概率摸球问题

高二复习公开课摸球问题的三种题型及解题方法
摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题;由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同,其内容可以说是形形色色、千差万别;在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样,但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答,为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结,以期让同学提高解决这一类问题的能力;
下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法;
引例：盒中装有大小、重量相同的5个小球,其中白色2个,黑色3个,
求下列事件的概率：1从中摸出3个小球,恰有一个是白色；
2连续摸球3次,每次摸一个,摸后不放回,第三次摸到白球；
3连续摸球三次,每次摸一个,摸后放回,恰有两次摸到白球;
总结：以上三个问题,分别代表了摸球问题中常见的三种类型,即
1一次性摸取：
摸球的特点：一次摸够,元素不重复,无顺序;
解决的方法：用组合的思想去解决;
2逐次、每次不放回摸取:
摸球的特点：每次只摸一个,若干次摸够,元素不重复,但有顺序;
解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决;
3逐次、每次有放回摸取:
摸球的特点：每次只摸一个,若干次摸够,元素重复,同一个种球每次被摸到的概率都一样;
解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k次的概率;
为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题,我们再通过三个三个例题来加深大家的印象：
例1.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球;
1从中摸出两个球,求两球颜色不同的概率；
2采取不放回的抽样方式,从中摸出两个球,求两球颜色不同的概率;
例2.袋中有同样的小球5个,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸一个,当两种颜色的小球都被摸到时,即停止摸球,求至少摸球三次才停止游戏的概率;
例3.袋子中有若干个均匀的小球,其中红球5个,白球10个;从袋中有放回地摸球,每次摸一个,有3次摸到红球即停止;求恰好摸5次停止的概率是多少
总结：1解决此类问题,审题时注意看是否有“放回”、“不放回”、逐次或逐个”等关键词,借助于它们可以辨别该问题属于哪一类题型,若没有这些词汇更要注意正确理解题意,以便采取恰当的解题思想和方法;
2排列组合是解决摸球问题的基本功,应在平时复习中加强排列组合问题的解题能力;
例4．袋中有10个球,其中7个红球3个白球, ,则
1从中取2个,先摸到红球,后摸到白球的概率是
11
73
2
10
7
30
C C
P
A
==
2从中取2个,后一个摸到的是红球的概率是1127372102140
C C A P A +== 例5. 已知盒中装有3只螺口与7支卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则
(1) 他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为21373107120
A A P A ==; (2) 他三次内取得卡口灯泡的概率为1112173737123101010119120
A A A A A P A A A =++= 例6 :山东卷盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任取3张,每张卡片被抽出的可能性都相等,求：
Ⅰ抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
Ⅱ抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
Ⅲ抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.
解：I “抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A,由题意
12212626389()14
C C C C P A C +== II “抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B,则
2126383()28
C C P B C == III “抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C,“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D,由题意,C 与
D 是对立事件,因为 121436383()7
C C C P
D C == 所以 ()()341177
P C P D ∴=-=-=
例7．某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客,规定：甲摸一次,乙摸两次．求
1甲、乙两人都没有中奖的概率；
2甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．
解:1231999;101010P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2方法一：22222191191811826210101010101010101000
P ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 方法二：2119119262221010101010101000
P =+⨯⨯-⨯⨯⨯= 方法三：291199262110101010101000P ⎛⎫=-
⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭。