江西省吉安市重点高中2020-2021学年高二5月联考数学(文)试题
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打算观看
不打算观看
女生
20
男生
25
（1）求出表中数据 ， ；
（2）判断是否有99%的把握认为观看2021年足球世界杯比赛与性别有关；
（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2021年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，现从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．
4．D
【分析】
由正弦定理和题设条件，求得 ，进而求得角 的值，得到答案.
【详解】
在 中，因为 ，
由正弦定理可得 ，
又由 ，则 ，所以 ，
又因为 ，所以 或 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解能力.
5．B
【解析】
试题分析：第一次进行循环体后，，满足继续循环的条件，则， ；当时，满足继续循环的条件，则， ；当时，满足继续循环的条件，则， ；当时，不满足继续循环的条件，故输出的的值是．故答案为B.
考点：程序框图.
【方法点晴】本题考查的知识点是程序框图，属于高考中的高频考点，当循环的次数不多时，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，当循环次数较多时，应找到其规律，按规律求解．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.8415ຫໍສະໝຸດ 0246.6357.879
附： .
20．在平面直角坐标系中，直线 过点 且与直线 垂直，直线 与 轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，动点 满足 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 不平行 轴的直线 与轨迹 相交于 ， 两点，设点 ，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
8．已知等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．曲线 作线性变换后得到的回归方程为 ，则函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ．若函数 有2个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
6．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个大于或等于 ”时，应假设（ ）
A．三个内角都小于60°B．三个内角都大于或等于60°
C．三个内角至多有一个小于60°D．三个内角至多有两个大于或等于60°
7．甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ， ，那么两人中恰有1人合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 ，不等式 的解集为 ．
（1）求实数 的值；
（2）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
求出集合 和 ，由此能求出 ( ).
【详解】
集合 ＝ ＝ ，集合 ，全集为 ，所以 = ，
所以 ( )=
故选D
【点睛】
本题考查集合的交集、补集的求法，属于基础题，
3．命题“存在 ，使得 ”的否定是（ ）
A．对任意 ，都有 B．不存在 ，使得
C．对任意 ，都有 D．存在 ，使得
4．在 中，若 ，则角A为（）
A．30°或60°B．45°或60°
C．120°或60°D．30°或150°
5．执行如图的程序框图，如果输入的 的值是 ，那么输出的 的值是（ ）
A．15B．105C．120D．720
2．C
【分析】
把复数 带入式子，化简，最后计算模长.
【详解】
已知复数 ，则
故答案选C
【点睛】
本题考查了复数的计算与模长，属于简单题.
3．C
【分析】
命题的否定，对结论进行否定，并改变特称连词和全称量词.
【详解】
存在 ，使得
命题的否定为：对任意 ，都有
答案选C
【点睛】
本题考查了命题的否定，特称连词和全称量词的变换是容易错误的点.
A． B．
C． D．
11．已知椭圆 的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 两点．若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 是定义域为 ， 是函数 的导函数，若 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．在极坐标系中，曲线 的方程为 ，点 ，以极点 为原点，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线 的参数方程的标准式和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 、 两点，求 的值．
13．已知点 ，则它的极坐标是________．
14．若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最小值等于________．
15．三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，三棱锥 的外接球的表面积为____________．
16．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， ， ， ……则按照以上规律，若 ，具有“穿墙术”，则 _____．
江西省吉安市重点高中2020-2021学年高二5月联考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集为 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
三、解答题
17．已知公差不为0的等差数列 中 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求使 的 的最大值．
18．如图，在边长为2的菱形 中， ，现将 沿 边折到 的位置．
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 体积的最大值．
19．某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2021年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表:
不打算观看
女生
20
男生
25
（1）求出表中数据 ， ；
（2）判断是否有99%的把握认为观看2021年足球世界杯比赛与性别有关；
（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2021年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，现从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．
4．D
【分析】
由正弦定理和题设条件，求得 ，进而求得角 的值，得到答案.
【详解】
在 中，因为 ，
由正弦定理可得 ，
又由 ，则 ，所以 ，
又因为 ，所以 或 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解能力.
5．B
【解析】
试题分析：第一次进行循环体后，，满足继续循环的条件，则， ；当时，满足继续循环的条件，则， ；当时，满足继续循环的条件，则， ；当时，不满足继续循环的条件，故输出的的值是．故答案为B.
考点：程序框图.
【方法点晴】本题考查的知识点是程序框图，属于高考中的高频考点，当循环的次数不多时，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，当循环次数较多时，应找到其规律，按规律求解．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.8415ຫໍສະໝຸດ 0246.6357.879
附： .
20．在平面直角坐标系中，直线 过点 且与直线 垂直，直线 与 轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，动点 满足 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 不平行 轴的直线 与轨迹 相交于 ， 两点，设点 ，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
8．已知等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．曲线 作线性变换后得到的回归方程为 ，则函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ．若函数 有2个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
6．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个大于或等于 ”时，应假设（ ）
A．三个内角都小于60°B．三个内角都大于或等于60°
C．三个内角至多有一个小于60°D．三个内角至多有两个大于或等于60°
7．甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ， ，那么两人中恰有1人合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 ，不等式 的解集为 ．
（1）求实数 的值；
（2）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
求出集合 和 ，由此能求出 ( ).
【详解】
集合 ＝ ＝ ，集合 ，全集为 ，所以 = ，
所以 ( )=
故选D
【点睛】
本题考查集合的交集、补集的求法，属于基础题，
3．命题“存在 ，使得 ”的否定是（ ）
A．对任意 ，都有 B．不存在 ，使得
C．对任意 ，都有 D．存在 ，使得
4．在 中，若 ，则角A为（）
A．30°或60°B．45°或60°
C．120°或60°D．30°或150°
5．执行如图的程序框图，如果输入的 的值是 ，那么输出的 的值是（ ）
A．15B．105C．120D．720
2．C
【分析】
把复数 带入式子，化简，最后计算模长.
【详解】
已知复数 ，则
故答案选C
【点睛】
本题考查了复数的计算与模长，属于简单题.
3．C
【分析】
命题的否定，对结论进行否定，并改变特称连词和全称量词.
【详解】
存在 ，使得
命题的否定为：对任意 ，都有
答案选C
【点睛】
本题考查了命题的否定，特称连词和全称量词的变换是容易错误的点.
A． B．
C． D．
11．已知椭圆 的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 两点．若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 是定义域为 ， 是函数 的导函数，若 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．在极坐标系中，曲线 的方程为 ，点 ，以极点 为原点，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线 的参数方程的标准式和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 、 两点，求 的值．
13．已知点 ，则它的极坐标是________．
14．若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最小值等于________．
15．三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，三棱锥 的外接球的表面积为____________．
16．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， ， ， ……则按照以上规律，若 ，具有“穿墙术”，则 _____．
江西省吉安市重点高中2020-2021学年高二5月联考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集为 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
三、解答题
17．已知公差不为0的等差数列 中 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求使 的 的最大值．
18．如图，在边长为2的菱形 中， ，现将 沿 边折到 的位置．
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 体积的最大值．
19．某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2021年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表: