2021届山东省(新高考)高三第二次模拟考 数学试题(一)(解析版)

2021届山东省（新高考）高三第二次模拟考 数学试题（一）
一、单选题
1．已知集合{}0,A a =，{}
2
20B x Z x x =∈--≤，若{}0,1A
B =，则
B
A =
（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,2
C ．{}1,1,2-
D ．{}1,2-
【答案】D
【分析】求得集合B ，结合{}0,1A
B =，求得集合A ，利用补集的运算，即可求解.
【详解】由不等式22(2)(1)0x x x x --=-+≤，解得12x -≤≤，所以
{}1,0,1,2B =-，
又由{}0,1A
B =且{}0,A a =，所以1a =，即{}0,1A =，
由补集的概念及运算，可得{}1,2B
A =-.
故选：D.
2．已知复数(3i)(32i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0
C ．2
D ．－2
【答案】C
【分析】根据复数的乘法运算化简后即可求解.
【详解】2(3i)(32i)32i 9i 6i 36(29)i z a a a a a =-+=+--=++-， 所以复数z 的实部与虚部分别为36a +，29a -， 于是36297a a ++-=， 解得2a =， 故选：C
3．某自来水厂一蓄水池可以用甲､乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（ ） A ．4小时 B ．7小时
C ．6小时
D ．14小时
【答案】C
【分析】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案，分别计算两个方案同时开放的时间，比较可得结论.
【详解】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案: 方案一:甲､乙两泵同时开放→甲泵开放 方案二:甲､乙两泵同时开放→乙泵开放
如果用方案一注水，可设甲､乙两泵同时开放的时间为x 个小时，由题意得方程
111(10)1181515
x x ⎛⎫
++-= ⎪
⎝⎭． 解得:6x =(小时)．
如果用方案二注水，可设甲､乙两泵同时注水的时间为y 个小时． 则111(10)1181518y y ⎛⎫
++-=
⎪⎝⎭
，
解得:602
693
y =
=(小时)． 所以选方案一注水，可得甲､乙两水泵同时开放注水的时间最少，需6个小时， 故选：C ．
4．33x y >⎧⎨>⎩是6
9
x y x y +>⎧⎨⋅>⎩成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立. 【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例：10x =，5
2
y =，显然必要性不成立. 故选：A
5．已知函数()2
234x f x x x -=+-，且()()2log 3f a f >，则实数a 的取值范围为
（ ）
A ．()(),28,-∞⋃+∞
B ．()0,2
C ．()()0,28,⋃+∞
D ．()8,+∞
【答案】C
【分析】确定函数的对称性与单调性，然后由对称性和单调性解不等式． 【详解】
∵()()()()2
22
2434443
4x
x f x x x x x f x ---=+---=+-=，
∴()f x 的图像关于直线2x =对称，
∵23x y -=和24y x x =-都在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数，∴()
f x
在(),2-∞上为减函数，在()2,+∞上为增函数．
又()()2log 3f a f >，∴2log 2321a ->-=，即2log 1a <或2log 3a >，解得
02a <<或8a >．
故选：C ．
6．已知数列{}n a 中，11a =，111n n n n a a a a ++-=⋅()n N *∈，若1
10
m a =，则m =（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】C
【分析】由题意可得111111n n n n n n
a a a a a a +++-=-=⋅，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列，进而求得n a 的
通项，带入1
10
m a =
即可求得m 的值. 【详解】
11111
1n n n n n n
a a a a a a +++-=-=⋅， 所以1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为以1为首项公差1d =的等差数列， 所以1
1(1)1n n n a =+-⨯=， 所以1n a n =， 由1110
m a m =
=， 所以10m =， 故选：C.
7．已知函数()()8sin 03f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π,若()f x 在,
243m π⎡
⎤
-
⎢⎥
⎣⎦
上单调递增,在223m π⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减,则实数m 的取值范围是( ) A ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．55,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．4,83ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【分析】由函数()f x 的最小正周期为π可得2ω=，求出()8sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的增
区间与减区间，分别令,243m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦与223m π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是其子集即可. 【详解】由题意可得2π
πω
=，求得2ω=，
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，
求得5,12
12
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈， 由32222
3
2
k x k π
π
πππ+
≤-
≤+
， 求得511,1212
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈， 因为()f x 在,243m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在223m π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减, 所以555312
564212
m m m ππππ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎪⎩，
所以实数m 的取值范围是55,64
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，故选B.
【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把
x ωϕ+看作是一个整体，由22
k x ππωϕ+≤+≤()322
k k Z ππ+∈求得函数的减区
间，222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式
先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
8．若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()
0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的最大值为（ ） A
1 B ．1
C
D ．2
【答案】B
【分析】根据已知条件先整理()()
0a c b c -⋅-≤得到1a c b c ⋅+⋅≥，再计算
2
1a b c +-≤，即得结果.
【详解】由题意知，2
2
2
1a b c ===，又0a b ⋅=，
∵()()
2
0a c b c a b a c b c c -⋅-=⋅-⋅-⋅+≤， ∴2
1a c b c a b c
⋅+⋅≥⋅+=，
∴()
2
2
22
221110211a b c a b c a b a c b c +-=+++⋅-⋅+⋅≤+++-⨯= ∴1a b c +-≤，即a b c +-的最大值为1. 故选：B.
【点睛】思路点睛：
(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．
(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
二、多选题
9．已知正方体1111ABC A B C D -的棱长为4，M 为1DD 的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，则下列命题正确的是（ ）
A ．若MN 与平面ABCD 所成的角为
4
π
，则点N 的轨迹为圆 B ．若4MN =，则MN 的中点P 的轨迹所围成图形的面积为2π C ．若点N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线 D ．若1D N 与AB 所成的角为3
π
，则点N 的轨迹为双曲线
【答案】ACD
【分析】对于A ，根据正方体的性质计算出2DN =，根据圆的定义可得答案； 对于B ，取MD 的中点E ，根据PE ED ⊥，3PE =P 的轨迹为圆，根据圆
的面积公式计算可得结果；
对于C ，将点N 到直线1BB 转化为NB ，再根据抛物线的定义可得结果； 对于D ，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式列式可解得结果. 【详解】如图：
对于A ，根据正方体的性质可知，MD ⊥平面ABCD ，所以MND ∠为MN 与平面
ABCD 所成的角，
所以4
MND π
∠=
，所以111
4222
DN DM DD ==
=⨯=，所以点N 的轨迹为以D 为圆心，2为半径的圆；故A 正确；
对于B ，在直角三角形MDN 中，22224223DN MN MD -=-=MD 的中点E ，因为P 为MN 的中点，所以//PE DN ，且1
32
PE DN =
=DN ED ⊥，所以PE ED ⊥，即点P 在过点E 且与1DD 垂直的平面内，又3PE =所以点P 32
3
3ππ⋅
=，故B 不正确；
对于C ，连接NB ，因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1BB NB ⊥，所以点N 到直线1BB 的距离为NB ，所以点N 到点B 的距离等于点N 到定直线CD 的距离，又B 不在直线
CD 上，所以点N 的轨迹为以B 为焦点，CD 为准线的抛物线，故C 正确；
对于D ，以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则(4,0,0)A ，(4,4,0)B ，1(0,0,4)D ，设(,,0)N x y ， 则(0,4,0)AB
，1(,,4)D N x y =-，
因为1D N 与AB 所成的角为
3
π
，所以1|cos ,|cos
3
AB D N π
<>=，
所以22
1|2416x y =++，整理得22311616
y x -=，所以点N 的轨迹为双曲线，故D
正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项中，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式列式求解是解题关键.
10．将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是（）
A．4位女同学分到同一组的概率为1 35
B．男生甲和女生乙分到甲组的概率为
3 14
C．有且只有3位女同学分到同一组的概率为32 35
D．4位男同学不同时分到甲组的概率为34 35
【答案】AB
【分析】首先求出8位同学均分甲乙两组的分法，再依次求4个选项对应的分法个数，最后根据古典概型求概率，再判断选项.
【详解】8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为44
8470
C C⋅=，
A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为21
7035
=，对，
B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为24
6415
C C⋅=，其概率为153
7014
=，对，
C选项，有且只有3位女同学分到同一组31
44232
C C⋅⋅=种，
则有且只有3位女同学分到同一组的概率为3216
7035
=，错，
D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为1 70
，
则4位男同学不同时分到甲组的概率为
169
1
7070
-=，错，
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固
定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()cosh
x
f x a a
=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x ＝e e 2x x
-+，相应地双曲正弦
函数的表达式为sinh x ＝e e 2
x x
--．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2
的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为（ ）
A ．cosh(x ﹣y )＝cosh x cosh y ﹣sinh x sinh y
B ．y ＝sinh x cosh x 是偶函数
C ．(cosh x )′＝sinh x
D ．若△PAB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数m ＝0 【答案】ACD
【分析】根据函数的定义代入验证判断A ，求出sinh cosh y x x =的表达式后由奇偶性定义可判断B ，对函数求导判断C ，由cosh y x =在A 点的导数值为0求得m 值判断D ． 【详解】
e e e e e e e e e e cosh cosh sinh sinh 22222
x x y y x x y y x y x y
x y x y ------+++--+-=⋅-⋅==cosh(x ﹣
y )，A 正确；
y ＝sinh x cosh x 224x x e e --=，记22()4x x e e h x --=以，则22()()4x x
e e h x h x ---==-，
()h x 为奇函数，即y ＝sinh x cosh x 是奇函数，B 错误；
e e e e ()22
x x x x
--+-'=
，即(cosh x )′＝sinh x ，C 正确； 对于D ，因为AB x ⊥轴，因此若△P AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则0PA k =，由PA
k =02
m m
e e --=解得0m =
D 正确．
故选：ACD ．
【点睛】思路点睛：本题考查新定义函数，考查新定义函数的性质．解题方法是正确理解新定义函数，然后根据奇偶性，求导法则，导数的几何意义等知识求解． 12．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点
B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD
【分析】A 选项借助导数研究函数的极值情况；BC 选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D 选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系．
【详解】A ：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22212x f x x x x
-'=-
+=， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，
所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222
212
10x x y x x x -+'=-+-=-<， 所以函数在()0,∞+上单调递减，
又()112ln1110f -=+-=>，()221ln22ln210f -=+-=-<， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； C ：若()f x kx >，即2
ln x kx x +>，则22ln x k x x
<+， 令()22ln x g x x x =
+，则()
3
4ln x x x
g x x -+-'=， 令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，
当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，
所以()()130h x h ≤=-<，所以()0g x '<，
所以()22ln x g x x x
=
+在()0,∞+上单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错； D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴2x =是()f x 的极小值点，
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()2
1
1x t t x =
>，则21x tx =， 由()()12f x f x =，得
1212
22ln ln x x x x +=+，∴211222
ln ln x x x x -=-，
即
()2121212ln x x x x x x -=，即()111
21ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t -==，
所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，
需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->． ∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >，∴证2224ln 0t t t -->． 令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在()1,+∞上是增函数． 因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在()1,+∞上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以
2224ln 0ln t t t
t t
-->， ∴124x x +>，故D 正确， 故选：BD ．
【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系．
三、填空题
13．()6
x y z +-的展开式中23xy z 的系数是______． 【答案】60-
【分析】求得()6
x y z +-的展开式通项为()61,161k
r k r r k k
r k r T C C x y z --++=⋅⋅⋅-，根据
已知条件求出r 、k 的值，代入通项可求得展开式中23xy z 的系数. 【详解】
()
()66
x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，所以，()6
x y z +-的展开通项为
()616r
r r r A C x y z -+=⋅⋅-，
()
r
y z -的展开式通项为()()11k k
k r k
k r k k k r r B C y
z C y z --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅，
所以，()6
x y z +-的展开式通项可以为()61,161k
r k r r k k
r k r T C C x y z --++=⋅⋅⋅-，其中
06k r ≤≤≤且k 、r N ∈，
令61
23
r r k k -=⎧⎪
-=⎨⎪=⎩
，解得53r k =⎧⎨=⎩，
因此，()6
x y z +-的展开式中23xy z 的系数是()3
53
65160C C ⋅-=-.
故答案为：60-.
【点睛】方法点睛：本题考查三项展开式中项的系数的求解，在求解时，()n
a b c ++的展开式通项可表示为1,1r
k
n r r k k
r k n r T C C a
b c --++=（其中0k r n ≤≤≤且k 、r N ∈）.
14．如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2
6
BD =，AB AC ⊥，2AC AB =，则CD 的最小值为_______.
3
【分析】设ADB θ∠=，在ABD △中，利用正弦定理得26
sin 3
AB BAD θ⋅∠=
，由余弦定理得2114633
AB θ=
-，然后在ACD △中，由余弦定理得
22525
8sin()33
CD θθθϕ=
=-+
（其中tan ϕ=，从而可求出CD 的最小值
【详解】设ADB θ∠=，在ABD △中，由正弦定理得
sin sin AB BD
BAD
θ=∠
，即3sin sin AB BAD
θ=
∠
整理得sin AB BAD θ⋅∠=
.
由余弦定理得222112cos 3AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=， 因为AB AC ⊥，所以2
BAD DAC π
∠=+∠.
在ACD △中，
由余弦定理得
22222cos 12sin CD AD AC AD AC DAC AB BAD =+-⋅⋅∠=+-⋅∠
2525
8sin()33
θθθϕ=
=-+
（其中tan ϕ=， 所以当sin()1θϕ+=
时，min 3
CD =
.
故答案为：
3
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是在ABD △中，
求出sin AB BAD θ⋅∠=
和2113AB θ=，其中ADB θ∠=，再在ACD △
中，利用余弦定理表示出
22525
8sin()33
CD θθθϕ=
=-+，从而可求得结果，考查计算能力，属于中档题
15．已知函数2cos ,11()21,||1x
x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩
，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的
实根的个数是___. 【答案】5
【分析】由方程得()2f x =或()1f x =，结合分段函数()f x 解析式，即可求实根x 的个数.
【详解】由2()3()20f x f x -+=知：()2f x =或()1f x =， ∴由函数()f x 解析式，知：
当()2f x =时，有212x -=，解得x =||1x >；
当()1f x =时，若cos 12
x
π=且11x -≤≤，有0x =；若211x -=，解得x =满足||1x >；
∴综上知：方程一共有5个根. 故答案为：5
【点睛】本题考查了由已知方程，结合分段函数解析式判断根的个数，属于简单题.
四、双空题
16．已知圆()2
2
1:31C x y ++=，()2
22:381C x y -+=，动圆C 与圆1C ､2C 都相切，
则动圆C 的圆心轨迹E 的方程为___________；直线l 与曲线E 仅有三个公共点，依次为P ､Q ､R ，则PR 的最大值为___________.
【答案】22
12516x y +=或221167
x y +=
152 【分析】①分析两个圆的位置，圆1C 内含于圆2C ，则圆C 有与圆1C 外切，与圆2C 内切，以及与圆1C ､2C 都内切两种情况，分别列出关系化简即可. ②由①的结果可知，若有三个公共点，则与内部的椭圆相切，与外部的椭圆相交，设直线y kx m =+通过相切解出22167m k =+，通过相交写出弦长公式，代入22167m k =+化简，求出弦长的最大值.
【详解】①已知圆()2
21:31C x y ++=，()2
22:381C x y -+=，则圆1C 内含于圆2C ， 圆1C 的圆心为()13,0C -，半径为11r =； 圆2C 的圆心为()23,0C ，半径为19r =.
设动圆C 的半径为r ，分以下两种情况讨论： （1）圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切，
由题意可得121
9CC r CC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩
，∴121106CC CC CC +=>=，
此时，圆C 的圆心轨迹E 是以1C ､2C 分别为左､右焦点，长轴长为1210a =的椭圆， ∴15a =，13c =
，则14b =
=，此时，轨迹E 的方程为22
12516
x y +=；
（2）圆C 与圆1C ､2C 都内切，且12r r r <<，
由题意可得1219CC r CC r ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
，∴12186CC CC CC +=>=，
此时，圆C 的圆心轨迹E 是以1C ､2C 分别为左､右焦点，长轴长为228a =的椭圆，
∴24a =，23c =
，则2b ==E 的方程为22
1167
x y +=；
综上所述，轨迹E 的方程为22
12516x y +=或22
1167
x y +=.
②由于直线l 与曲线E 仅有三个公共点，则直线l 与椭圆22
1167
x y +=相切.
若直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =±，
可设直线l 的方程为4x =，联立22412516x x y
=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，解得4
125x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，此时245PR =； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，
联立221167y kx m
x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去y 并整理得()()222
167321670k x kmx m +++-=，
()()()222222221324167167781670k m m k k m ∆=-⨯-⨯+=⨯+-=，
可得22167m k =+，
设点()11,P x y ､()22,R x y ，联立2212516
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，
消去y 并整理得()()
2
2
2
25165025160k x kmx m +++-=，
()()()()22222222250425162516160025161440010
k m m k k m k ∆=-⨯-⨯+=+-=+>，
由韦达定理得122502516km x x k +=-+，()
21222516
2516
m x x k -=+，
∴
12PR x =-=
()22222
12011201209251625162511k k k k k +====++-++， ∴120152592PR ≤
=-，当且仅当0k =时，PR 取得最大值15
2
. 故答案为：22
12516x y +=或2
2
1167
x y +=；152.
【点睛】思路点睛：（1）当动圆与两定圆有内切或外切关系求动圆圆心的轨迹时，先写出点与点之间的关系，然后根据定义再写出关系式；（2）直线与椭圆的位置关系求最值时，先根据等量关系计算等式，然后再根据等式关系减少变量，然后求最值.
五、解答题
17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63
21
9S S =，1121a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）21n a n =-；（2）21
n n
T n =
+. 【分析】（1）根据已知条件求出d 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式； （2）求得11122121n b n n ⎛⎫
=
- ⎪-+⎝⎭
，利用裂项求和法可求得n T .
【详解】（1）等差数列{}n a 的前n 项和()
12
n n n a a S +=
，得
()()16363321212111
63329212
a a S a a a S a +===+， 因为1121a =，所以3263a =，等差数列{}n a 的公差32116321
2321121
a a d --===-，
所以，()()11112121121n a a n d n n =+-=+-=-； （2）由（1）可知()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，
11111
111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=
-+-+⋯⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18．在①π
2
=+
A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析.
【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：
cos 45B =
，3sin 5
B =，再结合π2=+A
C ，得π22B C =-，故3
cos25C =
，进而得
sin C =
最后利用正弦定理求解． 选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π
22
B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A C
a B C
=
=，所以3sin 24cos 2C C =，再根据π0π2
A C <=+
<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3
cos25C =，利用二倍
角公式得sin C =
最后由正弦定理得sin sin b C
c B
=
= 选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45
B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=
，联立方程解得c =或
c =
【详解】解：方案一：选条件①②．
因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=． 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =
，3sin 5
B ==． 因为π2=+
A C ，πA
B
C ++=，所以π
22
B C =-， 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫
=-== ⎪⎝⎭
，
所以2
1cos21
sin 25
C C -=
=． 因为()0,πC ∈
，所以sin C =
在ABC
中，由正弦定理得3sin 53sin 5
b C
c B
=
==
方案二：选条件①③． 因为1
sin 32
S ab C =
=，3b =，所以sin 2a C =． 因为π2=+
A C ，πA
B
C ++=，所以π
22
B C =-． 在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B C
C ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 所以
3sin cos 2cos2C C
C
=，即3sin 24cos 2C C =．
因为π0π,2
0π,A C C ⎧
<=+<⎪⎨⎪<<⎩
所以π02C <<，02πC <<， 所以sin 20C >，所以cos 20C >． 又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25
C =
， 所以2
1cos21sin 25C C -=
=
，所以sin C =．
在ABC中，由正弦定理得
5
3
sin sin sin5
5
3
π
sin
cos2
sin2
5
2
b C b C b C
c
B C
C
⨯
=====
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
方案三：选条件②③．
因为5415cos
-=
c a A，3
b=，所以545cos
c a b A
-=，
由正弦定理得5sin4sin5sin cos
C A B A
-=，
因为()
sin sin sin cos cos sin
C A B A B A B
=+=+，
所以5cos sin4sin
B A A
=．
因为sin0
A>，
所以cos
4
5
B=，2
3
sin1cos
5
B B
=-=．
因为
1
sin3
2
S ac B
==，所以10
ac=．（ⅰ）
在ABC中，由余弦定理得2222cos
b a
c ac B
=+-，
所以2225
a c
+=．（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）解得5
c=或25
c=．
【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取
②5415cos
-=
c a A，则需根据3
b=将问题转化为545cos
c a b A
-=，再结合边角互化求解.
19．已知四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面ABCD．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）是否存在一点F，满足EF EB
λ
=(0＜λ≤1)，且使平面ADF与平面BCE所成
的锐二面角的余弦值为
65
．若存在，求出λ的值，否则请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在1
2
λ=
使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为
65.
【分析】（1）取AB 的中点G ，连接DG ，证明ABD △是直角三角形，得AD BD ⊥，从而由面面垂直的性质定理得线面垂直，则可得证线线垂直；
（2）取AD 的中点H ,连接EH ，证明EH ⊥平面ABCD ，以,DA DB 为,x y 轴，过D 平行于EH 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由空间向量法求二面角的余弦值，由已知求得λ，说明存在． 【详解】（1）取AB 的中点G ，连接DG ,
1
,//2
BG AB CD BG CD =
=,∴四边形BCDG 是平行四边形，2DG BC AG AD ====,ADG ∴为等边三角形，1
,2
DG AB ABD =
∴△是直角三角形，AD BD ∴⊥，平面ADE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ，AD =平面ADE
平面ABCD , BD ∴⊥平面
ADE ,AE ⊂平面ADE ,AE BD ∴⊥
（2） F 为EB 中点即可满足条件.
取AD 的中点H ,连接EH ，则EH AD ⊥，取AD 的中点H ,连接EH ,平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ⊂平面EAD ，所以EH ⊥平面ABCD ，3,23,EH BD ==如图建立空间直角坐标系D xyz -,
则()()()()()
0,0,0,2,0,0,0,23,0,3,0,1,03D A B C E -，,则
()()(
)
()
2,0,0,1,3,0,1,23,3,,23,3,
CB EB EF E D B A λλλλ===--==--
()
1,DF λ=-
设平面ADF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面BCE 的法向量为222(,,)n x y z = ．
由00DF m DA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得(
))
111110
20x y z x λ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩
，取()0,12m λλ=-，； 由00CB n EB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得222220
230
x x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取()
3,1,3n =-．
于是，
||cos ,|13m n m n m n
⋅〈〉==
=
⋅． 解得1=
2
λ或1
=-3λ（舍去）
【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，由二面角求参数．求二面角的方法： （1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
所以存在12λ=
使得平面ADF 与平面BCE 20．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有*()n n N ∈份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n 次；②混合检验，将其(k k N *∈且2k ≥)份血液样木分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中(k k N *∈且2k ≥)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的
总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ．
①记E (ξ)为随机变量ξ的数学期望．若12()=(),E E ξξ运用概率统计的知识，求出p 关于k 的函数关系式()p f k =，并写出定义域； ②若141p e -=-，
且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．
【答案】（1）310；（2）①111k p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（*k N ∈且2k ≥）；②8. 【分析】（1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解；
（2）①由题知()1E k ξ=，2ξ的可能值为1，1k +，进而可求出2()E ξ，由()()12E E ξξ=，即可求出p 关于k 的函数关系式()p f k =； ②1
41p e -=-，则()421k
E k ke ξ-=+-，进而构造新函数()ln 4
x f x x =-，再利用导数研究函数的单调性，再结合函数性质即可得k 的最大值.
【详解】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，
则()3121322335310
P A A C A C A +==. （2）①根据题意，可知()1E k ξ=，2ξ的可能值为1，1k +，
则()()211k P p ξ==-，()()2111k P k p ξ=+=--，
所以()()()()()
()2111111k k k E p k p k k p ξ=-++--=+--， 由()()12E E ξξ=，得()11k k k k p =+--， 所以111k
p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（*k N ∈且2k ≥）. ②由于141p e
-=-，则()421k E k ke ξ-=+-， 所以41k k ke k -+-<，即ln 04
k k ->， 设()ln 4x f x x =-，()11444x f x x x
-'=-=，0x >， 当()0,4x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,4上单调递增，
当()4,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()4,+∞上单调递减，
()ln823n2208l f =-=->，()99ln 92ln 30494
f =-
=-<， 所以k 的最大值为8. 【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合在概率中的运用，考查概率公式及随机变量的数学期望，通过构造新函数和导数的实际应用是解题的关键，属于中档题.
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，
且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点
Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 【答案】（1）22
143
x y +=；（2）6. 【分析】（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得2234
b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得221914a b
+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：11x y m
=--与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值.
【详解】解析：（1）由题意，得222221149141b e a a b
⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22
143
x y +=． （2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.
设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，
由2234121
x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=，
12122269,3434m y y y y m m +=
=-++， 因为11AF F B
QA QB λλ⎧=⎨=⎩，即()()()
()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩ 则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m
==-+．
于是1FQ = 直线2l 的方程为：11x y m =-
- 联立111
x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，
，所以1PF =． 所以()12
113111362PQF m S FQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当1m =±时，()1min 6PQF S =． 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223y y y y y m
==-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，
从而表示出三角形的面积，属于中档题.
22．已知函数2()x f x e ax x =--.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若函数()()F x f x x =+有两个极值点1x ，2x ，求证：212(ln(2))x x a <.
【答案】（1）(3)1y e x =-+；（2）证明见解析.
【分析】（1）当1a =时，可得()f x 解析式，求导得()'f x 解析式，则可求得(1)k f '=，(1)2f e =-，代入直线方程，化简即可得答案.
（2）函数()F x 有两个极值点1x ，2x ，等价为()0F x '=有两个不相等的实数根1x ，2x .令()2x h x e ax =-，分别讨论0a >和0a ≤两种情况，利用导数求得其单调区间和极值，可得a 的范围，不妨设12x x <，则1ln(2)x a <，2ln(2)1x a >>.令
2
4()()(2ln(2))44ln(2)x
x a G x h x h a x e ax a a e =--=--+，利用导数判断其单调性，结合基本不等式，分析整理，即可得证.
【详解】解：（1）当1a =时，2()x f x e x x =--，则()21x f x e x '=--， 所以(1)3k f e ='=-，又(1)2f e =-，
所以切线方程为(3)(1)2y e x e =--+-，即(3)1y e x =-+.
（2）由题意得2()x F x e ax =-，则()2x F x e ax '=-.
因为函数()F x 有两个极值点1x ，2x ，
所以()0F x '=有两个不相等的实数根1x ，2x .
令()2x h x e ax =-，则()2x h x e a '=-.
①当0a ≤时，()0h x '>恒成立，则函数()h x 为R 上的增函数，
故()h x 在R 上至多有一个零点，不符合题意.
②当0a >时，令()0h x '=，得ln(2)x a =，
当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0h x '<，故函数()h x 在(,ln(2))a -∞上单调递减， 当(ln(2),)x a ∈+∞时，()0h x '>，故函数()h x 在(ln(2),)a +∞上单调递增. 因为函数()0h x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，
所以min ()(ln(2))22ln(2)0h x h a a a a ==-<，得2
e a >
不妨设12x x <，则1ln(2)x a <，2ln(2)1x a >>.
又(0)10h =>，所以1(0,ln(2))x a ∈. 令2
4()()(2ln(2))44ln(2)x
x a G x h x h a x e ax a a e =--=--+，
则24()440x
x a G x e a a e '=+-≥=， 所以函数()G x 在R 上单调递增.
由2ln(2)x a >可得()2(ln(2))0G x G a >=，即()()222ln(2)h x h a x >-. 又1x ，2x 是函数()h x 的两个零点，即1
2h x h x ， 所以()()122ln(2)h x h a x >-.
因为2ln(2)x a >，所以22ln(2)ln(2)a x a -<，
又1ln(2)x a <，函数()h x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，
所以122ln(2)x a x <-，即122ln(2)x x a +<.
又12x x +>，所以2ln(2)a ，因此212(ln(2))x x a <.
【点睛】解决本题的关键主要有三点：一是确定1x ，2x 的范围，为后续的灵活转化做准备；
二是能够想到构造函数()()(2ln(2))G x h x h a x =--，并借助其单调性得到()()222ln(2)h x h a x >-；
三是巧妙利用自变量的范围和函数()h x 的单调性构建关于1x ，2x 的不等式.。