武汉大学《现代控制理论》数学知识回顾第八章线性与时间不变性

武汉⼤学《现代控制理论》数学知识回顾第⼋章线性与时间不变性
现代控制理论讲义
第⼋章模拟/实现
8.1 引⾔
给定n 阶状态空间描述，其形式如下：
()((),(),) x
t f x t u t t = （状态变化⽅程）（8.1） ()((),(),)y t f x t g t t = (瞬时输出⽅程) （8.2）
（⽅程可以是CT 或DT ，依赖于我们如何解释符号x
），如何模拟这个模型，也就是说，如何在硬件或者软件上来实现它？在DT 情况下，()(1) x
t x t =+，如果我们有以下条件，实现它是⾮常简单的：（i ）存储寄存器可以在每个时间步（或“时钟周期”）上更新—这些可以存储状态的变化；（ii ）在线性情况下，只⽤乘法器和加法器就可以估计出在空间状态⽅程中出现的()i f 和。

这样就可以得到⼀个简单的实现⽅法，见下图所⽰。

存储寄存器⽤D 来标识（⼀步）延迟，因为模块的输出是当前存储在寄存器中的数据，⽽模块的输⼊
是下⼀个时钟脉冲准备写⼊寄存器的数据。

在CT 情况下，()i g ()()/ x
t dx t dt =,唯⼀的不同就是延迟单元⽤积分器来代替。

积分器的输出就是状态变量。

8.2 由输⼊输出I/O 表达式来实现
在本节，我们将描述⽤卷积形式表⽰的因果输⼊输出动态系统，其状态空间实现是如何得到的。

8.2.1 指数卷积
假设⼀个因果DT LTI 系统的脉冲响应h[n]（当n<0时，h[n]=0）：
图8.1：模拟结构图
[][][]n
y n h n k u k ?∞
=?∑
1
([][])[0][n h n k u k h u n ??∞
=?+∑] (8.3)
上⾯的第⼀项也就是：
1
[][][]n x n h n k u ??∞
=?∑k (8.4)
表⽰过去对现在的影响。

这个描述表⽰，⼀般情况下（也就是如果h[n]没有特殊形式），x[n]要在各个n 处重新计算。

当我们从n 变到n+1时，过去的每个输⼊，也就是，都不能被丢弃，因为所有过去的值在计算x[n ＋1]时都要被⽤到。

也就是说，系统的存储器容量要是⽆限⼤的。

[]()u k k n ≤现在看⼀个例⼦，在该例中特殊结构的h[n]使得情况好很多。

假设
当且仅当时，0n ≥[]n
h n λ=，当n<0时[]0h n = （8.5）则
1
[][]n n k x n λ∞
=∑u k ] (8.6)
和
11[1][]
[][]
[][]
(8.7)
n
n k n n k x n u k u k u n x n u n λλλλλλ+??∞
∞+=??
=+=+∑∑
（为了更形象地理解关系式（8.7），你会发现这⾥⽤图表表⽰卷积将会好很多。

）通过（8.3）、（8.6）和（8.7），我们得到了描述这个系统的⼀对空间状态⽅程：
[1][][x n x n u n λλ+=+ (8.8)
[][][]y n x n u n =+ (8.9)
为了在硬件上实现或者模拟这个模型，我们可以⽤下⾯获得的延迟－加法器－增益系统。

我们从延迟单元着⼿，当输⼊为
x[n+1]时，它的输出是x[n]。

在此，状态变化⽅程告诉我们，如何⽤延迟单元的当前输出x[n]与系统当前输⼊u[n]的组合，来得到延迟单元的当前输⼊x[n+1]。

这样可以推导出下⾯这个模块图，在此，我们⽤输出⽅程来决定如何从系统的当前状态和输⼊获得y[n]。

8.2.2 指数函数和的卷积
假设⼀个⽐先前例⼦更加复杂的因果脉冲响应，即：
01122[][]() n n n
L L h n n ρδρλρλρλ=++++ (8.10)
其中，i ρ是个常数。

下⾯的⽅框图表明，这个系统可以看成是具有内部并⾏联系的因果⼦系统的组合，这些⼦系统和先前处理的系统⼀样简单，加上⼀个0ρ（更正，此处应该为i ρ）作增益的反馈到输⼊（每⼀个模块⽤脉冲响应来标识，具有隐含的因果关系：当n<0时，
响应为0）：
在上述机制和处理⽅法的启发下，针对每个L ⼦系统，我们可以定义⼀个状态变量：
1
[][],
1,2,, n n k i i x n u k i λ∞
==∑L (8.11)
利⽤此变量，我们马上就可以得到⼦系统的状态变化⽅程如下：
[1][][],
1,2,, i i i i x n x n u n i L λλ+=+= (8.12)
此外，经过简单的代数计算，我们可以直接发现
11220
[][][][]()[] L
L L i y n x n x n x n u n ρρρρ=++++∑ (8.13)
因此，我们就得到了给定系统的L 阶状态空间描述。

为了写出上述空间状态⽅程的矩阵形式，定义时间n 时的状态向量为：12[][][][] L x n x n
x n x n =??
（8.14）
此外，定义对⾓矩阵A 、列向量b 和⾏向量c 如下：
112
00000000,0000 L L A 2b λλλ
λλλ
=
=) (8.15)
(12 L c ρρ=ρ] （8.16）
这样，我们的状态空间模型就变成了期望的矩阵形式，很容易证实：
[1][][x n Ax n bu n +=+ (8.17) [][][]y n cx n du n =+ (8.18)
其中
L
i d ρ=∑ (8.19)
8.3 从LTI 微分/差分⽅程来实现
在本节⾥，我们描述怎么从微分或者差分⽅程中得到实现⽅法。

我们⽤⼀个例⼦开始讲起。

例8.1（LTI 差分⽅程的状态空间模型）
让我们看看如何⽤状态空间形式表⽰以下的输⼊输出差分⽅程：
1212[][1][2][1][2]y n a y n a y n b u n b u n +?+?=?+? (8.20)
⾸先尝试考虑以下的状态向量：
[1][2][][1][2]y n y n x n u n u n
=
] (8.21) 相应的四阶状态空间模型形式如下：
1
2
12[][1]0[1]1000[2]0[1][[]0000[1]1[1]0
10[2]0y n a a b b y n y n y n X n u u n u n u n u n
+==+
n
()12
1
2[1][2][](0)[][1][2]y n y n y n a a b b u u n u n
=+
n (8.22) 如果对状态变量的选择稍微仔细⼀点的话，就可能得到更加简化的模型。

⽐如三阶模型，
假设我们选取的状态向量为：
[][][1][1]y n X n y n u n =?
+1n 0)y
(8.23)
相应的三阶状态空间模型形式如下：
112
2[1][]x[n]=[]10
0[1]0[][]000[1]1b y n a a b y n y n y n u n u n u n +
=??
()[][]100[1](0)[][1]y n y n y n u n u n ??
=?+
(8.24)
通过更灵活的⽅式选择状态变量，可以得到⼆阶状态空间模型。

为了实现此⽬的，取
22
[]x[n]=[1][1]y n a y n b u n ??
+ (8.25)
相应的⼆阶状态空间模型具有如下的形式：
11
222222[1]1[][][][]0[1][1]b y n a y n u n a y n b u n a a y n b u n b +=++???+
22
[][](10)(0)[][1][1]y n y n u n a y n b u n ??
=++⼀般情况下，⽤低于2阶的状态空间⽅程描述这种情况是不可能的。

不⽤奇怪，从我们
着⼿的⼆阶差分⽅程来看，（从前⾯课程可知）需要两个初始状态来求解。

注意，在上述的每个例⼦中，我们把原始的差分⽅程所包含的信息综合起来了。

这个例⼦虽然针对⼆阶差分⽅程，但可以普遍推⼴到n 阶的情况，同时和CT 微分⽅程具有普遍相似性。

下⾯，我们将给出⼀个n 阶微分⽅程的两种实现⽅法。

实现⽅法是不唯⼀的，但这两种却有良好的特性，这⼀点我们将在后⾯给予详细介绍。

8.3.1 可观测标准型
假设LTI 系统的微分⽅程为：
()(1)(1)1001 n n n n y a y a y b u b u
b u +++=+++ 通过整理，可以得到：
()(1)(1)(2)(2)11220()()( n n n n n n n n n y b u a y b u a y b u a =?+?++?
积分n 次以后，就变成：
112200n
()()( n n n n y b u a y b u a y b u a y =?+?++?∫∫∫∫∫…) （8.27）
直接根据式（8.27），可以得到图8.2的模块图。

这种特殊的实现模型被称为可观测标准型实现——“canonical ”表⽰“简单
的”意思（但实际上有着严格的数学定义），“observability ”这个字眼在后续章节会经常使⽤。

图8.2：可观测标准型形式
⼀旦我们意识到状态变量是积分器的输出，我们就可以直接从图8.2中得到状态⽅程：
11122213010
n n n n n 12x
a x x
b u x
a x x
b u x a x b u =?++=?++=?+
1y x =
如果写成我们通常的矩阵形式，就会得到：
[]
11
2200100010,
100100
n n n n b a b a A b a b c
==?
= 如果四个矩阵中的任何⼀个矩阵，它们0和1的形式和上⾯的形式类似，则称矩阵A 是相
伴型的。

当我们谈论多项式的时候我们应该能看到，这样⼀个矩阵的特征多项式可以直接从系数中读出，所以这个矩阵是它的特征多项式的伴随者。

8.3.2可达标准型
前⾯章节⾥提到的LTI 微分⽅程有“双重”实现⽅式：
()(1)(1)1001 n n n n y a y a y c u c u
c u +++=+++1n (8.28)
⾸先，考虑⼀种特殊情况，也就是微分⽅程：
()(1)10 n n n w a w a w ??+++u = (8.29)
为了获得式（8.29）所⽰系统的⼀个n 阶状态空间实现，作如下定义：
1232
2111
n n n n n n w x w x w
x x d w x dt x d w dt
==????????????????
然后，很容易验证下⾯的状态空间描述就是给定模型的实现：
11223311012210
100000010000
00100000010()()()()()1 n n n n n n x x x x x x d u dt x x a t a t a t a t a t x x
=+???
[]123110000 n n x x x w x x
=
（这⾥的矩阵A 还是伴随阵的⼀种；这两种伴随形式是这种变形和前⾯章节⾥⾯那种
的变形。

）假设我们现在想实现另外⼀种特殊形式，微分⽅程为：
()(1)10 n n n r a r a r ??u
+++= (8.30) 除了RHS 是u ⽽不是u 之外，此式和式（8.29）是⼀致的。

通过线性⽅式，（8.30）的响应是
，这个响应可以从上⾯的实现模型中通过把输出变为x () r w
t =2⽽不是x 1就可以得到了，因为2 x w
r ==。

可以看到，假设前⾯模型的特殊情况，如果我们有式（8.28）所表⽰的微分⽅程，以及下式的RHS ：
(1)011 n n c u c u
c u ??+++ 那么，上⾯的实现⽅式⾜够告诉我们，输出应该为：
01121 n n y c x c x c x ?=+++ (8.31)
也就是说，我们只要改变⼀下输出⽅程，就可以得到：
[]0121 n c c c c c ?= (8.32)
最终实现的模块图如图8.3所⽰。

这个被称为可达或者可控标准型。

图8.3可达标准型
最后应该指出，因为DT 差分⽅程和我们例⼦中⽤到的CT 微分⽅程类似，除了求导被差分代替以外，将会有同样的⼯作机制。

习题
习题 8.1假设我们想实现⼀个双输⼊微分系统，⽅程形式如下：
()(1)(1)100111111,11(1)
0221221,22 n n n n n n n y a y a y b u b u
b u b u b u
b u +++=+++++++
请问：应该如何改变可观测标准型来完成这个问题，要求仅⽤n 个积分器。

习题 8.2 如果我们着⼿的线性微分⽅程是时变的，⽽不是定常的，那么可达标准型实现该如何修改？
习题 8.3 仍然只⽤n 个积分器，如何改变可达标准型实现，来得到以下双输出系统的实现：
()(1)(1)1110110111,1()
(1)
(1)
2
12
0220212,1 n n n n n n n n n y a y a y c u c u c u y a y a y c u c u
c u +++=++++++=+++n
习题 8.4 对于下列⼆输⼊⼆输出系统：
11122212, y
y u u y
y u u α=++=++
（a ）当α≠1时，找到系统的⼀个最⼩实现。

（b ）当α＝1时，找到系统的⼀个最⼩实现。