【推荐】2013-2019高考文科数学分类汇编-第八章题型95 证明空间中直线、平面的平行关系

第四节 直线、平面平行的判定与性质
题型95 证明空间中直线、平面的平行关系
2013年
1．（2013广东文8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A ．若//l α，//l β，则//αβ
B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ
C ．若l α⊥，//l β，则//αβ
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 2. （2013浙江文4）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面， A.若m α∥，n α∥，则m n ∥ B.若m α∥，m β∥，则αβ∥ C.若m n ∥，m α⊥，则n α⊥ D.若m α∥，αβ⊥，则m β⊥
3. （2013山东文19） 如图，四棱锥P -ABCD 中，AB AC ⊥，AB PA ⊥，AB CD ∥，
AB CD ＝2，E F G M N ，，，，分别为PB AB BC PD PC ，，，，的中点．
（1）求证：CE ∥平面PAD ； （2）求证：平面EFG ⊥平面EMN ．
4. （2013江苏16）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，
AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.
求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.
5.（2013辽宁文18）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O
P
M
D
C
G
E
F
B
A
N
A
B S
G
F
E
1
A
上的点.
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G为AOC
△的重心，求证：QG∥平面PBC.
6. (2013陕西文18）如图，四棱柱
1111
-
ABCD A B C
D的底面ABCD是正方形，O为底面
中心，
1
AO⊥平面ABCD，
1
AB AA
==
（1）证明：平面
1
A BD∥平面
11
CD B；
（2）求三棱柱
111
-
ABD A B D的体积.
2014年
1.（2014山东文18）如图所示，四棱锥P ABCD
-中
1
,//,,,
2
AP PCD AD BC AB BC AD E F
⊥==
平面分别为线段,
AD PC的中点.
（1）求证：//
AP BEF
平面；
（2）求证：BE PAC
⊥平面.
2.（2014安徽文19）如图所示，四棱锥ABCD
P-的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为17
2.点H
F
E
G,
,
,分别是棱PC
CD
AB
PB,
,
,上共面的四点，平面⊥
GEFH
平面ABCD，BC∥平面GEFH.
（1）求证：;
//EF
GH
（2）若2
=
EB，求四边形GEFH的面积.
Q
A
C
B
P
F
E
D
C
B
A
A E B
P
D C
F
H
G
2015年
1.（2015广东文18）如图所示， PDC △所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，
4PD PC ==，6AB =，3BC =．
(1)求证：//BC 平面PDA ； (2)求证：BC PD ⊥；
(3)求点C 到平面PDA 的距离．
1. 解析 （1）因为四边形ABCD 是长方形，所以//BC AD . 因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以//BC 平面PDA . （2）因为四边形ABCD 是长方形，所以BC CD ⊥. 因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC
平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，
所以BC ⊥平面PDC .因为PD ⊂平面PDC ，所以BC PD ⊥. （3）解法一：取CD 的中点E ，连接AC 和PE ，如图所示.
因为4P D P C ==，所以PE CD ⊥.在Rt PDE △中
，PE =
=
.
因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD CD =，PE ⊂平面PDC ，
所以PE ⊥平面ABCD .
由（2）知BC ⊥平面PDC ，由（1）知//BC AD ，所以AD ⊥平面PDC .因为PD ⊂平面PDC ，所以AD PD ⊥.
设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为C PDA P ACD V V --=三棱锥三棱锥，
所以11
33PDA ACD S h S PE ⋅=⋅△△
，即1
36212342
ACD PDA S PE h S ⨯⨯⋅===⨯⨯△△，
所以点C 到平面PDA
. P
D C
B
A
解法二：过点C 作CH DP ⊥交DP 的延长线于点H ，取CD 的中点E ，连接PE ，如图所示.
由（2）知BC ⊥平面PDC ，由（1）知//BC AD ，所以AD ⊥平面PDC . 又HC ⊂平面PDC ，所以AD HC ⊥. 因为PD AD D =，所以HC ⊥平面PAD .
则CH 的长度即为点C 到平面PDA 的距离. 因为4PD PC ==，所以PE CD ⊥. 在PDE △与CDH △中，P D E C D H
P E D C H D
∠=∠⎧⎨
∠=∠⎩，所以P D E C D H
△∽△，所以PD PE
DC CH
=
. 在Rt PDE △
中，PE =
=.
则46CH =
，得2CH =.故点C 到平面PDA
的距离为2
.
2.（2015江苏16）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，
1BC CC =． 设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ．
求证：（1）DE ∥平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥．
2.解析 （1）因为四边形11BCC B 是矩形，所以E 是1B C 的中点. 又D 是1AB 的中点，
因此DE 是1B CA △的中位线，故DE AC ∥.
又DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE ∥平面11AAC C ．
E
D A 1
B 1
C 1C
B
A
E
A
B
C D P
E
H
B
C
D
P
（2）因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥，又AC BC ⊥，
1BC
CC C =，从而AC ⊥平面11BCC B .
因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥． 因为1BC CC =，E 为1BC 的中点，所以11BC CB ⊥. 因为1AC
CB C =，所以1BC ⊥平面1AB C .
又因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．
2016年
1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，
交于直线.若直线，满足，，则（ ）. A.
B.
C. D.
1.C 解析 对于选项A ，因为，所以.又因为，所以与平行或
异面.故选项A 不正确；对于选项B 和D ，因为，，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B 和D 不正确；对于选项C ，因为所以因为所以，故选项C 正确，故选C.
2.(2016上海文16)如图所示，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）. A.直线
B.直线
C.直线
D.直线
2.D 解析 易知与在两个平行平面内，故不可能相交；平面，
平面，故不可能相交；同理与也不可能相交；与均在平面内，且与不平行，故相交，其交点如图所示.故选D.
αβl m n //m αn β⊥//m l //m n n l ⊥m n ⊥l αβ=l α⊂//m αm l αβ⊥n β⊥n α⊂//n α//m αm n ,l αβ=,l β⊂,n β⊥n l ⊥1111ABCD A B C D -,E F
1BC BB ,EF 1AA 11A B 11A D 11B C EF 1AA EF ∥11A B C 11A B ⊂11A B C 11A D EF 11B C 11BCC B EF 11B C G
1
A 1
B
B
A 1
3.（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱中，分别为
的中点，点在侧棱上，且，.
求证：（1）直线平面； （2）平面平面.
3.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中
位线，所以，又因为三棱柱为直棱柱，故，所以
，又因为平面，且，故平面.
（2）三棱柱为直棱柱，所以平面.又平面， 故.又，且，平面，
所以平面.又因为平面，所以. 又因为，，且平面，
所以平面.又因为平面，所以平面平面.
4.（2016天津文17）如图所示，四边形是平行四边形，
平面平面，，，，
，，为的中点.
（1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值.
4.解析 （1）如图所示，取的中点为，联结，. 在中，因为是的中点，所以且. 又因为，，所以且，即四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面
111ABC A B C -,D E ,AB BC F 1B B 11B D A F ⊥1111AC A B ⊥//DE 11AC F 1B DE ⊥11AC F ,D E ,AB BC DE ABC △//DE AC 111ABC A B C -11//AC AC 11//DE AC 11A C ⊂11AC F 11DE AC F ⊄//DE 11AC F 111ABC A B C -1AA ⊥111A B C 11A C ⊂111A B C 111AA AC ⊥1111AC A B ⊥1
111AA A B A =111,AA A B ⊂11AA B B 11A C ⊥11AA B B 1B D ⊂11AA B B 111AC B D ⊥11A F B D ⊥11
11AC A F A =111,AC A F ⊂11AC F 1B D ⊥11AC F 1B D ⊂1B DE 1B DE ⊥11AC F ABCD AED ⊥ABCD AB EF ∥2AB ＝1BC EF ==AE =3DE =60BAD ∠=G BC FG ∥BED BED ⊥AED EF BED BD O OE OG BCD △G BC DC OG ∥1
12
OG DC =
=AB EF ∥DC AB ∥OG EF ∥EF OG =OGFE OE FG ∥FG ⊄BED OE ⊂BED FG ∥.BED A
B
C D
E
F
A 1
B 1
C 1
G
F
E
D
C
B
A
（2）在中，，，.由余弦定理可得，进
而可得，即.
又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（3）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角. 过点
作于点，连接，如图所示.
又因为平面平面，由（2）知平面，
所以直线与平面所成角即为. 在中，.
由余弦定理可得，所以，
因此. 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为
. O
A
B
C
D
E
F G
ABD △1AD =2AB =60BAD ∠=3=BD 90ADB ∠=AD BD ⊥
⊥AED ABCD BD ⊂ABCD AED AD ABCD =⊥BD AED ⊂BD BED ⊥BED AED AB EF //EF BED AB BED A DE AH ⊥H BH H A
B
C
D
E
F
G
BED ED AED =⊥AH BED AB BED ABH ∠ADE △6,3,1===AE DE AD
32
cos =
∠ADE 35sin =∠ADE 3
5
sin =
∠⋅=ADE AD AH Rt AHB △6
5
sin ==
∠AB AH ABH AB BED 6
5
5（2016山东文18）在如图所示的几何体中，是的中点，.
（1）已知，. 求证：； （2）已知分别是和的中点.求证：平面.
5. 解析 （1）因为，所以与确定一个平面，连接，如图
（1）所示. 因为为的中点，所以；同理可得. 又因为，所以平面，因为平面，所以
.
（2）设的中点为，连接，如图（2）所示. 在中，是的中点，所以.又，所以；在
中，是的中点，所以.
又，，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（1） (2)
6.（2016全国丙文19）如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面
ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段
AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.
（1）证明//MN 平面PAB ； （2）求四面体N BCM -的体积.
D AC EF DB AB BC =A
E EC =AC FB ⊥,G H EC FB GH ABC EF
BD EF BD BDEF DE ,AE EC D =AC AC DE ⊥AC BD ⊥D DE BD = ⊥AC BDEF ⊂FB BDEF FB AC ⊥FC I HI GI ,CEF △G CE GI
EF EF DB GI DB CFB △H FB HI
BC I HI GI = DB
BC B =GHI
ABC ⊂GH GHI GH
ABC P
N M
D
C B
A
H
F
E
G D
C
A
I
A
C
D
G E
F
H
A
B
C D
G
E
F
H
6.解析（1）取中点，连接、，因为是中点，，且，又，且，所以，且，所以四边形是平行四边形.所以.
又平面，平面，所以平面.
(2)由(1) 平面.
所以.
所以.
2017年
1.（2017全国1文6）如图所示，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）.
1.解析 由选项B ，//AB MQ ，则直线//AB 平面MNQ ；由选项C ，//AB MQ ，则直线
PB Q AQ NQ N PC //NQ BC 1
2
NQ BC =
2231
3342
AM AD BC BC =
=⨯=//AM BC //QN AM QN AM =AQNM //MN AQ MN ⊄PAB AQ ⊂PAB //MN PAB //QN ABCD 1
122
N BCM Q BCM P BCM P BCA V V V V ----==
=11142363
N BCM ABC V PA S -=⨯⋅=⨯⨯=△B.
A
M N
Q
B
A.
M N
Q B
A C.
A
M Q
N
B
D.
B
A
N
Q
M
P
Q
N
M
D
C
B
A
//AB 平面MNQ ；由选项D ，//AB NQ ，则直线//AB 平面MNQ .故选项A 不满足.故选
A.
2.（2017全国2文18）如图所示，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
2
AB BC AD ==
，o 90BAD ABC ∠=∠=. （1）证明：直线//BC 平面PAD ；
（2）若PCD △
面积为P ABCD -的体积.
解析 （1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，所以//BC AD . 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故//BC 平面PAD . （2）取AD 的中点M ，联结PM ，CM . 由1
2
AB BC AD ==
，及//BC AD ，90ABC ∠=，得四边形ABCM 为正方形，则CM AD ⊥. 因为侧面PAD 是等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以
PM AD ⊥，因为PM ⊂平面PAD ，所以PM ⊥平面ABCD .因为CM ⊂平面ABCD ，所
以PM CM ⊥.
设BC x =，则CM x =
，CD
，PM ，2PC PD x ==. 取CD 的中点N ，联结PN ，则PN CD ⊥
，所以PN . 因为PCD △
的面积为
122x =，解得2x =-（舍去）
，2x =，于是2A B B C =
=，4AD =
，PM =.所以四棱锥P ABCD -的体积
(
)224132
V ⨯+=⨯⨯=3.（2017山东文18）由四棱柱
1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体
如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥
P
A
B
C
D
平面ABCD .
（1）证明：1//A O 平面11B CD ；
（2）设M 是OD 的中点，证明：平面1A EM ⊥平面11B CD .
解析（1）如图所示，取11B D 中点F ，联结1,CF A F ，由于1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以1//A F CO ，1=A F CO ，因此四边形1A OCF 为平行四边形，所以1//A O FC .
又FC ⊂平面11B CD ，1
AO ⊄平面11B CD ，所以1//A O 平面11B CD . （2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，E ，M 分别为AD 和OD 的中点，所以EM
BD ⊥.
又 1A E ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A E BD ⊥. 因为 11//B D BD ，所以11111EM B D A E B D ⊥⊥，. 又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A E
EM E =，所以11B D ⊥平面1A EM ，又11B D ⊂平
面11B CD ，所以平面1A EM ⊥平面11B CD .
解析（1）如图所示，取11B D 中点F ，联结1,CF A F ，由于1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以1//A F CO ，1=A F CO ，因此四边形1A OCF 为平行四边形，所以1//A O FC .
又FC ⊂平面11B CD ，1
AO ⊄平面11B CD ，所以1//A O 平面11B CD . （2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，E ，M 分别为AD 和OD 的中点，所以EM
BD ⊥.
又 1A E ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A E BD ⊥. 因为 11//B D BD ，所以11111EM B D A E B D ⊥⊥，. 又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A E
EM E =，所以11B D ⊥平面1A EM ，又11B D ⊂平
面11B CD ，
所以平面1A EM ⊥平面11B CD .
4.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥
，BC BD ⊥，
平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥．
求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．
解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .
又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD
平面BCD BD =，
BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .
因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥. 又AB AD ⊥，BC
AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.
2018年
1.（2018北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点
.
A
B
D
C
E
F
（1）求证：PE BC ⊥；
（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求证：//EF 平面PCD .
解析（1）因为PA PD =，且E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥. 因为底面ABCD 为矩形，所以BC AD ∥， 所以PE BC ⊥.
（2）因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD . 所以AB PD ⊥.又PA PD ⊥,
因为PD ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD . （3）如图所示，取PC 中点G ，连接FG ，GD .
因为F ，G 分别为PB 和PC 的中点，所以FG BC ∥，且1
2
FG BC =. 因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以ED BC ∥，1
2
DE BC =
， 所以ED FG ∥，且ED FG =，所以四边形EFGD 为平行四边形，所以EF GD ∥. 又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .
2.（2018浙江6）已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）.
F
E
D
C
B P
A
G
F
E
D
C
B P
A
⊄⊂
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 ,,m n m n m ααα⊄⊂⇒∥∥（线面平行的判定定理）；,m n αα⊂∥，则m ，n 可能平行，可能异面.故选A.
3.（2018江苏15）在平行六面体1
111A B C D A B C D -中，
111
1,A A A B A B B C
=⊥
． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．
证明 （1）在平行六面体ABCD -A
1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．
（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．
又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．
又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．
2019年
1.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．
1.解析 （1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且
112ME B C =
.又因为N 为1A D 的中点，所以11
2
ND A D =. 由题设知11=AB DC ∥，可得11
=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .
由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，
由已知可得CE =1，C 1C =4，所以1C E 17
CH =
.
从而点C 到平面1C DE .
2.（2019全国II 文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面
2.解析：对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；
对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除； 对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除． 故选B ．
3.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
3.解析 若②//m α，过m 作平面m β
α'=，则//m m '，又③l α⊥，则l m '⊥，又m ，
m '同在β内，所以①l m ⊥，即⇒②③①.
4.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，
AB =BC ．
求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．
4.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .
在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.。