八年数学下册第6章平行四边形6.2平行四边形的判定第4课时平行四边形的性质和判定的应用习题课件新版北

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵BE＝13BC，FD＝13AD， ∴BE＝DF. 又∵DF∥BE， ∴四边形 平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB， CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交 于H，G.求证： (1)四边形AECF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
(2)EF 与 GH 互相平分．
解：由(1)得四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.∵AE＝CF，∴BE＝DF.∵BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形．∴BF∥DE. ∴四边形EGFH是平行四边形． ∴EF与GH互相平分．
(2)求▱ABCD 的面积．
解：过点 D 作 DM⊥BF 于 M. ∵BD·DF＝BF·DM， ∴DM＝9×1512＝356. ∴S▱ABCD＝BC·DM＝72.
4．【中考·扬州】如图，将▱ABCD沿过点A的直线l 折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD 边于点E，连接BE. (1)求证：四边形BCED′是平行四边形；
又∵∠ABC＝60°，∴∠EFB＝∠ABC＝60°. ∴EF∥BC.∵CD 在 BC 上，∴EF∥CD. 又∵EF＝CD，∴四边形 CDEF 为平行四边形． ∵D 是线段 BC 的中点，∴F 是线段 AB 的中点． ∴∠FCD＝12×60°＝30°，则∠DEF＝∠FCD＝30°.
＝∠ABC.∴∠CNM＝∠BEM.
又∵BM＝MC，∴△CNM≌△MEB，∴MN＝BE. ∵CG∥EM，MN∥BG，∴四边形 MNGE 是平行四边形． ∴MN＝EG.∴BE＝EG. ∴BE＝12BG＝12(BA＋AG)．∴BE＝12(AB＋AC)．
7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝18 cm， CD＝15 cm，AD＝10 cm，AB＝12 cm，动点P，Q分 别从点A，C同时出发，点P以2 cm/s的速度由A向D运 动，点Q以3 cm/s的速度由C向B运动．(当其中一个点 停止运动时，另一个点也随之停止运动) (1)几秒后，四边形ABQP为平行四边形？ 并求出此时四边形ABQP的周长．
证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴AC＝BC，∠FBC＝∠DCA＝60°.
在△ ACD 和△ CBF 中， AC＝CB， ∠DCA＝∠FBC， CD＝BF， ∴△ACD≌△CBF(SAS)．
(2)点 D 在线段 BC 上何处时，四边形 CDEF 为平行四边形且∠ DEF＝30°？请说明理由．
解：当 D 是线段 BC 的中点时，四边形 CDEF 为平行四边形且 ∠DEF＝30°.
证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵AD∥EM， ∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE. ∴∠AEF＝∠AFE. ∴AE＝AF.
(2)BE＝12(AB＋AC)． 解:如图，作CG∥EM，交BA的延长线于G，作
MN∥BG交CG于N. ∵EF∥CG，∴∠CGE＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE. ∵∠AEF＝∠AFE，∴∠CGE＝∠ACG. ∴AG＝AC.∵MN∥BG，∴∠CNM＝∠CGE，∠CMN
解:设 y s 后，四边形 PDCQ 为平行四边形．由题意易得 10－2y ＝3y，解得 y＝2，即 2 s 后，四边形 PDCQ 为平行四边形， 此时四边形 PDCQ 的周长是 3×2×2＋15×2＝42(cm)．
8．如图，△ABC为等边三角形，D，F分别为BC，AB上的 点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE. (1)求证：△ACD≌△CBF.
理由如下：如图，连接 BE，由题易知 AB＝AC， AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°.
∴∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝60°， 即∠EAB＝∠DAC，∴△AEB≌△ADC(SAS)． 又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB. ∴EB＝DC＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°. ∴△EFB为等边三角形． ∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠CBA， DC∥AB，AD∥BC.∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠， 使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，∠D＝∠AD′E. ∴∠AD′E＝∠CBA.∴ED′∥CB. ∵EC∥D′B， ∴四边形BCED′是平行四边形．
(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.
BS版八年级下
第六章 平行四边形
6.2 平行四边形的判定 第4课时 平行四边形的性质和判定的
应用
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1．【2020·岳阳】如图，点 E，F 在▱ABCD 的边 BC，AD 上，BE ＝13BC，FD＝13AD，连接 BF，DE. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形．
解:∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA. ∵AD∥BC， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°. ∵∠DAE＝∠BAE， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°. ∴∠AEB＝90°.∴AB2＝AE2＋BE2.
5．【中考·毕节】如图，将▱ABCD 的 AD 边延长至点 E，使 DE ＝12AD，连接 CE，F 是 BC 边的中点，连接 FD. (1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形；
3．如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，AE＝9，BD＝12， AD＝10. (1)求证：AE⊥BD；
证明：过D作DF∥AE交BC的延长线于F.∵四边形 ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝10，AD∥BC.
∴四边形AEFD为平行四边形． ∴EF＝AD＝10，DF＝AE＝9.
∵E 是 BC 的中点， ∴BE＝12BC＝5. ∴BF＝BE＋EF＝5＋10＝15. ∴BD2＋DF2＝122＋92＝225＝152＝BF2. ∴∠BDF＝90°，即 DF⊥BD. 又∵DF∥AE，∴AE⊥BD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∵F 是 BC 的中点，∴FC＝12BC. 又∵E 是 AD 延长线上一点，且 DE＝12AD，∴FC＝DE. ∵FC∥DE，
∴四边形 CEDF 是平行四边形．
(2)若 AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求 CE 的长．
解：如图，过点D作DM⊥BC于点M. ∵四边形 CEDF，四边形 ABCD 都是平行四边形， F 是 BC 的中点， ∴CE＝DF，∠DCM＝∠A＝60°， FC＝12BC＝12AD＝2，DC＝AB＝3.
在 Rt△ DCM 中，∠CDM＝90°－60°＝30°，DC＝3. ∴CM＝32.∴DM＝3 2 3，FM＝12. 在 Rt△ DFM 中，由勾股定理可得 DF＝ DM2＋FM2＝ 7. ∴CE＝DF＝ 7.
6．【中考·淄博】如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交 BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线 于点E，交AC于点F.求证： (1)AE＝AF；
解：设 x s 后，四边形 ABQP 为平行四边形，由题意易得 2x＝18 －3x，解得 x＝3.6，
即 3.6 s 后，四边形 ABQP 为平行四边形，此时四边形 ABQP 的 周长是 3.6×2×2＋12×2＝38.4(cm)．
(2)几秒后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边 形PDCQ的周长．