【期末试卷】河北省邢台市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

邢台市2017～2018学年高三（上）期末测试
数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数3z i =-，则复数z
i
的实部为（ ）
A ．-3
B ．3
C ．-1
D ．1
2.已知集合{|25}A x N x =∈>，{|(2)(7)0}B x x x =--≤，则A B 的元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
3.设,a b 是两个互相垂直的单位向量，则()(4)a b a b +⋅-=
（ ）
A ．-3
B ．-2
C ．2
D ．3
4.
棱长为8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．16π B ．18π C. 20π D ．24π
5.若双曲线2
2
2:1(0)x C y b b
-=>的焦点都在直线240x y +-=的下方，则C 的离心率的取值
范围为（ ）
A ．(4,)+∞
B ．(1,4) C.(2,)+∞ D ．(1,2) 6.在AB
C ∆中，4AB =，5BC =，6AC =，现有以下四个命题
12sin sin :
sin sin C A
p B C
<
； 2:p ABC ∆
32sinC sin :sin sin A
p B C >
； 4:p ABC ∆中最大角的余弦值为18
．
那么，下列命题中为真命题的是（ ） A ．14p p ∧ B ．34p p ∧ C. 12p p ∨ D ．24()()p p ⌝∧⌝
7.执行如图的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）
A ．12
B ．13 C.15 D ．18
8.设,x y 满足约束条件3000x y a x y -≤⎧⎪
≤≤⎨⎪+≥⎩
，且目标函数2z x y =+的最大值为16，则a =（ ）
A ．10
B ．8 C.6 D ．4
9.若函数211()2
21a
f x x ax a a =-+-+
-在[1,2]上单调递增，则(1)f 的取值范围为（ ）
A ．1(0,]7
B ．1(,]7-∞ C. 1(,]3-∞ D ．1
(0,]3
10.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
A ．
163 B ．203
或6 C. 20
3 D ．163或203
11.若在区间(,)n m 上，函数()2cos2f x x =
的图像总在函数()7g x x =--的图像的上方，则m n -的最大值为（ ）
A ．
76π B ． 43π C. 116π D ．53
π
12.若函数21
()(1)ln 2
f x x a x a x =+--存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a 的取值范围
为（ ）
A ．3[,2)2
B ．3[,)2+∞ C. 3[0,)2 D ．3(1,0)[,)2
-+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.某地区有1000家超市，其中大型超市有150家，中型超市有250家，小型超市有600家.为了了解各超市的营业情况，从中抽取一个容量为60的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有 家． 14.若29cos 13θ=
，且θ为钝角，则tan()4
π
θ-= ． 15.已知函数22()log (2)f x a x x a =+-+的最小值为8，且(,1)a n n ∈+，n N ∈，则
n = ．
16.设11(,)A x y ，22(,)B x y 分别为曲线y =1
(,0)4
F ，若||2||AF BF =，且
12x px q =+，则
p
q
= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2
(2)20n n n
n a n a n +-⋅-⋅=. （1）若0n a >，求n S ； （2）若0n a <，求数列1
{
}(1)n
n a +的前30项和30T .
18.从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“AR 扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就除夕夜22：18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：
（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？
（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；
（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.
参考公式：2
2
()()()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++. 附表：
19.如图，在各棱长均为4的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，60BAD ∠=︒，E 为棱1BB 上一点.
（1）证明：平面ACE ⊥平面11BDD B ；
（2）在图中作出点A 在平面1A BD 内的正投影H （说明作法及理由），并求三棱锥B CDH -的体积.
20.已知椭圆2222:1(0)y x W a b a b +=>>的焦距与椭圆2
2:14
x y Ω+=的短轴长相等，且W 与Ω
的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，与直线OA （O 为坐标原点）垂直的直线l 与W 交于,M N 两点，且l 与圆222:C x y R +=相切．
（1）求W 的方程；
（2）若||31
MN =
，求圆C 的方程．
21.已知a R ∈，函数()()(x x f x e ax xe =-.
（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 1，求a 的值；
（2）设()x g x xe =()1g x >对x R ∈恒成立； （3）若1(0,)a e
∈，证明：()2f x a >对x R ∈恒成立.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
，（θ为参数），以坐标原点O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为
(cos sin )(0)m m ρθθ+=>．
（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线()4
R π
θρ=
∈与直线l 交于点A ，与曲线C 交于,M N 两点．且
|OA ||OM ||ON |6⋅⋅=，求m ．
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3|f x x =-．
（1）若()(2)9f t f t +<，求t 的取值范围；
（2）若存在[2,4]x ∈，使得(2)||3f x x a ++≤成立，求a 的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:CCADD 6-10:BCAAD 11、12：DB
二、填空题
13.36 14.-5 15.5 16.8
三、解答题
17.解：（1）∵2
(2)20n n n
n a n a n +-⋅-⋅=，∴()(2)0n n n a n a +-=， ∵0n a >，∴2n n a =. ∴122n n S +=-.
（2）∵0n a <，∴n a n =-. ∴
1111()(1)(1)1
n n a n n n n =-=--+++，
∴3011111(1)2233031T =--
+-++- 130
(1)3131
=--=-. 18.解：（1）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值为
280(3053510)80
3.8414040651539
k ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，
故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.
（2）这80位大学生集齐五福的频率为
303513
8016
+=. 据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为13
10000812516
⨯
=. （3）设选取的2位男生和3位女生分别记为12123,,,,A A B B B ，随机选取3次采访的所有结果为121122(,,),(,,)A A B A A B ，123112(,,),(,,)A A B A B B ，113123(,,),(,,)A B B A B B ，
212213(,,),(,,)A B B A B B ，223123(,,),(,,)A B B B B B ，共有10个基本事件，至少有一位男生的基
本事件有9个，故所求概率为
910
. 19.（1）证明：∵底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥.
在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，∴1BB AC ⊥. ∵1BB BD B = ，∴AC ⊥平面11BDD B . 又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面11BDD B . （2）解：设AC 与BD 交于点O ，连接1A O ，
过A 作1AH AO ⊥，H 为垂足，H 即为A 在平面1A BD 内的正投影. 理由如下：
∵1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥，
又BD AO ⊥，1AO AA A = ，∴BD ⊥平面1A AO ， ∴BD AH ⊥，又1AO BD O = ，∴AH ⊥平面1A BD .
∵4sin60AO =︒=14AA =，
∴1AO =21AO OH AO =⨯
得OH =， 过H 作HK AO ⊥，垂足为K ，由
11HK OH AA A O =得12
7
HK =. ∴B CDH H BCD V V --=
=
111244sin 60327⨯⨯⨯⨯︒⨯=.
20.解：（1）由题意可得222
41a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，∴224
3
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 故W 的方程为22
143
y x +=. （2）联立222
21431
4y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2236
13413x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2219y x =，又A 在第一象限，∴CM k =1
3
y x =. 故可设l 的方程为3y x m =-+.
联立22314
3y x m y x =-+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得2231183120x mx m -+-=，
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121831
m
x x +=，21231231m x x -=，
∴||MN
=， 解得2
6m =，满足0∆>，又O 到直线l
的距离为d =，则22
3105m R =
=，故圆C 的方程为223
5
x y +=.
21.（1
）解：∵()()(x x f x e ax xe =-
，∴'()()(x x f x e a xe =-()(1)x x e ax x e +-+，
∴'(0))11f a =-+，∴0a =.
（2）证明：()()1x
g x x e '=+，令()0g x '=得1x =-，
令'()0g x >得1x >-，()g x 递增；令'()0g x <，得1x <-，()g x 递减.
∴min 1
()(1)g x g e =-=-∵ 2.7e ≈
，∴11e
->，∴()1g x >. （3）证明：()x h x e ax =-，令'()0h x =得ln x a =，
令'()0h x >，得ln x a >，()h x 递增；令'()0h x <，得ln x a <，()h x 递减. ∴min ()(ln )ln (1ln )h x h a a a a a a ==-=-.
∵1(0,)a e
∈，∴ln 1a <-，∴1ln 2a ->，∴min ()2h x a >，∴()20h x a >>. 又()1g x >，∴()()2g x h x a >，即()2f x a >.
22.解：（1）∵22(1)4x y -+=，∴22230x y x +--=，故曲线C 的极坐标方程为
22cos 30ρρθ--=.
（2）将4
π
θ=代入cos sin m ρθρθ+=
得ρ=
. 将4
π
θ=
代入2
2cos 30ρρθ--=，
得123ρρ=-，则||||3OM ON =
，则36=
，∴m =23.解：（1）由()(2)9f t f t +<得|3||23|9t t -+-<，∴32
3329t t t ⎧≤
⎪⎨⎪-+-<⎩， 或3
3
23239t t t ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩
，或33239t t t ≥⎧⎨-+-<⎩，解得15t -<<.
（2）当[2,4]x ∈时，(2)||23||f x x a x x a ++=-++，∴存在[2,4]x ∈， 使得||62x a x +≤-即2662x x a x -≤+≤-成立，
∴存在[2,4]x ∈，使得636x a x a ≤+⎧⎨≤-⎩成立，∴62
66
a a +≥⎧⎨-≥⎩，∴[4,0]a ∈-.。