+2.4+二次函数的应用第1课时+++最大面积问题课件+2024-2025学年北师大版九年级数学下册

则 a 的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2，
∴a＞0，y最小值＝
4ac 4a
b2
＝ 4a(a 1) 42 ＝2，
4a
整理，得 a2－3a－＝0，解得 a＝－1或4.
∵a＞0，∴a＝4. 故选 C.
几何图形面积的最大面积
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，-9),
∴当x=2时，y 取最小值，最小值为-9;
(2)∵a= -1＜0，对称轴为 x= - 3，顶点坐标为(- 3，25 ),
2
24
∴当x= - 3 时，y 取最大值，最大值为 25 ;
2
4
例2 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，
S 1 πx2 2xy 1 πx2 2x 15 7 x πx
2
2
4
7 x2 15 x 7 ( x 15)2 225 .
22
2 14 56
∴当 x
15
=
14
≈1.07
时，S最大=
225 56
≈4.02.
因此，当 x 约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
思考 这个问题研究的是哪两个变 量之间的关系？
矩形面积与一边长的关系.
① 设未知数，用含未知数的代
数式表示相关量
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
x
则平行于墙的边长为 (60 − 2x) m.
∴ S = x(60 − 2x) = −2x2＋60x .
② 根据题意，求出自变量的取值范围
x＞0 60 − 2x＞0
(2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大？最大面积是多少？
想一想：当墙长发生改变时，根据问题
(1)，什么会发什么改变，什么不变？
x
x
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
60 - 2x
由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x)
x＞0 = −2(x − 15)2 + 450. 60 − 2x＞0 ∴21≤x＜30. 60 − 2x≤18，
知道的？
E
解：如下图所示，过点G作GM⊥EF，
C
M
交DA于点N，交CB于点M. ∵ DA//CB，∴GN⊥DA.
30mD
N
B
F
∵DA//EF， DA GN
EF GM
G
A 40m
在Rt△EGF中， EF EG2 FG2 50m
由
SEGF
1 EG 2
FG 1 EF 2
GM
得 GM = 24（m）
24
想一想
思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
y
y
最大值
O
x
最小值
O
x
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、 对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
1 求二次函数的最大(或最小)值
例1 写出下列抛物线的最值. （1）y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4.
（2）由题意可得
y ( 3 x 30) x 3 x2 30x
E
4
4
y 3 ( x 20)2 300 (0＜x＜40)
4
30mD
C
∴当 x = 20 时， y 有最大值 300.
BF
A
40m
探究新知
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，
其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样
1. 如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形
窗框，那么最大的透光面积是
8 3
m2
.
图1
2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，AB = 12 cm，BC
= 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速
度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC
（1）写出 S 与 x 之间的关系式，
并指出 x 的取值范围；
A
D
解：（1）S=x·(80－2x)=-2x2+80x
x
由题意0＜80－2x≤50
B
C
∴15≤ x＜40
2. 如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋
的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长
50m，设矩形ABCD的边 AB = x m，面积为 S m2.
北师版·九年级下册
4 二次函数的应用
第1课时 最大面积问题
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y = x2 - 4x - 5；
(2) y = -x2 - 3x + 4.
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2；
顶点坐标：（2，-9）；
（2）开口方向：向下；对称轴：x = - 3 ； 顶点坐标：（ - 3 ， 25 ）； 2
建立函数 关系式
最值有时不在顶点处，则要 利用函数的增减性来确定
课堂小结
通过本节课的学习， 你有哪些收获？
课后作业
随堂练习 +习题2.8
随堂练习 在前面的问题中，如果设AD边的长为xm，
那么问题的结果会怎样？
解：∵AD=xm，DC∥AB，∴ 30 x DC ，∴DC=AB=40 4 x ，
观察取值范围， 你有什么发现？
∵ 15＜21， y
∴ 当 21≤ x＜30 时， S 随 x 的增大而减小，
故当 x = 21 时，S 取得最大值，
此时 S最大值 = −2×(21 − 15)2 + 450 O = 378 (m2).
x = 15 21 30 x
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
60 − 2x≤32，
∴14≤x＜30.
x 60 - 2x
③ 写出二次函数解析式，并化为顶点式
∵ S = −2x2＋60x = −2(x − 15)2 + 450， x
④ 结合自变量的取值范围可知，该 二次函数在其顶点处取得最大值
x 60 - 2x
∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2.
30 40
3
∴y=AD·AB=
x
40
4 3
x
=
4 3
x
152
300，(0＜x＜30) E
∴当x=15时， y有最大值300.
D
C
30 m
F
A
xB
40 m
1. 一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的
框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么
AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ A
题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的
面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式.
BA
直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大?
15m
CD
解：设 BC 的边长为 x m， (1) 由题意得，
（2）当 AB， BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大?
最大面积是多少?
A
D
（2）S=x·(80－2x)=-2x2+80x
x
=-2(x-20)2+800
B
C
∴当x=20时， S 有最大值800.
即当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈面积最大，为800m2.
黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的
光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多
少？(结果精确到 解：∵ 7x + 4y +
0.01 πx =
m2) 15，
y
15
7x 4
πx
.
xx
∵0＜x＜15，且0＜15 7x πx ＜15，
∴0＜x＜1.48.
4
y
设窗户的面积是Sm2，则
以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分
别从 A、B 同时出发，那么经过 3 s，
C
四边形 APQC 的面积最小.
图1
Q
AP B
链接中考
3.如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长 为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使 矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式
求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，
然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值.
典例精析
用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半
圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有
B
解：设AB=x，则AD= 6 3x，
2
∴S= 6 3x x 3 x2 3x 3 ( x 1)2 3 .
2
2
2
2
∴当x=1时，S有最大值
3 2
.
D
C
即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2.
2. 如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋 的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长 50m，设矩形ABCD的边 AB = x m，面积为 S m2.
，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.
(1) 如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD 边的长度如
何表示? 解：(1) 设 AD = h，
E
由图可知 Rt△EDC∽Rt△CBF.
∴ ED DC 30 h x
30mD
C
CB BF h
∴ h 3 x 30
40 x
A
B
40m
F
4
(2)设矩形的面积为 y m， 当 x 取何值时，y 的值最大? 最大值是多少?
(0＜x≤15).
(2)
BA
∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大，
而 0＜x≤15.
x
15m
∴ 当 x = 15 时，S 有最大值， 即矩形 ABCD 的面积最大.
CD
转化
实际问题
回归
（实物中的抛物线形问题）
数学模型 （二次函数的图象和性质）
几何面积 最值问题
一个关键 一个注意
依据
常见几何图形 的面积公式
DA 24 x 50 24
DA 50 25 x 12
E
y
x
50
25 12
(0＜x＜40)
x
25 12
x
122
300
30mD
C
M
B
N
F
∴当 x = 12 时，y 有最大值 300.
G
A 40m
例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大？最大面积是多少？