2023年陕西省安康市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年陕西省安康市高考数学二模试卷（理科）
1. 已知，则( )
A. i
B.
C. 1
D.
2. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点，若
，则( )
A.
B. 1
C.
D. 2
4. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为( )
A. B. C. 2 D.
5. 已知函数的最小正周期为，则下列说法不正确的是( )
A.
B. 的单调递增区间为，
C. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称
D.
6. 已知四面体的四个面均为直角三角形如图所示，则该四面体中异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7.
，
，
，
，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 下列命题正确的是( )
A. “，”的否定为假命题
B.
若“，
”为真命题，则
C. 若，，且
，则
D.
的必要不充分条件是
9. 设抛物线C ：
的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且
，过弦AB 的中点P 作
的垂线，垂足为Q ，则
的最小值为( )
A. B. 3 C. D.
10. 宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义
理结合的表达.《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，
里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”.太极图如下图将平衡美、对称美体现的淋漓尽致.定义：
对于函数，若存在圆C ，使得
的图象能将圆C 的周长和面积同时平分，则称是圆C 的
太极函数.下列说法正确的是( )①对于任意一个圆，其太极函数有无数个②
是
的太极函数
③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C ，
是它的太极函数
A. ①④
B. ③④
C. ①③
D. ②③
11. 已知
…
，则
的值为( )
A.
0 B.
C. D.
12. 已知，
恒成立，则的取值范围是( )
A.
B. C. D.
13. 某服装公司对
月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x12345
销量万件50a142185227
若y与x线性相关，其线性回归方程为，则______ .
14. 已知双曲线C：上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原
点对称，直线PA，PB的斜率分别为，，且，则离心率e的取值
范围是____________.
15.
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，，
则的面积为______ .
16. 已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则
a的取值范围是______ .
17. 已知公比大于1的等比数列满足，，
求数列的通项公式；
记，求的前n项和
18. 2023年的春节联欢晚会以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，通过各种艺术形式，充分展现开心信心、顽强奋进的主旋律.调查表明，观众对春晚的满
意度与节目内容、灯光舞美、明星阵容有极强的相关性.现将这三项的满意度指标分别记为a，b，c，并对它们进行量化；0表示不满意，1表示基本满意，2表示非常满意.再用综合指标
的值评定观众对春晚的满意程度：若，则表示非常满意；表示
基本满意；表示不太满意.为了了解某地区观众对今年春晚的满意度，现从此地观
众中随机电话连线10人进行调查，结果如下：
人员编号12345678910
满意度指
标
在这10名被电话调查的人中任选2人，求这2人对灯光舞美的满意度指标不同的概率；
从满意程度为“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为m，从满意程度不是“非
常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为n，记随机变量，求X的分布列
及数学期望.
19.
如图，在斜三棱柱中，O为AB中点，底面ABC，，
，，G，E分别在线段AC，上，且
求证：面；
记面面，求二面角的余弦值.
20. 设椭圆C：过点，P为直线：上不同于原点O的任意一点，线段OP的垂直平分线为，椭圆的两焦点，关于的对称点都在以P为圆心，为半径的圆上.
求椭圆C的方程；
若直线与椭圆交于M，N两点，A为椭圆的右顶点，求四边形AMBN的面积的取值范围.
21. 已知函数，为自然对数的底数
当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；
若，方程有两个根，，，求证：
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点O
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，A为曲线C 上一点.
求A到直线l距离的最大值；
若点B为直线l与曲线C在第一象限的交点，且，求的面积. 23. 已知，
当时，解关于x的不等式；
若对，，都有成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
故选：
利用复数的乘除法可得z，后由共轭复数定义可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：A集合表示函数的定义域，
则
B集合表示函数的值域，则
故
故选：
化简集合A，B后由交集定义可得答案．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：，
，，
故选：
由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出，进而得出本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：画出可行域如图所示，
联立，解得，
由可得，，平移目标函数直线，
结合图形可知当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，则z有最大值，
故选：
根据题意，由约束条件画出可行域，结合图形即可得到结果．
本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：，
对于A：因为，，故A正确；
对于B：，令，，解得
，，
所以单调递增区间为，，故B错误；
对于C：将图像向左平移个单位得到
，关于y轴对称，故C正确；对于D：
，所以D正确．
故选：
先化简为，再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可．
本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：根据已知条件可知，，，，CD，平面BCD，所以四面体中平面BCD，
将四面体补成直三棱柱如图，
因为，所以为异面直线AB与CD所成角或其补角，
在中，，，，
所以，
即异面直线AB与CD所成角的余弦值为
故选：
根据条件，得到平面BCD，将四面体补成直三棱柱，再根据异面直线所成角的知识，求得异面直线AB与CD所成角的余弦值．
本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：，，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：
根据指数函数、对数函数、基本不等式等知识，对a，b，c，d的大小关系进行分析，从而确定正确答案．
本题考查对数大小的比较，考查作商比较法，放缩法比较数的大小，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对于A选项，，恒成立，
，为假命题，选项错误；
对于B选项，当时，不恒成立，选项错误；
对于C选项，，，
，解得，选项正确；
对于D选项，当时，得不到，
但当时，必有，
是的充分不必要条件，选项错误．
故选：
对A选项，由题可知“，”的否定，后可判断选项正误；
对B选项，利用全称命题定义可判断选项正误；
对C选项，由基本不等式可判断选项正误；
对D选项，由充分条件，必要条件定义可判断选项正误．
本题考查命题的真假的判断，恒成立问题与存在性问题的求解，充分与必要条件的概念的应用，属中档题．
9.【答案】A
【解析】解：设，，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为
，，
则，
点P为弦AB的中点，根据梯形中位线定理可得，P到抛物线C
的准线的距离为，
，
在中，由余弦定理得，
，当且仅当时取等号．
的最小值为
故选：
设，，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物
线定义及梯形中位线定理可得，由余弦定理可得，可得，利用基本不等式可得结论．
本题考查了抛物线的定义与标准方程及性质、梯形中位线定理、余弦定理、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】解：对于①，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，
所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确；
对于②，，
，
所以关于y轴对称，不是太极函数，故②错误；
对于③，中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心，
但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；
对于④，曲线存在对称中心，
所以必是某圆的太极函数，故④正确．
故选：
根据“太极函数”、函数的对称性、对数运算等知识对选项4个说法进行分析，由此确定正确答案．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：记，
，
则，，
，
故选：
记，对函数求导，根据题干给出的二项式系数的特征，利用赋值法即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
12.【答案】B
【解析】解：由，得，
所以，
所以，即
构造函数，
所以
因为，
所以单调递增．
所以
所以，即，
记，
所以，
又因为，
所以在区间，，单调递减；
在区间，，单调递增．
所以
所以，
解得，所以的取值范围是
故选：
把原不等式化为，再构造函数，利用函数的单调性
以及分离常数法，结合导数求得的取值范围．
本题考查了求解不等式恒成立的问题，可考虑构造函数，利用函数的单调性来求解，求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，分离常数后，通过构造函数，结合导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等来对问题进行求解，是难题．
13.【答案】96
【解析】解：由已知，可得，代入回归方程，得，
，
故答案为：
利用样本中心点一定在回归方程上，列方程求解即可．
本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设，，因为A，B关于原点对称，所以，
所以，，
所以，
又因为点P，A都在双曲线上，所以，两式相减得：，
所以，
所以，因为，
即，，
，
故答案为：
利用点差法求得，由此化简求得离心率e的取值范围．
本题考查点差法求双曲线的离心率，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
，展开得，
由三角形内角的性质知：不为0，故，
，
，，
所以的面积
故答案为：
已知式变形后由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得A，然后由余弦定理求得b，再由面积公式计算．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
函数在上恒有两个不同的极值点，即恒有两个不同的零点，即方程有两个不同的正实数根．
由，得，即
令，得，可得，则，，
问题转化为直线与曲线的图象在y轴右侧有两个不同的交点．
令，则，
令，则，
可得在上单调递增，
又，则当时，，即，
当时，，即，
在上单调递减，上单调递增．
则，
故答案为：
求出原函数的导函数，令，问题转化为转化为直线与函数的图象在y 轴右侧有两个不同的交点，利用构造函数法，结合多次求导的方法求得a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属难题．17.【答案】解：设等比数列的公比为q，则，又，，
所以，两式相除得，解得或舍，
则，
所以的通项公式为；
由可得，所以，
则，
所以，
两式相减得，
，
【解析】设等比数列的公比为q，则，根据等比数列的通项公式列方程求解，q的值，即可得数列的通项公式；
求得，直接按照错位相减法的步骤计算的前n项和即可．
本题考查数列通项公式的求法以及错位相减法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：名被调查者中，灯光舞美的满意度指标为0的共2人，灯光舞美的满意度指标为1的共5人，灯光舞美满意度指标为2的共3人，
记“从10名被电话调查的人中任选2人，这2人对灯光舞美的满意度指标不同”为事件A，
；
计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
人员编号12345678910
综合指标4462453513
其中满意程度为“非常满意”的共6名，则m的值可能为4，5，6；满意程度不是“非常满意”的共4名，
则n的值可能为1，2，3，
所以随机变量X所有可能的取值为1，2，3，4，5，
，
，
，
，，
所以随机变量X的分布列为：
X12345
P
【解析】由题可得，对灯光舞美的满意度指标为0的共2人，灯光舞美的满意度指标为1的
共5人，灯光舞美满意度指标为2的共3人，据此可得满意度指标不同的概率；
由题可得10人的综合指标，据此可得随机变量X所有可能的取值为1，2，3，4，5，可得
分布列及数学期望．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
19.
【答案】解：证明：过E作交于M，
过G作交AB于N，
，E分别为AC，的三等分点，
，，
，，
是平行四边形．
，又平面，平面，
面；
证明：，O为AB中点，
底面ABC，
以OC、OB、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建系如图，
则，，，，
，，
，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
又底面ABC的一个法向量为，
设所求二面角的大小为，
，
二面角的余弦值为
【解析】过E作交于M，过G作交AB于N，再根据线面平行的判定定理，即可证明；
以O为原点建立空间直角坐标系，二面角的平面角的余弦值即为平面与底面ABC夹角的余弦值，分别求出平面与底面ABC的法向量，后可得答案．
本题考查线面平行的判定定理，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．20.
【答案】解：设，关于的对称点分别为，，O为线段的中点，
是的中点，
是圆的直径，，
，
由已知，所以椭圆C的方程为
设点，，其中，
联立，消去y可得，
，，
点A、B到直线的距离分别为，
，
当且仅当时取等号，
，，
【解析】根据垂直平分线性质可知两焦点，关于的对称点距离等于线段的长度，且对称点所连线段为圆P的直径，由此可得焦距长，继而求出椭圆C的方程；
利用韦达定理，找出M，N两点坐标关系，根据弦长公式求出长度，根据点到直线距离公式求出A，B两点到的距离，列式即可得出四边形AMBN的面积表达式，根据直线斜率范围即可得出面积范围．
本题主要考查椭圆的性质与标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，设直线与的切点为，
则切线斜率为，切线方程为，
因在图像上，也在切线上，则，故切线斜率为1，
则切线方程为，
又，，设直线与的切点为，
则切线斜率为，切线方程为，
因在图像上，也在切线上，则，
又切线斜率为1，则；
证明：当时，，
则由题可得有两个根，，
令，则可得方程有两个根，，
则，令，则
，
，注意到
，
则构造函数，
因，则在上单调递增，
得，
故命题得证．
【解析】由题可求得过原点的与相切的直线方程：，再利用切点即在图像上，
也在切线上，可求得相应切点横坐标，再由切线斜率为1可求得b；
由题可得有两个根，，令，则可得方
程有两个根，，则，通过令，可将证明
，转化为证明，再构造函数
，通过其单调性可证明结论．
本题考查了导数的综合运用，属于中档题．
22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，两式相加得
，
直线l的普通方程为，
又曲线C的极坐标方程为，
，
曲线C的普通方程为，即，
又在圆C上，圆心到直线l的距离为，
到l距离的最大值为；
，解得或，
又在第一象限，
，
点A，B在曲线C上，设，，
代入曲线C的极坐标方程得，
，
，
故的面积为
【解析】消参得出直线l的普通方程，由得出曲线C的普通方程，再由距离公式结合圆的对称性得出A到直线l距离的最大值；
联立直线l与曲线C的方程，求出，再由的几何意义，结合面积公式求出的面积．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】解：当时，，
当时，，，
当时，，无解．
当时，，，
综上不等式的解集为
由已知，
，
，
等价于或，
解得或，
即a的取值范围是
【解析】分类讨论a的值，再解不等式；
将问题转化为，由绝对值三角不等式以及二次函数的性质得出，，再解不等式得出a的取值范围．
本题主要考查不等式恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。