北师大版九年级数学上册期末压轴题综合复习题(含答案)

2021-2022年北师大版九年级数学上册期末压轴题综合复习题
1、如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），
连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF．过点P 作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．
（1）求证：△PGB∽△EHP；
（2）求的值；
（3）求矩形BPEF的面积的最小值．
2、已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE
＝BF＝DH＝DG．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）已知∠B＝60°，AB＝6．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．
A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是．
B题：当BE＝时，矩形EFGH的面积是8．
3、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB
n
BC
，M是BC上一点，连接AM．
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．
①如图2，若n＝1，求证：CP BM
．
PQ BQ
②如图3，若M是BC的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC．
4、已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正
半轴上，且OA＝3cm，OC＝4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C 出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；
（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？
5、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发
沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：
（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱
形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．
6、如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，点E是BC边上一点（不与B，C重合），以BE为
边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H．（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；
（2）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择题．
A．若四边形BGEH为菱形，则BD的长为．
B．连接HC，CF，BF，若BD＝6，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为3．
7、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB
＝5．
（1）点B的坐标为．
（2）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD 相似？
（3）如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO 于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ＝，求四边形BDPQ的周长最小值．
8、如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中
点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．
（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；
（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）
（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．
9、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C
落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：BG＝DG；
（2）求C′G的长；
（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．
10、如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为
EF，MN，GH．
（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；
（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；
（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是．
12、如图1，在正方形ABCD的外部，分别以AB，CD为边作菱形ABEF和菱形
CDGH，连接EH，FG
（1）求证：FG=EH
（2）请从A，B两个题目中任选一题作答
A 如图2，若AB=4，∠BAF=60°，∠CDG=30°，求四边形AFGD的面积
B 如图3，若∠BAF=∠CDG，求证；四边形EFGH是矩形
13、问题情境：如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB，BC边上的点，连接AF，DE相交于点O，且∠AOE=∠ADC，试探究：AF与DE的数量关系．
特例探究：
如图2，当菱形ABCD是正方形时，AF与DE有怎样的数量关系呢？请你直接写
出结论，不必证明；
类比解答：
类比特例探究的结论，猜想问题情境中AF与DE的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
将图1中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3）其中AB=a，AD=b，点E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系，用含a、b的式子直接写出的值，不必说明理由．
14、问题情境：已知，菱形ABCD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE、
CE，线段CE交直线AD于点F，连接BF．
（1）特例研究：
如图1，当∠ABC=90°时，点A、B、E在同一条直线上，求证：BF=CE．（2）类比思考：请从下列A、B两题中任选一题作答：我选择A或B题．当90°＜∠ABC＜180°时，小彬提出如下问题：
A、若点E、D、C三点在同一直线上，请在下面画出符合条件的图形，并直接写
出∠ABC的度数；
B、如图2，若点E、D、C三点不在同一直线上，判断（1）中的结论是否仍然成
立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．
（3）拓展分析：请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A：如图3，当∠ABC=135°时，CD的延长线交AE于点G，直接写出的值；B：当∠ABC=45°时，直线AE与CD相交于点G，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出的值．
15、阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择题．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则
a=（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=或（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横
向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含m，n，b的式子表示）．
16、综合与实践
问题情境：正方形折叠中的数学
已知正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．
（1）如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；
深入探究：
（2）在CD边上取点F，使DF＝BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF 所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．
请你从A，B两题中任选一题作答，我选择题．
A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；
②直写出此时点H，G之间的距离．
B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；
②直接写出此时点H，G之间的距离．
17、如图，直线y＝x+n交x轴于点A（﹣8，0），直线y＝﹣x﹣4经过点A，交y轴于
点B，点P是直线y＝﹣x﹣4上的一个动点，过点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）若点P的横坐标为m，则PD的长度为（用含m的式子表示）；
（2）如图1，已知点Q是直线y＝x+n上的一个动点，点E是x轴上的一个动点，是否存在以A，B，E，Q为顶点的平行四边形，若存在，求出E的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，将△BPD绕点B旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OCA，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
18、如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接
AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q
（1）＝；
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．
19、在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D
为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t＝3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的值．
（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
20、如图①，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为
AD的中点，双曲线y＝经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图③），点T是边AF上一动点，M是HT 的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
参考答案
1、如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），
连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF．过点P 作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．
（1）求证：△PGB∽△EHP；
（2）求的值；
（3）求矩形BPEF的面积的最小值．
1、【解答】（1）证明：∵∠PGB＝∠EHP＝∠BPE＝90°，
∴∠PBG＝∠EPH（同角的余角相等），
∴△PGB∽△EHP；
（2）解：连接BE，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠BCE+∠BPE＝180°，
∴P，B，E，C四点共圆，
∴∠PBE＝∠PCE，
在Rt△BPE与Rt△ADC中，∠D＝∠BP E＝90°，∠ACD＝∠PBE，
∴Rt△BPE∽Rt△ADC，
∴＝，
即＝＝；
（3）设AP的长为x．
∵AD＝3，AB＝4，
∴由勾股定理得到：AC＝＝＝5
∵cos∠GAP＝＝＝，
∴AG＝AP＝x．
同理，sin∠GAP＝＝＝．则GP＝x．
在Rt△PBG中，PB2＝BG2+PG2＝（4﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+16，
∵＝＝．
∴PE＝PB，
∴S矩形BPEF＝PB•PE＝PB2＝（x2﹣x+16）＝（x﹣）2+，
∵0＜x＜5，
∴x＝时，S有最小值．
2、已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE
＝BF＝DH＝DG．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）已知∠B＝60°，AB＝6．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题．
A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是9．
B题：当BE＝2或4时，矩形EFGH的面积是8．
2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵BE＝BF＝DH＝DG，
∴AE＝AH＝CF＝CG，
∴∠AEH＝∠AHE＝（180°﹣∠A），∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣∠B），∴∠AEH+∠BEF＝（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）＝90°，
同法可证：∠EFG＝∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：A题：连接AC，BD交于点O．
∵AE＝BE，
∴AH＝DH，BF＝CF，CG＝GD，
∴EF＝AC，EH＝BD，
∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵OB⊥AC，
∴OB＝3，BD＝2OB＝6，
∴EF＝3，EH＝3，
∴S矩形EFGH＝EF•EH＝9．
故答案为9．
B题：设BE＝x，则AE＝6﹣x，EF＝x，EH＝（6﹣x），
由题意：x•（6﹣x）＝8，
解得x＝4或2，
∴BE＝2或4．
故答案为A或B，9，2或4．
3、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB
n
BC
=，M是BC上一点，连接AM．
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．
①如图2，若n＝1，求证：CP BM
PQ BQ
=．
②如图3，若M是BC的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC．
3、【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．
∵AM⊥CN，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，
∵∠AMB＝∠CMH，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．
（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．
∵BP⊥AM，
∴∠BPM＝∠ABM＝90°，
∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，
∴∠BAM＝∠CBH，
∵CH∥AB，
∴∠HCB+∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝∠BCH＝90°，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△BCH（ASA），
∴BM＝CH，
∵CH ∥BQ ， ∴
＝
＝
．
②简解：(射影定理)证2BM PM AM = 由BM =CM 得2CM PM AM = 则△PMC ∽△CMA 可得∠BPQ ＝∠BAC
4、已知：矩形OABC 的顶点O 在平面直角坐标系的原点，边OA 、OC 分别在x 、y 轴的正半轴 上，且OA ＝3cm ，OC ＝4cm ，点M 从点A 出发沿AB 向终点B 运动，点N 从点C 出发沿CA 向终点A 运动，点M 、N 同时出发，且运动的速度均为1cm /秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t 秒． （1）当点N 运动1秒时，求点N 的坐标；
（2）试求出多边形OAMN 的面积S 与t 的函数关系式；
（3）t 为何值时，以△OAN 的一边所在直线为对称轴翻折△OAN ，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？
4、【解答】解：（1）∵t ＝1∴CN ＝1，AM ＝1 过N 作NE ⊥y 轴，作NF ⊥x 轴 ∴△CEN ∽△COA ，∴，即
，∴EN ＝．（1分） 由勾股定理得：，
，∴
．（2分）
（2）由（1）得，∴
∴N 点坐标为
． ∵多边形OAMN 由△ONA 和△AMN 组成 ∴
＝（3分） ＝
（4分） ∴多边形OAMN 的面积S ＝
．
（0≤t≤4）（5分）
（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，当AN＝A′N＝A′O＝OA，四边形OANA’是菱形．
即AN＝OA，∴5﹣t＝3∴t＝2．（6分）
②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，
此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．
当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．
即OA⊥NN′，OG＝AG＝，
∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，
∴CN＝，∴（7分）
③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，
此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．
当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．
即OH⊥AC，AH＝NH＝，
由面积法可求得OH＝，
在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH＝．
∴，∴．（8分）
综上所述，t的值为．
5、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发
沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：
（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．
5、【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，
∴AB＝6，
由运动知，BP＝2t，AQ＝t，
∴AP＝6﹣2t，
∵△APC∽△ACB，
∴，
∴，
∴t＝；
（2）存在，
理由：如图②，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，
∴AP＝6﹣2t，CQ＝3﹣t，
∵点P是CQ的垂直平分线上，
∴QM＝CM＝CQ＝（3﹣t）＝（3﹣t），
∴AM＝AQ+QM＝t+（3﹣t）＝（t+3）
过点P作PM⊥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴PM∥BC，
∴，
∴
∴t＝1
（3）不存在，
理由：由运动知，BP＝2t，AQ＝t，
∴AP＝6﹣2t，
假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，
∴PQ∥BG，PQ＝BG，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
∴t＝，PQ＝，
∴BP＝2t＝3，
∴PQ≠BP，
∴平行四边形PQGB不可能是菱形．
即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．
6、如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，点E是BC边上一点（不与B，C重合），以BE为
边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H．（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；
（2）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择A题．
A．若四边形BGEH为菱形，则BD的长为5．
B．连接HC，CF，BF，若BD＝6，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为3．
6、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，
∴CD∥AG∥FH，BC∥GF，∠ABD＝∠ABC，∠BGE＝∠BGF，
∴∠ABC＝∠BGF，
∴∠ABD＝∠BGE，
∴BH∥GE，
∵EH∥BG，
∴四边形BGEH是平行四边形；
（2）解：A、∵四边形ABCD和四边形BGEH为菱形，
∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠GBE＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝5；
故答案为：A，5；
B、如图所示：∵四边形BHCF为矩形，
∴CE＝BE，
∵EH∥BG，
∴EH∥CD，
∴EH是△BCD的中位线，
∴BH＝BD＝3，
∴CF＝3；
故答案为：3；
8、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB
＝5．
（1）点B的坐标为（1，2）．
（2）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD 相似？
（3）如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO 于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ＝，求四边形BDPQ的周长最小值．
7、【解答】解：（1）∵点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5，
∴点B（1，2），
故答案为：B（1，2）；
（2）如图1，
过点B作BD⊥CO，则点D（1，0），
∴OD＝1，BD＝2，
∵AC⊥x轴，点A（﹣4，2），
∴AC＝2，CO＝4，
∴，且∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴当点D为（1，0）时，△AOC与△BOD相似；
∵△ACO∽△ODB，
∴∠AOC＝∠OBD，∠CAO＝∠BOD，
∵∠AOC+∠CAO＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴AO⊥BO，
∵AC＝2，CO＝4，
∴AO＝＝＝2，
∵OD＝1，BD＝2，
∴OB＝＝＝，
过点B作BD'⊥OB，交x轴于D'，
∵∠ACO＝∠OBD'，∠BOD＝∠CAO，
∴△ACO∽△OCD'，
∴，
∴OD'＝＝5，
∴D'（5，0）
综上所述：当点D为（1，0）或（5，0）时，△AOC与△BOD相似；（3）连接DO，
∵将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，
∴AD＝DO，
∵DN2+ON2＝DO2，
∴DN2+4＝（4﹣DN）2，
∴DN＝，
∴点D坐标（﹣，2），
∴BD＝2+＝，
∵四边形BDPQ的周长＝BD+PQ+PD+BQ＝++PD+BQ，
∴当PD+BQ最小时，四边形BDPQ的周长有最小值，
作点B关于AO的对称点B'（﹣1，﹣2），过点D作DH∥AO，且DH＝，
∴H（，1），
∴B'H为PD+BQ的最小值，
∴B'H＝＝，
∴四边形BDPQ的周长最小值＝++＝．
8、如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．
（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；
（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）
（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．
8、【解答】证明：（1）如图2，∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴▱OEMF是矩形；
（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形，理由是：由（1）得：四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=BD，OC=AC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵EM∥OC，
∴∠EMB=∠OCB，
∴∠EMB=∠OBC，
∴BE=EM，
∵BM=MC，EM∥OC，
∴BE=OE，
∴OE=EM，
∴▱OEMF是菱形；
故答案为：菱形；
（3）如图4，ME=OB+MF，理由是：
由（2）得：OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵MF∥BE，
∴∠OBC=∠BMF，
∴∠OCB=∠BMF，
∵∠OCB=∠FCM，
∴∠FCM=∠BMF，
∴FC═FM，
由（1）得四边形OEMF是平行四边形，
∴OF=EM，
∵OF=OC+FC=OB+FM，
∴ME=OB+MF．
9、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C
落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：BG＝DG；
（2）求C′G的长；
（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．
9、【解答】解：（1）∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，
∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，
∴在△GAB和△GC′D中，
，
∴△GAB≌△GC′D（AAS），
∴BG＝DG；
（2）∵△GAB≌△GC′D，
∴AG＝C′G，
设C′G＝x，则GD＝BG＝8﹣x，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得：，
∴；
（3）∵点D与点A重合，得折痕EN，
∴DM＝4cm，
∵AD＝8cm，AB＝6cm，
∴在Rt△ABD中，BD＝10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴MN是△ABD的中位线，
∴DN＝BD＝5cm，
在Rt△MND中，MN＝＝3（cm），
由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，
∵EN∥CD，
∴∠END＝∠NDC，
∴∠END＝∠NDE，
∴EN＝ED，
设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，
由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，
解得x＝，即EM＝cm．
10、如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为EF，MN，GH．
（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；
（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；
（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是AB=AD．
11、【解答】证明：（1）如图（2），∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
由折叠得：G、E、M将AD四等分，
∴ED=BF，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB，
∴OE=OF；
（2）由（1）得：△EOD≌△FOB，
∴OD=OB，
连接AC，
∴A、O、C共线，
∵GT∥EO，
∴=1，
∴DT=OT，
∵AE=ED，OT=DT，
∴ET∥AC，ET=AO，
即EQ∥AC，
同理得：TQ=OC，
∴EQ=AC，
同理得：PF=AC，PF∥AC，
∴PF=EQ，PF=EQ，
∴四边形EPFQ是平行四边形，
∵PF∥AC，F是BC的中点，
∴P为AB的中点，
同理得：Q为DC的中点，
∴AP=QD=AB，
∵AE=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴△APE≌△DQE，
∴PE=EQ，
∴▱EPFQ是菱形．
（3）当AB=AD时，四边形EPFQ是正方形，理由是：
∵E是AD的中点，P是AB的中点，
∴AE=AD，AP=AB，
∵AB=AD，
∴AP=AE，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠AEP=45°，
同理∠QED=45°，
∴∠PEQ=90°，
由（2）得：四边形EPFQ是菱形，
∴四边形EPFQ是正方形；
故答案为：AB=AD．
12、如图1，在正方形ABCD的外部，分别以AB，CD为边作菱形ABEF和菱形
CDGH，连接EH，FG
（1）求证：FG=EH
（2）请从A，B两个题目中任选一题作答
A 如图2，若AB=4，∠BAF=60°，∠CDG=30°，求四边形AFGD的面积
B 如图3，若∠BAF=∠CDG，求证；四边形EFGH是矩形
12、【解答】解：（1）∵AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，∴EF∥AB，EF=AB，HG∥CD，HG=CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴FG=EH；
（2）A、如图2，
延长FA，GD交于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠DAM=90°，∠CDG+∠ADM=90°，
∵∠BAF=60°，∠CDG=30°，
∴∠DAM=30°，∠ADM=60°，
∴∠ADM=180°﹣∠DAM﹣∠ADM=90°
在Rt△ADM中，∠DAM=30°，AD=4，
∴DM=AD=2，AM=2，
∵AF=DG=4，
∴FM=AF +AM=4+2，MG=MD +DG=6，
∴S 四边形AFGD =S △FMG ﹣S △MAD
=×FM ×GM ﹣×AM ×DM=×（4+2）×6﹣×2×2=12+4，
B 、方法1、如图3．连接FD ，AG （简化图），
∵∠BAF=∠CDG ，
∴∠DAF=∠ADG
在△ADF 和△ADG 中，
，
∴△ADF ≌△ADG ，
∴∠ADF=∠DAG ，DF=AG ，
∴∠ADF=（180°﹣∠AOD ）
在△AFG 和△DGF 中，， ∴△AFG ≌△DGF ，∠AGF=∠DFG ，
∴∠DFG=（180°﹣∠FOG ）
∵∠FOG=∠AOD ，
∴∠ADF=∠DFG ，
∴AD ∥FG ，
∵AB ⊥AD ，
∴AB ⊥FG ，
∵AB ∥EF ，
∴EF ⊥FG ，
∴∠EFG=90°，
由（1）知，四边形EFGH 为平行四边形，
∴平行四边形EFGH 是矩形，
即：四边形EFGH是矩形．
方法2、
延长FA，GD交于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∵∠BAF=∠CDG，
∴∠MAD=∠MDA，
∴MA=MD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∵四边形ABEF，CDGH是菱形，
∴MF=MG，∠AFE=∠DGH，
∴∠EFG=∠HGF，
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，
∴∠AFE+∠HGF=180°，
∴∠EFG=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形．
13、问题情境：
如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB，BC边上的点，连接AF，DE相交于点O，且∠AOE=∠ADC，试探究：AF与DE的数量关系．
特例探究：
如图2，当菱形ABCD是正方形时，AF与DE有怎样的数量关系呢？请你直接写出结论，不必证明；
类比解答：
类比特例探究的结论，猜想问题情境中AF与DE的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
将图1中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3）其中AB=a，AD=b，点E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系，用含a、b的式子直接写出的值，不必说明理由．
13、【解答】解：（1）特例探究：AF=DE．
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠DAE=∠B=90°，
∵∠AOE=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠DAO=∠BAF+∠DAO=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∴在ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AF=DE；
（2）类比解答：AF与DE的数量关系为AF=DE．
理由：如图1，在AB上取点M使得DM=DA，连接DM，交AF于N，则
∠DAM=∠DMA，DM=AD=AB，
∵∠DAB+∠B=180°，∠DMA+∠DME=180°，
∴∠DME=∠B，
∵∠AOE=∠ADC，
∴∠ADO+∠DAO=∠ADO+∠CDO，
∴∠DAO=∠CDO，
又∵CD∥AB，AD∥BC，
∴∠CDO=∠MED，∠DAO=∠BFA，
∴∠MED=∠BFA，
在△MED和△BFA中，
，
∴△MED≌△BFA（AAS），
∴AF=DE；
（3）拓展延伸：=．
如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵平行四边形ABCD的面积=AB×GM=BC×HN，
∵AB=a，AD=b，
∴=，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°﹣180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∴△GME∽△HNF，
∴==．
14、问题情境：
已知，菱形ABCD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE、CE，线段CE交直线AD于点F，连接BF．
（1）特例研究：
如图1，当∠ABC=90°时，点A、B、E在同一条直线上，求证：BF=CE．（2）类比思考：请从下列A、B两题中任选一题作答：我选择A或B题．当90°＜∠ABC＜180°时，小彬提出如下问题：
A、若点E、D、C三点在同一直线上，请在下面画出符合条件的图形，并直接写
出∠ABC的度数；
B、如图2，若点E、D、C三点不在同一直线上，判断（1）中的结论是否仍然成
立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．
（3）拓展分析：请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A：如图3，当∠ABC=135°时，CD的延长线交AE于点G，直接写出的值；B：当∠ABC=45°时，直线AE与CD相交于点G，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出的值．
14、【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
根据对称性可知，AE=AB，BE⊥AD，
∴B、A、E共线，
∵AF∥BC，
∴EF=FC，
∴BF=EC．
（2）A、如图2中，
当E、D、C共线时，由（1）可知：DE=DC，∵EB⊥AD，AD∥BC，
∴EB⊥BC，
∴∠EBC=90°，
∴BD=DC=DE=CB，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=180°﹣60°=120°．
B、（1）中结论成立．理由如下：
如图3中，设BE交AD于H．
∵B、E关于AD对称，
∴BE⊥AD，EH=BH，
∵AD∥BC，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC=90°，
∵EH=HB，HF∥BC，
∴EF=FC，
∴BF=EC．
故答案为A或B．
（3）A、如图4中，作FH⊥CD于H．
∵∠ABC=135°，AD∥BC，
∴∠EAF=∠BAF=45°，∠ADC=135°，∠ADG=45°，∴∠AGD=90°，
∵∠FHC=90°，
∴∠FHC=∠EGC=90°，
∴FH∥FG，
∵FE=FC，
∴HC=HG，
∴FH=EG，
∵△DFH是等腰直角三角形，
∴DF=FH，
∴EG=DF，
∴=．
B、如图5中，作FH⊥CD于H．
同法可证：EG=2FH，DF=FH，
∴=．
故答案为A或B．
15、阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择A或B题．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则
a=（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=或（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横
向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=b 或b（用含m，n，b的式子表示）．
15、【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为：==；
故答案为：；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为：=，
故答案为：；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b：a=a：b，
∴a=b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD：b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD：b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为：或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD：b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD：b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为：b或b．
16、综合与实践
问题情境：正方形折叠中的数学
已知正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．
（1）如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；
深入探究：
（2）在CD边上取点F，使DF＝BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF 所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′
GD′H．
请你从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题．
A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；
②直写出此时点H，G之间的距离．
B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；
②直接写出此时点H，G之间的距离．
16、【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
由折叠可知：BE＝BE′，∠CB′E＝∠ABC＝90°，
在Rt△BCE和Rt△ECB′中，∵EG＝GC，
∴BG＝EC，GB′＝EC，
∴BG＝GB′，
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝30°，
∴BE＝CE，
∴BE＝EB′＝B′G＝BG，
∴四边形BEB′G是菱形．
（2）选A或B．
故答案为A或B．
A题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H．
理由：如图2中，
由（1）得到：B′G＝CE，
∵点G是CE的中点，
∴CG＝CE，
∴B′G＝CG，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴△BCE≌△ADF（SAS），
∴CE＝CF，∠3＝∠4，
由折叠可知：∠D＝∠AD′F＝90°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5＝∠1，
在Rt△AD′F中，∵H是AF的中点，
∴D′H＝AH＝AF，
∴B′G＝D′H，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∴B′G∥D′H．
②连接GH，则四边形AEGH是平行四边形，
∴AE＝GH，设BE＝EB′＝m，则AE＝m，
∴m+m＝4，
∴m＝4﹣4，
∴GH＝AE＝8﹣4
B题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H．
理由：
由（1）得到：B′G＝CE，
∵点G是CE的中点，
∴CG＝CE，
∴B′G＝CG，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴△BCE≌△ADF（SAS），
∴CE＝CF，∠3＝∠4，
由折叠可知：∠D＝∠AD′F＝90°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5＝∠1，
在Rt△AD′F中，∵H是AF的中点，
∴D′H＝AH＝AF，
∴B′G＝D′H，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵MN∥BC，
∴MN∥BC∥AD，
∴∠AD′M＝∠DAD′＝2∠4，∠CB′N＝∠BCB′＝2∠3，∴∠AD′M＝∠CB′N，。