . 22
12536
y x -=
6.抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是
A.(,0)a
B.(,0)a -
C.(0,)a
D. (0,)a -
7.不等式ax ２
＋bx+2＞０的解集是⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
<<-
3121x x ，则a －b 等于 A.－4 B.14 C.－10 D.10
8.已知}{n a 是等差数列，.28,48721=+=+a a a a 则该数列的前10项之和为 A. 64 B. 100 C. 110 D. 120
9.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为
A.63
B.108
C.75
D.83
10.已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=1
3,1,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭
给出下列等式： ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②⋅+)( =)(+⋅ ③2)(++=2
2
2
++ ④⋅⋅)( =)(⋅⋅
其中正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题．本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 11. 已知ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列,ABC ∆的面
积为
2
3
，则ac 的值为____________. 12. 已知x ，y 满足约束条件0260y y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数y x z +=的取值范围为 .
13. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意+∈N n ，都有1n n a
a n +=+，则100a ＝ . 14. 已知点M （1，－1，2），直线AB 过原点O, 且平行于向量（0，2，1），则点M 到直线
AB 的距离为__________.
15、已知正实数b a 、满足1=+b a ，且
m b
a ≥+2
1恒成立，则实数m 的最大值是________. 三、解答题．本题共5小题，满分60分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 16. (本题满分10分)
ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且
b
c
a B C -=3cos cos . （1）求B sin ； （2）若,
b a
c ABC ==∆求的面积.
17. (本题满分12分)
当a ≥ 0时，解关于x 的不等式2(22)40ax a x -++>．
18.（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+. （1）求数列的通项公式n a ； （2）设1234
23111
n T a a a a a a =++
1
1
n n a a +++
，求n
T .
19. (本题满分12分)
设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的一个顶点与抛物线y x C 34:2=的焦点重合，21,F F 分
别是椭圆的左、右焦点，且离心率⋅=2
1
e 且过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两
点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得2-=⋅ON OM .若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
20、(本题满分14分)
如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
, OA ⊥底面
ABCD , OA =2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用
空间向量解答以下问题：
（Ⅰ）证明：直线MN ∥平面OCD ； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离.
濉溪县2018—2019学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷参考答案
一、选择题．1—5 BBDDA 6—10 ACBAD
二、填空题．11、2；12、[]4,0；13、4951；14、6；15、223+.
三、解答题．16、解：（1）由题意B
C
A B C sin sin sin 3cos cos -= B C B A B C cos sin cos sin 3sin cos -=∴
解得 3
2
2sin 31
cos =
∴=B B ……………………………………………………………5分 （2）3
1
2cos 222=-+=
ac b c a B ，又24,==b c a ∴242=a 28sin 2
1
sin 212===∴∆B a B ac S ABC ……………………………10分
解：原不等式可化为(x – 2)(ax – 2) > 0，………………………………………………………
2分
(1)当a = 0时，原不等式即为042>+-x ，解得x < 2；…………………………………4分
(2)当a > 0时，0)2
)(2(>--a
x x ，……………………………………………………………5分
①若22<a
，即a > 1时，解得x <a 2或x >2；②若22>a ，即0<a <1时，解得x < 2或x >a
2；…
9分
③若22
=a ，即a =1时，解得x ≠2； ……………………………………………………………11分
综上所述，原不等式的解集为：当a = 0时，{}2|<x x ；当0<a <1时，⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧><a x x x 22|或；当
a =1时，
{}2|≠∈x R x x 且；当a > 1时，⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧><22|x a
x x 或．
……………………………………………………12分
18、解：（1）当2≥n 时，12)]1(2)1[(2221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n
①
…………………………………………………………………………………………4分 当1=n 时， 3121211
=⨯+==S a ，也满足①式
5分
所以数列的通项公式为 12+=n a n ……………………………………………………6分
（2）
)3
21121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n
10分
=+-++-+-+-=
)321
121917171515131(21n n T n )32(3)32131(21+=+-
n n n …12分
1
9、解：椭圆的顶点为)3,0(，即3=b ，1
2
c e a ===，解得2=a ，∴椭圆
的标准方程为22
143x y +=
……………………………………………………… 5分 （2）由题可知,直线l 与椭圆必相交.①当直线斜率不存在时，经检验不合题
意．……………………………………………………………………………………………6分
②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)M x y ，22(,)N x y .
由22
143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得2222
(34)84120k x k x k +-+-=， 2122834k x x k +=+2122
412
34k x x k -⋅=+，…………………………………………………8分
]1)([21212212121++-+=+=⋅x x x x k x x y y x x
=
243125)143843124(431242
22222
222-=+--=++-+-++-k k k k k k k k k 所以2±=k ，故直线l 的方程为)1(2-=x y 或
)1(2--=x y (12)
分
20、解： 作AP
CD ⊥于点P,如图,
分别以AB,AP,AO 所在直线为,,
x y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),(0,
((0,0,2),(0,0,1),(1
22244A B P D O M N --,…3分 (1)2222(1,,1),(0,,2),(2)MN OP OD =-
-=-=-- ………5分 设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0=⋅=⋅
即
2022022
y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩
取z =,解得(0,4,2)n = ………………………7分
0)2,4,0()1,4
2,421(=⋅--
=⋅n MN MN OCD ∴平面‖
…………………………………………………………………9分 (2)设AB 与MD 所成的角为θ
,(1,0,0),(1)AB MD ==--∵
,3,2
1cos πθθ=∴==∴ AB 与MD 所成角的大小为3
π
………12分
(3)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,4,2)n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n
⋅==
.所以点B 到平面OCD 的距离为2
3
…14分。