高中数学选修2-3课时作业7：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)

1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)
一、基础达标
1.如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，
连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现
从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时
间传递的最大信息量是()
A.26 B．24
C.20 D．19
[答案] D
[解析]单位时间内传递的最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19，故选D.
2.已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为()
A.2 B．4
C.8 D．15
[答案] D
[解析]完成xy这件事分两步：
第一步：从集合{1,2,3,4}选一个数，共有4种选法；
第二步：从集合{5,6,7,8}选一个数，共有4种选法.
共有4×4＝16(种)选法．其中3×8＝4×6，所以xy可表示的不同值的个数为15.
3.从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，
能够确定不在x轴上的点的个数是()
A.100 B．90
C.81 D．72
[答案] C
[解析]分两步：第一步选b，∵b≠0，所以有9种选法；第二步选a，因a≠b，所以有9种选法．由分步乘法计数原理知共有9×9＝81(个)点.
4.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()
A.14 B．13
C.12 D．10
[答案] B
[解析]①当a＝0时，方程表示垂直于x轴的直线方程，有解，此时b取4个值，故有4种有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1，有3个实数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)．∵(a，b)共有3×4＝12个实数对，此时(a，b)的取值为12－3＝9(个)．∴(a，
b)的个数为4＋9＝13.
5.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种.
[答案]96
[解析]完成承建任务可分五步：
第一步，安排1号有4种；
第二步，安排2号有4种；
第三步，安排3号有3种；
第四步，安排4号有2种；
第五步，安排5号有1种.
由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1＝96(种).
6.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法.
[答案]242
[解析]分三类，第一类：取数学书和语文书，有10×9＝90(种)；第二类：取数学书和英语
书，有10×8＝80(种)；第三类：取语文书和英语书，有9×8＝72(种)，故共有90＋80＋72＝242(种).
7.若把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有多少对？
解把六棱锥的棱分成三类：
第一类，底面上的六条棱所在的直线共面，则每两条之间不能构成异面直线.
第二类，六条侧棱所在的直线共点，每两条之间也不能构成异面直线.
第三类，结合图形可知，底面上的六条棱所在的直线中的每一条与之不相交
的四条侧棱所在的四条直线中的每一条才能构成异面直线.
再由分步乘法计数原理，可构成异面直线6×4＝24(对).
二、能力提升
8.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块
不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()
A.24种B．30种
C.36种D．48种
[答案] D
[解析]共有4×3×2×2＝48(种).
9.个位数与十位数之和为奇数的两位数有________个.
[答案]45
[解析]分类讨论法求解.
个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类.
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数.
(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数.
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数.
10.如图是5个相同的长方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些长方形，使每个长方形涂一种颜色，且相邻长方形涂不同的颜色．如果颜色可反复使用，那么共有________种涂色方法.
[答案]1280
[解析] 涂第一个长方形时有5种方法；涂第二个长方形时颜色与第一个不同，有4种方法；由于颜色可以反复使用，因此第三个、第四个、第五个长方形各有4种涂法．由分步乘法计数原理知，所有的涂色方法共有5×4×4×4×4＝1280(种)．
11．有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同方法？
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？
解 (1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．
(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．
由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．
12．从集合{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？
解 因为抛物线经过原点，所以c ＝0，从而知c 只有1种取值．
又抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 顶点在第一象限，所以顶点坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＞0，4ac －b 24a ＞0，
由c ＝0解得a <0，b >0，
所以a ∈{－3，－2，－1}，b ∈{1,2,3}，
这样要求的抛物线的条数可由a ，b ，c 的取值来确定：
第一步：确定a 的值，有3种方法；
第二步：确定b 的值，有3种方法；
第三步：确定c的值，有1种方法．
由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有
N＝3×3×1＝9(条)．
三、探究与创新
13．如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
解方法一由题意，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．
由分类加法计数原理，当S，A，B已染确定时，C，D有7种染法．
由分步乘法计数原理，得不同的染色方法有60×7＝420(种)．
方法二第一步，S点染色，有5种方法．第二步，A点染色，由于A与S在同一条棱上，所以有4种方法．第三步，B点染色，由于B与S，A分别在同一条棱上，所以有3种方法．第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法，由分步乘法计数原理，有5×4×3×1×3＝180(种)方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法，再由分步乘法计数原理，有5×4×3×2×2＝240(种)方法．由分类
加法计数原理，得不同的染色方法共有180＋240＝420(种)．
方法三第一类，5种颜色全用，有5×4×3×2×1＝120(种)不同的染色方法；
第二类，只有4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有5×4×3×2＋5×4×3×2＝240(种)不同的染色方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，有5×4×3＝60(种)不同的染色方法．
由分类加法计数原理，得不同的染色方法共有120＋240＋60＝420(种)．。