2020年高考数学(文)总复习小卷练《空间几何体》解析卷

2020年高考数学（文）总复习小卷练
《空间几何体》
小题基础练
一、选择题
1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：B
解析：命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B.
2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()
答案：A
解析：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2 2.
3．[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()
答案：A
解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如右图所示)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()
答案：C
解析：过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如下图所示，则其正视图应为选项C.
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()
A ．3 B.113 C ．7 D.23
3
答案：B
解析：由三视图可知该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得，长方体的长、宽、
高分别为2,1,2，体积为2×1×2＝4，切去的三棱锥的体积为13×12×1×2×1＝1
3
，所以该几
何体的体积为4－13＝11
3
.
6．[2019·淮北月考]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A ．21＋ 3
B ．18＋3
C ．21
D ．18 答案：A
解析：由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6×⎝⎛⎭⎫4－12＋2×3
4
×(2)2＝21＋ 3.故选A.
7．[2018·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，
则P A ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为直角梯形，P A ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又BC ⊥AB ，AB ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥PB .在△PCD 中，PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5，所以△PCD 为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△P AB ，△P AD ，△PBC ，共3个．
故选C.
8．[2019·四川成都七中二诊]一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是( )
A ．9π B.9π
2 C ．36π D ．18π
答案：
B
解析：由三视图可知，棱锥为三棱锥，放在长方体中，为如图所示的三棱锥A－BCD.该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线的长，所以球
的半径R＝1
2×22＋22＋12＝3
2
，则外接球的体积V＝4
3π×⎝
⎛
⎭
⎫3
23
＝9π
2.故选B.
二、非选择题
9．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的表面积为________．
答案：(5＋2)π
解析：由题意得几何体如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.
10．[2019·天津滨海新区七所重点学校联考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体
的体积为________．
答案：4＋6π
解析：由三视图可知，几何体由半个圆柱和一个三棱锥的组合体，故体积为1
2
π×22×3
＋13×1
2×4×2×3＝4＋6π. 11．如图是一个几何体的三视图，若其正视图的面积等于8 cm 2，俯视图是一个面积为4 3 cm 2的正三角形，则其侧视图的面积等于________．
答案：4 3 cm 2
解析：易知三视图所对应的几何体为正三棱柱，设其底面边长为a ，高为h ，则其正视图的长为a ，宽为h ，故其面积为S 1＝ah ＝8；①
而俯视图是一个底面边长为a 的正三角形，其面积为S 2＝
34
a 2
＝4 3.②
由②得a ＝4，代入①得h ＝2. 侧视图是一个长为
32a ，宽为h 的矩形，其面积为S 3＝3
2
ah ＝4 3 (cm 2)． 12．[2019·贵州遵义模拟]已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O 的表面上，且
球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，则该球的表面积为________．
答案：16π3
解析：如图，设OO ′⊥平面ABC ，垂足是点O ′.设球的半径为r .∵边长为3的正三角形ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的
一半，∴AO ′＝23×3×32＝1，OA ＝r ，OO ′＝1
2
r .
∵OA 2＝O ′A ＋OO ′2，即r 2＝1＋r 24，解得r 2＝43，∴球O 的表面积S ＝4πr 2＝16π
3
. 课时增分练
一、选择题
1．[2019·四川资阳联考]给出下列几个命题，其中正确命题的个数是( )
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正
多边形，且有相邻的两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：B
解析：①错误，只有这两点的连线平行于轴线时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、
下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④不正确．故选B.
2．[2019·福州适应性测试]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()
答案：D
解析：由俯视图和正视图可知，该几何体可看成是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，且三棱锥的一个面恰为半圆锥的最大轴截面，故相应的侧视图可以为选项D.
3．[2019·保定模拟]一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()
A．①②B．①③C．③④D．②④
答案：D
解析：蚂蚁由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 1的位置，若把平面BCC 1B 1
展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面内，在矩形中连接AC 1，会经过BB 1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD 展开到与平面CDD 1C 1在同一个平面内，在矩形中连接AC 1，会经过CD 的中点，此时正视图为④. 其他几种展形方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了．故选D.
4．[2019·黑龙江哈尔滨三中模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )
A ．4
B ．2C.43 D.2
3
答案：D
解析：由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为13×12×2×2×1＝2
3.故选D.
5．[2019·宁夏吴忠联考]某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3
2
，则正视图
中的x 是( )
A ．2
B ．4.5
C ．1.5
D ．3 答案：C
解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S ＝1
2
×(1＋2)×2＝
3.由该几何体的体积V ＝13×3x ＝3
2
，解得x ＝1.5.故选C.
6．[2018·全国卷Ⅲ]设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ­ABC 体积的最大值为( )
A ．12 3
B ．183
C ．24 3
D ．543 答案：B
解析：由等边△ABC 的面积为93可得34
AB 2
＝93，所以AB ＝6， 所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝
3
3
AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝
16－12＝2.
所以三棱锥D ­ABC 高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D ­ABC 体积的最大值为1
3
×93×6＝18 3.故选B.
7．[2019·安徽马鞍山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A．25π B．26πC．32π D．36π
答案：C
解析：由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥．如图，三棱锥A－BCD即为该几何体，且AB＝BD＝4，CD＝2，BC＝23，则BD2＝BC2＋CD2，即∠BCD＝90°.故底面外接圆的直径2r＝BD＝4.
易知AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径．设球的半径为R，则由勾股定理得4R2＝AB2＋4r2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR2＝32π.故选C.
8．[2019·长春质量监测(一)]《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为()
A ．4
B ．5
C ．6
D ．12 答案：B
解析：
如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和
FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为3
2
，高为2的三
棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E －ADHG ＋V 三棱柱EHG －FNM ＝2×13×3×1＋3
2
×2＝5，故选B.
二、非选择题
9．[2019·福建莆田九中模拟]在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为23，在底面△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，则此直三棱柱的外接球的表面积为________．
答案：16π
解析：由题意可知，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC的外接圆的半径R＝3
sin60°
×1
2
＝1.两个底面中心的连线的中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为(3)2＋12＝2，外接球的表面积为4π×22＝16π.
10．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
7
8，SA与圆
锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．答案：402π
解析：
如图，∵SA与底面成45°角，
∴△SAO为等腰直角三角形．
设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝2r.
在△SAB中，cos∠ASB＝7
8
，
∴sin∠ASB＝15 8
，
∴S△SAB＝1
2SA·SB·sin∠ASB
＝1
2(2r)2·15
8
＝515，
解得r＝210，
∴SA＝2r＝45，即母线长l＝45，∴S圆锥侧＝πr·l＝π×210×45＝402π.
11.
如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．
解析：根据斜二测直观图画法规则可知，
该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．
由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.
故平面图形的实际面积为1
2×(6＋4)×42＝20 2.。