宜丰县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宜丰县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3
的系数为（ ）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
2． 已知一元二次不等式f （x ）＜0的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞}，则f （10x ）＞0的解集为（ ） A ．{x|x ＜﹣1或x ＞﹣lg2} B ．{x|﹣1＜x ＜﹣lg2} C ．{x|x ＞﹣lg2} D ．{x|x ＜﹣lg2}
3． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞ 4． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当
]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则
实数的取值范围是（ ）111] A ．)2
2,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(
5． 复数满足2＋2z
1－i ＝i z ，则z 等于（ ）
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
6． 函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移个单位得到
D ．向左右平移
个单位得到
7． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”
的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
A 、28+
B 、30+
C 、56+
D 、 60+
9． 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在
体积为
24316
π
同一球面上，则PA =（ ）
A ．3
B ．72
C ．
D ．9
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
10．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为， 则a =（ ）
A ． 1±
B ． 4±
C ．
D ．2
±11．已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ）
A ．1-
B ．
C ．1-或
D ．1-或2-
12．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e
∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y
x x a y e -++=
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1[,]e e
B.2(,]e e
C.2(,)e +∞
D.21(,)e e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
二、填空题
13．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
14．设p ：实数x 满足不等式x 2﹣4ax+3a 2＜0（a ＜0），q ：实数x 满足不等式x 2﹣x ﹣6≤0，已知￢p 是￢q 的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 ．
15．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．
16．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0
，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()210{ 21(0)
x
x
x e
x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．
18．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2
=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ．
三、解答题
19．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元. Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y 单位:元关于当天需求量n 单位:件,n ∈N 的函数解析式；
,整理得下表:
,求这50天的日利润单位:元的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间
[400,550]内的概率.
20．甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化•印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）： 甲 83 81 93 79 78 84 88 94 乙 87 89 89 77 74 78 88 98
（Ⅰ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（Ⅱ）本次竞赛设置A、B两问题，规定：问题A的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A，B成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）．
（1）求圆弧C2的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
24．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．
宜丰县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣
+…+
﹣1，
∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7）， ∴a=6，
∴
展开式的通项为T r+1=
，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴
展开式中x ﹣3
的系数为
=﹣4320，
故选：B ．. 2． 【答案】D
【解析】解：由题意可知f （x ）＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜}，
故可得f （10x ）＞0等价于﹣1＜10x
＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x
＞﹣1，
而10x
＜可化为10x ＜
，即10x
＜10﹣lg2
，
由指数函数的单调性可知：x ＜﹣lg2 故选：D
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1）（2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()
y f x
=零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()
y f x
=零点个数就是方程()0
f x=根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()()
,
y g x y h x
==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为()
,
y a y g x
==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.
4．【答案】B
【解析】
试题分析：()()1
)2
(f
x
f
x
f-
=
+
，令1-
=x，则()()()1
1
1f
f
f-
-
=，()x f 是定义在R上的偶函数,()0
1=
∴f()()2+
=
∴x
f
x
f．则函数()x f是定义在R上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x时，()18
12
22-
+
-
=x
x
x
f，令()()1
log+
=x
x
g
a
，则()x f与()x g在[
)+∞,0的部分图象如下图，()()1
log+
-
=x
x
f
y
a
在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f与()x g的图象在()+∞,0上至少有三个交点，()x g在()
+∞
,0上单调递减，则
⎩
⎨
⎧
-
>
<
<
2
3
log
1
a
a
，解得：
3
3
0<
<a故选A．
考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的
图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.
5． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z
1－i ＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－21－i ＝－2（1＋i ）2＝－1－i.
法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b
2b ＝a ＋b
， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 6． 【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin （2x+），
y=sin2x ﹣cos2x=
sin （2x ﹣
）=
sin[2（x ﹣
）+
）]，
∴由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象向左平移个单位得到y=
sin （2x+
），
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
7． 【答案】B
【解析】解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立， 若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：B ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
8． 【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
10,10,10,S S S S ====后右左底
因此该几何体表面积30S =+B ． 9． 【答案】B
【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O E
P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O
球心，均为12PC =
=
可得34243316ππ=，解得7
2
PA =，故选B ．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：由圆226260x y x y +--+=，可得22(3)(1)4x y -+-=，所以圆心坐标为(3,1)，半径为2r =，要使得圆上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于
1
2
r
，即1=
，解得a =，故选B. 1 考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于1
2
r 是解答的关键.
11．【答案】D
【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 12．【答案】B
【
解
析
】
二、填空题
13．【答案】 9 ．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9
14．【答案】
．
【解析】解：∵x 2﹣4ax+3a 2
＜0（a ＜0）， ∴（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0， 则3a ＜x ＜a ，（a ＜0）， 由x 2
﹣x ﹣6≤0得﹣2≤x ≤3，
∵￢p 是￢q 的必要非充分条件， ∴q 是p 的必要非充分条件，
即，即≤a ＜0，
故答案为：
15．【答案】 2x ﹣y+1=0 ．
【解析】解：由题意得，y ′=（x+e x ）′=1+e x
，
∴点A （0，1）处的切线斜率k=1+e 0
=2，
则点A （0，1）处的切线方程是y ﹣1=2x ，即2x ﹣y+1=0，
故答案为：2x ﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于
基础题．
16．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y ＝－3x ＋z ＋m 与直线y ＝－3x 平行，且在y 轴上的截距最小时，z 才能取最小值，此时l 经过直线2x －y ＋2＝0与x －2y ＋1＝0的交点A （－1，0），z min ＝3×（－1）＋0＋m ＝－3＋m ＝1， ∴m ＝4.
答案：4
17．【答案】1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）
【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
110x x
e
+-=，得x=0， 由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2， 即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2， 作出函数f （x ）的图象如图：
y=
1x
x
e +≥1（x ≥0）， y ′=1x
x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，
x=1时，函数取得最大值：1
1e
+，
当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1
e ）时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1
e 时则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当a ＞3+1
e 时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点
当a=1+1
e 时，则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当11{ 21
a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e
，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
综上a ∈1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，），函数有3个零点． 故答案为：11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
18．【答案】
+
=1 ．
【解析】解：设动圆圆心为B ，半径为r ，圆B 与圆C 的切点为D ，
∵圆C ：（x+4）2+y 2
=100的圆心为C （﹣4，0），半径R=10，
∴由动圆B 与圆C 相内切，可得|CB|=R ﹣r=10﹣|BD|， ∵圆B 经过点A （4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10， ∵|AC|=8＜10，
∴点B 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，
设方程为
（a ＞b ＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b 2=a 2﹣c 2
=9，得该椭圆的方程为
+
=1．
故答案为： +=1．
三、解答题
19．【答案】
【解析】：Ⅰ当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； 当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-.
所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩
Ⅱ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.
①
3809
4401150015530105605
477.2
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ② 若利润在区间[400,550]内的概率为11151018
5025
P ++==
20．【答案】
【解析】解：（I ）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为
、
，方差分别为
、
．
，
．…
，
．…
因为
，
，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．…
（II ）记事件C 表示为“甲回答问题A 成功”，事件D 表示为“甲回答问题B 成功”，则P （C ）=，P （D ）=，且事件C 与事件D 相互独立． …
记甲按AB 顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0，100，400．
P （ξ=0）=P （）=，P （ξ=100）=P （）=
，P （ξ=400）=P （CD ）=．
0 100 400
所以甲按AB 顺序获得奖品价值的数学期望
．…
记甲按BA 顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0，300，400．
P （η=0）=P （）=，P （η=300）=P （）=
，P （η=400）=P （DC ）=，
η
所以甲按BA 顺序获得奖品价值的数学期望
．…
因为E ξ＞E η，所以甲应选择AB 的答题顺序，获得的奖品价值更高．…
【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．
21．【答案】
【解析】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．
由V
=V P﹣ABC，，得，
A﹣PBC
故点A到平面PBC的距离等于．
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．
22．【答案】
【解析】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，令x=5，
解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分
则直线AM的中垂线方程为y﹣6=2（x﹣17），
令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为（14，0），
又圆弧C2所在圆的半径为29﹣14=15，
所以圆弧C2的方程为（x﹣14）2+y2=225（5≤x≤29）…5分
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2
+y2+2x﹣29=0 …8分
由，解得x=﹣70 （舍去）9分
由，解得x=0（舍去），
综上知，这样的点P不存在…10分
【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
结合AB⊥AD，可得
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），
P（0，0，λ）（λ＞0）
∴，，
得，，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．
∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
则，解之
得λ=±2
∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）
设平面PCD的一个法向量为=（x
，y0，z0），，
由，，得到，
令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）
∴cos＜，
由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，
令n=1，得，即a1=1，
又4S n+1=（a n+1+1）2，
∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．
∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，
则b1+b2+…+b n=
=
=．。