2025届衡阳市重点中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析

2025届衡阳市重点中学高三第六次模拟考试数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭
：的一条对称轴方程为3
x π
=
，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到
曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则θ的最小值是（ ） A ．6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
12
π
2．下列四个图象可能是函数35log |1|
1
x y x +=
+图象的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的
点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )
A ．
52
B ．3
C ．2
D ．
72
5．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3 B ．
13
C ．2
D ．
12
6．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
7．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）
A ．1
B ．
53
C ．2
D ．
73
8．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811
B ．810
C ．24
D ．163
9．双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ）
A ．3
B ．32
C ．6
D ．62
10．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）
A ．()x e x
f x x +=
B ．()2
1x f x x -=
C ．()x e x
f x x
-=
D ．()21
x f x x
+=
11．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩
，已知函数21()2sin f x x =-，2
1
()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．
2
3
B ．1
C ．
43
D ．2
12．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x >
D ．0x D ∃∈，()00f x x >
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，若2112n
n n n
a a a a ++=-，11a =，则7S =________.
14．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数M ，若把M 当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为N ，则
M
N
=_________． 15．设()f x 为偶函数，且当(]
2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：
①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，
，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，
，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列． 其中，正确命题的序号是_______．
16．对定义在[0,1]上的函数()f x ，如果同时满足以下两个条件： （1）对任意的[0,1]x ∈总有()0f x ；
（2）当10x ，20x ，121x x +时，总有()()()1212f x x f x f x ++成立.
则称函数()f x 称为G 函数.若()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数，则实数a 的取值范围为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111a b ==，
53a S =，4415a b +=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列n n S T n ⋅⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和. 18．（12分）设函数()2
2ln f x x a x =+，（R a ∈）.
（1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为2y x m =+，求实数a 、m 的值； （2）若()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）关于x 的方程()2cos 5f x x +=能否有三个不同的实根？证明你的结论. 19．（12分）已知函数()2
2
cos 23sin cos sin f x x x x x =+-.
（1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知ABC ∆，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.
20．（12分）如图，D 是在△ABC 边AC 上的一点，△BCD 面积是△ABD 面积的2倍，∠CBD =2∠ABD =2θ．
（Ⅰ）若θ=
6π
，求sin sin A C
的值； （Ⅱ）若BC =4，AB 2，求边AC 的长．
21．（12分）已知a ，b ，c 为正数，且1abc =，证明： （1）()()()21212127a b c +++≥；
（2）
()
()
()
2
2
2
1113
4
a b c b a c c a b +
+
≤
+++. 22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos(
)13πϕ+=±，结合||2
ϕπ<，可得3π
ϕ=，易得曲线E 的解析式为
cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值.
【详解】 ∵直线3
x π
=
是曲线C 的一条对称轴.
2()3
k k π
ϕπ∴⨯
+=∈Z ，又||2
ϕπ
<
. 3
π
ϕ∴=
.
∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅
⎪⎝⎭
. 22()4
3
2
k k Z π
π
π
θπ∴⨯
++
=+
∈.
()26
k k Z ππ
θ=
-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3
π. 故选：C. 【点睛】
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 2、C 【解析】
首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x =
的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||
x y x
=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解. 【详解】 ∵35log |1|
1
x y x +=
+的定义域为{}|1x x ≠-，
其图象可由35log ||
x y x
=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x
=为奇函数，图象关于原点对称，
∴35log |1|1
x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称.
可排除A 、D 项. 当0x >时，35log |1|
01
x y x +=>+，∴B 项不正确.
故选：C 【点睛】
本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题. 3、A 【解析】
分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为
，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：
.
4、D 【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可． 【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为
平行四边形，结合0
260MF N ∠=，故01260F MF ∠=
对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222
121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠
而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F
F c =，代入上式子中，得到 2
2
2
2
943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =
，即可得出7
c e a ==，故选D ． 【点睛】
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 5、A 【解析】
设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x
'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简
得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】
设切点为00(,2)x kx -，
∵3y x '=，∴0
03
,213ln ,
k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②
由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目. 6、B 【解析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故
且
，即
.
故选：. 【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 7、B 【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k 即可. 【详解】
可行域如图中阴影部分所示，22,111B k k ⎛⎫+
⎪--⎝⎭，421,2121k C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，要使得z 能取到最大值，则1k >，当12k <≤时，x 在点B 处取得最大值，即2221211k k ⎛⎫⎛⎫
-+=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，得53k =；当2k >时，z 在点C 处取得最大值，即421222121k k k -⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，得76k =（舍去）.
故选:B.
【点睛】
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题. 8、A 【解析】
推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出
AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13
P ABC A PBC PBC
V V S
AE --==⋅⋅，由此能求出结果.
【详解】 解：
在四面体P ABC -中，ABC 为等边三角形，边长为6，
6PA =，8PB =，10PC =，
222PB BC PC ∴+=，
PB BC ∴⊥，
分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ， 则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，
且AD 4DE AE ===，，
222AE DE AD ∴+=，
AE DE ∴⊥，
PC DE E PC =⊂，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，
∴⊥平面AE PBC ，
∴四面体P ABC -的体积为：
1
3
P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅
1111
=863232
PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.
故答案为：【点睛】
本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 9、A 【解析】
根据焦点到渐近线的距离，可得b ，然后根据2
2
2
,c
b c a e a
=-=，可得结果. 【详解】
由题可知：双曲线的渐近线方程为0bx ay ±= 取右焦点(),0F c ，一条渐近线:0l bx ay -=
则点F 到l =222b a c +=
所以b =
222c a -=
又222
2399c c c a a a =⇒=⇒=
所以22
3292
c c c -=⇒=
所以焦距为：23c = 故选：A 【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，以及,,,a b c e 之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为b ，属基础题. 10、A 【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】
对于选项B, ()2
1x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;
对于选项C,当1x <-时, ()0x e x
f x x
-=<,可判断C 错误;
对于选项D, ()22111
=+x f x x x x
+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般. 11、A 【解析】
根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【详解】
依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,
22
2222
11111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x
+=
+=+-+----
-222212cos 2sin 14
(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==
时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23
， 故选：A. 【点睛】
本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题. 12、D 【解析】
根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】
因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】
本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、127 【解析】
已知条件化简可化为22112n n n n a a a a ++-=,等式两边同时除以2
n a ，则有2
1120n n n n a a a a ++⎛⎫-
-= ⎪⎝⎭
，通过求解方程可解得1
2n n
a a +=,即证得数列{}n a 为等比数列,根据已知即可解得所求. 【详解】
由2
2
22
1111112220n n n n n n n n
n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++⎛⎫=⇒-=⇒--= ⎪-⎝⎭
. 1
111712120222112712n n n n n n n n n n n a a a a S S a a a -+++⎛⎫⎛⎫-⇒+-=⇒=⇒=⇒==-⇒= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
.
故答案为:127. 【点睛】
本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易. 14、1 【解析】
根据均值的定义计算． 【详解】 由题意5051
M M N M +=
=，∴1M
N =．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查均值的概念，属于基础题． 15、①②③ 【解析】
根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可. 【详解】
解：当4a =时()()[)
()()[)
20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨
--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数
∴可画出()f x 的图象，如下所示：
可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确； 若[]01m ∀∈，
，函数()g x 的零点不超过4个， 即[]01m ∀∈，
，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立
又
当[)2x ∈+∞，
时，()()()2f x a x x =-- 0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，
上恒成立 a x ∴≤在[)2x ∈+∞，
上恒成立 2a ∴≤
由于偶函数()f x 的图象，如下所示：
直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确； 对()1m ∀∈+∞，
，偶函数()f x 的图象，如下所示：
()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．
故答案为：①②③ 【点睛】
本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题. 16、{}1 【解析】
由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：12x
a ≥对任意的[0,1]x ∈恒成立，解得1a ≥，又()()121
2121x x a a
-≤--在120,0x x ≥≥，121x x +≤恒成立，即1
0a a
-≤，所以1a ≤，从而可得1a =. 【详解】
因为()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数，
所以对任意的[0,1]x ∈总有()0h x ≥， 则1
2
x a ≥
对任意的[0,1]x ∈恒成立， 解得1a ≥， 当1a ≥时，
又因为10x ，20x ，121x x +时， 总有()()()1212h x x h x h x ++成立，
即()()()1
2
1112122
221x x x x h x x h x h x a a a ++-+=⋅-⋅-⋅+⎡⎤⎣⎦
()()12212110x x a a =--+-≥恒成立，
即
()()121
2121x x a a
-≤--恒成立， 又此时(
)(
)
122121x
x
--的最小值为0， 即
1
0a a
-≤恒成立， 又因为1a ≥ 解得1a =. 故答案为：{}1 【点睛】
本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）21n a n =-；12n n b -=（2）()()
111222
n n n n ++-⨯-
+ 【解析】
(1)设数列{}n a 的公差为d ,由53a S =可得,1132
432
a d a d ⨯+=+
,由111a b ==即可解得2d =,故21n a n =-,由
4415a b +=,即可解得2q
,进而求得12n n b -=.
(2) 由（1）得，()2212n n n n n S T n n n n
-⋅==⋅-,利用分组求和及错位相减法即可求得结果. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 由53a S =可得，1132
432
a d a d ⨯+=+， 整理得12a d =，即2d =， 故21n a n =-，
由4415a b +=可得48b =，则318b q =，即2q ，
故12n n
b -=.
（2）由（1）得，2n S n =，21n
n T =-，
故()2212n n n n n S T n n n n
-⋅==⋅-， 所以，数列n n S T n ⋅⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为()()12
1222212n n n ⨯+⨯++⨯-++
+，
设()1
2
11222122n n n P n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯①， 则()2
3
121222122n n n P n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯②，
②-①得()()1
23122222122n n n n P n n ++=⨯-++++=-⨯+，
综上，数列n n S T n ⋅⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()111222
n n n n ++-⨯-
+. 【点睛】
本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般. 18、（1）2a =-，0m =；（2）4,2ln 2ln 3⎛
⎫
-∞ ⎪-⎝⎭
；
（3）不能，证明见解析 【解析】
（1）求出()f x '，结合导数的几何意义即可求解；
（2）构造()()()2122h x f x f x =-+-，则原题等价于()0h x >对任意)2,x ⎡∈+∞⎣恒成立，即)2,x ⎡∈+∞⎣时，
()min 0h x >，利用导数求()h x 最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由()20h >求出a 的范围，再研究该
范围下()h x 单调性；
（3）构造()()2cos 5g x f x x =+-并进行求导，研究()g x 单调性，结合函数零点存在性定理证明即可. 【详解】 （1）
()22ln f x x a x =+，
∴()4a
f x x x
'=+
， 曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为2y x m =+， ∴()()
1421221f a f m ⎧=+=⎪⎨==⨯+'⎪⎩，
解得2
0a m =-⎧⎨=⎩
. （2）记()()()2122h x f x f x =-+-，
整理得()()2
2
41ln 21
x h x x a x =---，
()()()()2
2
21422
281212x x x a h x x a x x x x
⎡⎤---⎛⎫⎣⎦
'=---=
⎪--⎝⎭
由题知，()()2122f x f x -+>对任意)2,x ⎡∈+∞⎣恒成立，
∴()0h x >对任意)2,x ⎡∈+∞⎣恒成立，即)2,x ⎡∈+∞⎣时，()min 0h x >， ∴()20h >，解得4
2ln 2ln 3
a <
-，
当4
2ln 2ln 3
a <
-时，
对任意)2,x ⎡∈+∞⎣，10x ->，)2
2
11226,48x x x ⎛⎫⎡-=--∈+∞ ⎪⎣⎝
⎭， ()6
6
244ln 43424602ln 2ln 32ln 2ln 3
e x x a -->⨯-=
>--，
∴()0h x '>，即()h x 在)2,⎡+∞⎣单调递增，此时()()min 20h x h =>，
∴实数a 的取值范围为4,2ln 2ln 3⎛⎫-∞ ⎪-⎝
⎭.
（3）关于x 的方程()2cos 5f x x +=不可能有三个不同的实根，以下给出证明： 记()()2
2cos 52ln 2cos 5g x f x x x a x x =+-=++-，()0,+x ∈∞，
则关于x 的方程()2cos 5f x x +=有三个不同的实根，等价于函数()g x 有三个零点，
()42sin a
g x x x x '=+
-， 当0a ≥时，
0a
x
≥， 记()42sin u x x x =-，则()42cos 0u x x '=->，
∴()u x 在()0,+∞单调递增，
∴()()00u x u >=，即42sin 0x x ->， ∴()42sin 0a
g x x x x
'=+
->， ∴()g x 在()0,+∞单调递增，至多有一个零点；
当0a <时， 记()42sin a
x x x x
ϕ=+
-， 则()242cos 42cos 0a
x x x x
ϕ'=-
->->， ∴()x ϕ在()0,+∞单调递增，即()g x '在()0,+∞单调递增，
∴()g x '至多有一个零点，则()g x 至多有两个单调区间，()g x 至多有两个零点.
因此，()g x 不可能有三个零点.
∴关于x 的方程()2cos 5f x x +=不可能有三个不同的实根.
【点睛】
本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思
想，属于难题.
19、（1）最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦；（2【解析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x =的最小正周期，解不等式()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈可求得该函数的单调递增区间；
（2）由()1f C =求得3
C π
=
，由()sin sin 2sin 2C B A A +-=得出2
A π
=
或2b a =，分两种情况讨论，结合余弦
定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得ABC ∆的面积. 【详解】
（1）()22
cos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝
⎭，
所以，函数()y f x =的最小正周期为22
T π
π==， 由()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得()36
k x k k ππ
π-
≤≤π+∈Z ， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦； （2）由()1f C =，得2sin 216C π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，2266C k πππ∴+=+或52266
C k ππ
π+=+，C k π∴=或()3
C k k Z π
π=
+∈，
()0,C π∈，3
C π
∴=
，
又
()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=，
2sin cos 2sin 2B A A ∴=，即sin cos 2sin cos B A A A =.
①当cos 0A =时，即2
A π
=
，则由3
C π
=
，2c =，得sin 3c a C =
=
，则123
b a ==，此时，ABC ∆的面积
为12ABC S bc ∆=
=
； ②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，
则由222cos 122a b c C ab +-==，解得a =
b =1sin 2ABC S ab C ∆∴==.
综上，ABC ∆的面积为ABC
S =
. 【点睛】
本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.
20、（Ⅰ）sin sin A C =
；（Ⅱ）AC =【解析】
（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCD ABD S S ∆∆=并结合正弦定理
sin sin AB BC
C A
=，可得结果. （Ⅱ）根据2BCD ABD S S ∆∆=，可得θ，然后使用余弦定理2222sin AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，可得结果. 【详解】
（Ⅰ）23
CBD ABD π
∠=∠=
，所以
11sin 2sin 2326
BC BD AB BD ππ⋅=⨯⋅
所以
sin
sin BC A AB C =⇒==
； （Ⅱ）
11
sin 22sin 22
BC BD AB BD θθ⋅=⨯⋅，
所以42sin cos 2cos 2
θθθθ⨯=⨯⇒=
， 所以4
π
θ=
，334
ABC πθ∠==
，
所以2
16824402AC ⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭
，
所以边AC = 【点睛】
本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题. 21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用均值不等式a b c ++≥即可求证；
（2）利用
()214ab a b ≤+，结合1abc =，即可证明. 【详解】
（1）∵211a a a +=++≥21b +≥21c +≥
∴()()()21212127a b c +++≥=.
（2）∵()22224a b a ab b ab +=++≥，∴()214
ab
a b ≤+. 同理有()
214ac a c ≤+，()214bc b c ≤+. ∴()
()()2221
11a b c b a c c a b +++++ ()
()()222abc
abc abc a b c b a c c a b =+++++ ()()()222bc
ac ab b c a c a b =
+++++ 11134444
≤++=. 【点睛】
本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及1的妙用，属综合性中档题.
22、（1）2
213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【解析】
（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程.
（2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.
【详解】
（1）消去α得，曲线1C 的普通方程是：2213
x y +=；
把cos x ρα=，sin y ρα=代入得，曲线2C 的直角坐标方程是40x y ++=
（2
）设,sin )P αα，||PQ 的最小值就是点P 到直线2C 的最小距离.
设d == 在56πα=-时，sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭
，d =
32
α=-，1sin 2α=-
，此时31,22P ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭ 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.。