《平行线的判定》PPT精品实用版初中数学1

3 【中考·山西】如图，将长方形纸片ABCD沿BD 折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E. 若∠1 ＝35°，则∠2的度数为（ A ） A．20° B．30° C．35° D．55°
4 【中考·湖州】如图是我们常用的折叠式小刀，刀 柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片 的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片 时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度 数和是____9_0_____度．
导引：设光线在水中的部分为e，e与直线a所成的钝 角为∠5，e与直线b所成的钝角为∠6，只要 能说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，则根据“内错 角相等，两直线平行”即可判定c∥d.
解：c∥d.理由如下： 如图，设光线在水中的部分为e. ∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°， ∠2＝∠3， ∴∠5＝∠6(等角的补角相等)． 又∵∠1＝∠4， ∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6. ∴c∥d(内错角相等，两直线平行)．
2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能 得出AB∥CD及EF∥AB，再由如果两条直线 都和第三条直线平行，那么这两条直线也互 相平行就可得到CD∥EF.
解：CD∥EF，理由： ∵∠B＝∠D， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． ∵∠CEF＝∠A， ∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)． ∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．
新知小结
判断光线c与d是否平行，应首先解决两个关键问 题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形； 二是把直线c，d看作被直线e所截的两条直线．如此， 问题转化为说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
巩固新知
1 如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD， ∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系是 ___平__行___．
2 【中考·宿迁】如图，直线a，b被直线c，d所截， 若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4 的度数是（ B ） A．80° B．85° C．95° D．100°
归纳新知
1 知识小结
平行线的判定与平行线的性质的关系：
线的关系
判定
角的关系
两直线平行 线的关系
平行线的判定 平行线的性质
人教版数学七年级下册
第五章
5.3.2 平行线的判定和性质的综合应用
学习目标
1.复习巩固平行线的判定和性质，能应用判 定和性质进行简单的推理或计算。
2.进一步学会识图，能将复杂图形分解为基 本图形，会对已知条件和求证结论进行转化。
导入新知
平行线的三个性质： 两直线平行，同位角相等． 两直线平行，内错角相等． 两直线平行，同旁内角互补．
平行线的性质与判定之间既有联系又有区别，一定不
可混淆二者的条件和结论，要把它们严格区别开来．
分类
条件
结论
平行线的判定
同位角相等 内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
平行线的性质 两直线平行
同位角相等 内错角相等
同旁内角互补
例5 如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2， 则∠P与∠Q 一定相等吗？说说你的理由．
新知小结
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条 件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果 题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未 指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性 的数学问题．
巩固新知
1 如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB 于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，则图中与 ∠FDB相等的角（不包含∠FDB）的个数为 （ B） A．3 B．4 C．5 D．6
【中考·宿迁】如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4
解：∵四边形ABCD是长方形(已知)，
∠D互补， ∠B与∠C互.补 如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.
两直线平行，同旁内角互补．
平行线的性质与判定的综合应用
于是 中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光
导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥ CQ，∴要判断∠P与∠Q是否相 等，只需判断PB和CQ是否平行． 要说明PB∥CQ，可以通过说明 ∠PBC＝∠BCQ来实现，由于∠1＝∠2，因此 只需说明∠ABC＝∠BCD即可．
解：∠P＝∠Q. 理由如下：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)， ∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)． ∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)， 即∠PBC＝∠BCQ. ∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)． ∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．
的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1) 只分需析说 法明：∠由A结B论C＝往∠前B推CD，即要可说．明这个结论成立需要什么样
∵向B走C了∥E一F段，距∴∠离D到EF达＝C∠地D，PC则. ∠ABC的度数是______________．
理2∵所.B由以C如 梯∥E下形F：的，∵另∴2∠∠外.AE两BP综CC个与＝角合∠∠分EDC法E别BF是.互：8补0°(已由，知6已)5，°知. 条件一步一步往后推理，看这个已知条件
综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件
的性质：两直线平行，内错角相等，先求
∠D = 两直线平行，同旁内角互补．
若∠1＝35°，则∠2的度数为（
18）0°-∠A=180°-100°=80°，
求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得
线 分c析与法d：是由否结平论行往？前为∠推什，么C要？说=明这1个8结0论°成立-需∠要什B么=样180°-115°=65° .
导∴∠引D：EF设＋光∠线BP在E水＝中18的0°部.分为e，e与直线a所成的钝
1. 分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样 ∴【∠中A考BC·宿＝迁∠D】E如F.图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠＝100°，∠3＝85°，则∠4
∠的D条E件F＝，5一0°直，递再推根到据已折知叠条前件后为的止对；应角相等 平点行G，线若的∠性E质FG与＝判5定0°的，综求合∠应E用GB的度数．
合作探究
知识点 1 平行线的性质的应用
例1 下图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°， ∠B=115°， 梯 形的另外两个角 分别是多少度？
画图如图①②解③④：所因示．为∠AB梯C与形∠DE上F相、等或下互补两， 底AB与DC互相平行，
理由如下：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与 题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形；
3. 两头凑：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综 所∵∠以E梯FG形＝的5另0°外(已两知个)角，分别是80°，65°.
向线走从了 空一气段射距入离水到中达再从C地水，中则射∠入A空BC气的中度时数，是光______________． ∴理c由∥d如(内下错：角∵∠相A等BC，与两∠直E线CB平互行补)．(已知)，
新知小结
解决折叠问题的关键是找到折叠前后相等的角， 然后熟练利用平行线的性质来求角的度数．
巩固新知
1 如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝ 140°，则∠A等于( B ) A．35° B．40° C．45° D．50°
2 【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块 直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b 上，则∠1＋∠2的值为（ A ） A．90° B．85° C．80° D．60°
新知小结
【 要中说考明·P山B西∥C】Q如，图可，以将通长过方说形明纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E. 然∴∠后A熟BC练＋利∠用DE平F行＝线18的0°性.质来求角的度数． 角∴∠为A∠B5C，＝e∠与B直CD线(两b所直成线的平钝行角，为内∠错6角，相只等要)．
找寻说明平行的方法： ∴如∠图A，BC直＋线∠ADBE∥FC＝D1，80A°F交. CD于点E，∠CEF＝140°，则∠A等于( )
∠由D已=知1∠80B°＝-∠∠DA，=1∠8C0°EF-＝10∠0°A很=8容0°易，就能
能推出什么结论, 一直推导出要说明的结论为止; (如导引2) ∴导∠引A：BC设＝光∠线BC在D水(两中直的线部平分行为，e，内e错与角直相线等a)所．成的钝
等因，为只 梯需形判上断、下PB两和底CAQB是与否D平C互行相．平行，
合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．
合作探究
例4 光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变， 这种现象叫做光的折射现象．同样，光线从水 中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光 线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光 线的传播方向如图，其中，直线a，b都表示空 气与水的分界面．已知∠1＝ ∠4，∠2＝∠3，请你判断光 线c与d是否平行？为什么？
∴∠ABC＝∠DEF.
所以梯形的另外两个角分别是80°，65°.
例2 如图，将一张长方形的纸片沿EF折叠后，点D， C分别落在D′，C′位置上，ED′与BC的交点为 点G，若∠EFG＝50°，求∠EGB的度数．
导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线 的性质：两直线平行，内错角相等，先求 ∠DEF＝50°，再根据折叠前后的对应角相等 求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得 ∠AEG＝80°，最后根据两直线平行，同旁内 角互补求得∠EGB＝100°.
如图④，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC. ∵BC∥EF，∴∠EPC＋∠DEF＝180°. ∴∠ABC＋∠DEF＝180°. 综上可知，∠ABC与∠DEF相等或互补．
本题易错之处在于学生往往只考虑到其中两 种情况，而漏掉另外两种情况．
易错点：画图考虑不周导致漏解.
课后练习
1．若两直线平行，则同位角_相__等___，内错角_相__等_____，同旁内 角__互__补____．
性质
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
角的关系
2 易错小结
如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB， EF∥BC，且DE交BC边于点P.探究：∠ABC与∠DEF有 怎样的数量关系？并说明理由．
解：画图如图①②③④所示．∠ABC与∠DEF相等或互补， 理由如下： 如图①，∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DPC. ∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC. ∴∠ABC＝∠DEF. 如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC. ∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF. 如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF， ∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
解：∵四边形ABCD是长方形(已知)， ∴∠A＝∠B＝90°(长方形的定义)． ∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)． ∴∠DEF＝∠EFG(两直线平行，内错角相等)． ∵∠EFG＝50°(已知)， ∴∠DEF＝50°(等量代换)． ∵∠DEF＝∠D′EF(折叠的性质)， ∴∠D′EF＝50°(等量代换)． ∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平角的定义)． 又∵AD∥BC， ∴∠AEG＋∠EGB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°.
2 【中考·枣庄】如图，将一副三角板和一张对边 平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一 直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与 纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点 在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ A ） A．15° B．22.5° C．30° D．45°
合作探究 知识点 3 平行线的性质与判定的综合应用
5 一个人从A地出发向北偏东60°方向走了一段 距离到B地，再从B地出发，向南偏西15°方 向走了一段距离到达C地，则∠ABC的度数是 _______4_5_°_____．
合作探究 知识点 2 平行线的判定的应用
例3 如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A. 试问CD与EF平行吗？为什么？
导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位 角、内错角，也无法说明其同旁内角互补， 因此需找第三条直线与它们平行(即AB∥CD， AB∥EF)，这都能由已知∠B＝∠D， ∠CEF＝∠A说明．