专题05 不等式(选择题、填空题)(理)(9月第01期)(解析版)

专题05 不等式（选择题、填空题）
一、单选题
1．（四川省眉山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）设,,a b c ∈R ，且a b c >>，则下列各不等式中恒成立的是（ ） A ．ac bc > B ．b c >
C ．22a b >
D ．a c b c +>+
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项检验，即可判断结果. 【解析】对于选项A ，若0c ≤，显然不成立； 对于选项B ，若0,0b c =<，显然不成立； 对于选项C ，若0b a <<，显然不成立；
对于选项D ，因为a b >，所以a c b c +>+，故正确. 故选:D.
2．（北京166中2018-2019学年高二（上）9月考数学试题）设实数a ，b 满足b ＜a ＜0，则下列不等式①a +b ＞ab ；②|a |＞|b |； ③a 2＜b 2；④b a
a b
+＞2中，所有正确的不等式的序号为（ ） A ．①②③ B ．③④ C ．③
D ．④
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质，结合基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可容易选择判断.
【解析】①因为0b a <<，故可得0a b +<，0ab >，故ab a b >+，①错误； ②因为0b a <<，根据绝对值的意义，故可得b a >，故②错误； ③()()2
2
0a b a b a b -=-+<，故22a b <，故③正确；
④因为
0,0b a a b >>，且b a a b ≠，故2b a a b +>=.故④正确； 综上所述，正确的是③④. 故选：B .
3．（2020届浙江省杭州市上学期高三年级期末教学质量检测（一模）数学试题）若,x y 满
足0,
{1,
0,
x y x x y +≥≥-≥则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．1y ≥
B ．2x ≥
C ．20x y +≥
D ．210x y -+≥
【答案】D
【解析】作出不等式所表示的平面区域，显然选项A ，B 错；由线性规划易得的取
值范围为
，故
不成立；
在B 处取得最小，故
.
4．（浙江省绍兴市阳明中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题）实数x ，y 满足
200
2x y x y x -+>⎧⎪
+>⎨⎪<⎩
，则整点(),x y 的个数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【分析】利用数形结合，画出可行域，然后根据,x y 的取值范围，进行验证，可得结果. 【解析】如图，
根据图形可知：12,24-<<-<<x y
则满足区域的整点有：()()()()0,1,1,0,1,1,1,2 故选：C.
【点睛】本题考查线性规划整点问题，关键在于图形描绘以及,x y 的取值范围，属基础题. 5．（四川省自贡市第十四中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷）下列命题中，一定正确的是( )
A ．若11
,
a b a b
>>，则0a >，0b < B ．若a b >，0b ≠，则
1a b
> C ．若a b >，a c b d +>+，则c d > D ．若a b >，c d >，则ac bd >
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得答案； 【解析】对A ，
a b >，
110b a a b ab
--=>，0ab ∴<，因此0a b >>，正确． 对B ，0b <时不成立．
对C ，取6a =，1b =，1c =，2d =，满足a b >，a c b d +>+，而c d <，因此不正确． 对D ，取5a =，3b =-，1c =，6d =-，满足a b >，c d >，则ac bd <，不正确． 故选：A ．
6．（四川省眉山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）设1
02
m <<，若212
212k k m m
+≥--恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[)(]2,00,4-⋃ B ．[)(]4,00,2- C ．[]4,2-
D ．[]
2,4-
【答案】D
【解析】由于102
m <<
， 则12
12m m +
-=()()()2122
8122122124m m m m m m =≥=--⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
， 当2m=1-2m 即m=1
4
时取等号；
所以212212k k m m +≥--恒成立，转化为12
12m m
+-的最小值大于等于22k k -，
即22k k -824k ≤∴-≤≤ 故选D
7．（北京市通州区2019-2020学年高二（下）期中数学试题）已知函数f （x ）＝2ax 2+（a +2）x +1（a ＜0），那么不等式f （x ）＞0的解集是（ ） A ．11,2⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭a B ．11,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．11,,2⎛
⎫⎛⎫
-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
a D ．11,
,2⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
a 【答案】A
【分析】对()f x 因式分解，比较()0f x =所得两根的大小，由此求得()0f x >的解集. 【解析】依题意()()()121f x ax x =++，令()0f x =， 由于0a <，故解得1211
,2x x a
=-
=-，且12x x <， 所以()0f x >的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭a . 故选：A
8．（甘肃省天水一中2020届高三高考数学（文科）二模试题）已知集合
{}
2|3100M x x x =--<，{N x y ==，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）
的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}
35x x <≤ B ．{
3x x <-或}5x >
C ．{}
32x x -≤≤- D ．{}
35x x -≤≤
【答案】C
【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R N
M ，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果. 【解析】由韦恩图可知：阴影部分表示()R N
M ，
()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<，{}
{}29033N x x x x =-≥=-≤≤，
(){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-.
故选：C .
【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.
9．（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（三））若实数x ，y 满足约束条件标函数
40
00
x y x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨
⎪≥⎩
则目标函数12z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【分析】先作出不等式组表示的平面区域,再数形结合求出目标函数的最值即可. 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,目标函数1
2
z x y =
+可化为1
2y x z =-+,作出直线12
y x =-并平移,平移后的直线过点()2,2A 时,z 取得最大值,最大
值为3.
故选：D.
10．（江西省新余市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学（文）试题）已知实数x ,y
满足2102
10x y x x y -+≥⎧⎪
<⎨⎪+-≥⎩
,则221z x y =--的取值范围是( ) A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．5,53
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【解析】作出可行域如下：
由221z x y =--得12z y x +=-，平移直线12
z
y x +=-， 由平移可知当直线12z y x +=-
，经过点C 时，直线12
z y x +=-的截距最小，此时z 取得最大值，由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得2
1
x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=，
可知当直线12z y x +=-
，经过点A 时，直线12
z
y y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值，由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得13
2
3x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即1(3A ，2)3，
代入221z x y =--得125
221333
z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)，
故选：D ．
11．（四川省自贡市第十四中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷）若0x >，
0y >，1x y M x y +=
++，11x y
N x y
=+++，则M 、N 的大小关系是（ ）
A ．M
N
B ．M N <
C ．M N ≤
D ．M N >
【答案】B
【分析】利用不等式的性质比较大小即可. 【解析】
0x >，0y >，∴110x y x ++>+>，110x y y ++>+>.
∴
11x x x y x <+++，11y y x y y
<+++，
∴11111x y x y x y
M N x y x y x y x y
+=
=+<+=++++++++，
即M N <.故选：B
12．（四川省眉山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）关于x 的不等式
2(2)10x a x a 的解集中，恰有2个整数，则a 的取值范围是（ ）
A ．(2,3]
B ．(3,4]
C ．[3,2)
(2,3]-- D ．[3,2)(3,4]--
【答案】C
【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出
a 的取值范围.
【解析】原不等式可化为110x
a x ，
①当0a >时，11a +>，则原不等式的解集为：11x a <<+，若解集中恰有两个整数解，则解集中只有2,3两个整数，则23a <≤；
②当0a <时，11a +<，则原不等式的解集为：11a x +<<，若解集中恰有两个整数解，则解集中只有1,0-两个整数，则32a -≤<-； 综上所述：a 的取值范围是(]
[)2,33,2--.故选：C.
【点睛】本题考查二次不等式的解法及解集中整数解个数的问题，难度一般.当涉及含参数的不等式求解问题时，注意分类讨论思想的应用.
13．（安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高一下学期期末数学试题）若关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()4,5
B ．()()3,24,5--⋃
C ．(]4,5
D ．[)(]3,24,5--⋃
【答案】D
【分析】化不等式为1(0)()x a x --<，分1a >和1a <两种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意和集合的表示方法，即可求解.
【解析】由题意，不等式()2
10x a x a -++<，可化为1(0)()x a x --<，
当1a >时，不等式()2
10x a x a -++<解集为(1,)a
要使得不等式()2
10x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则45a <≤；
当1a <时，不等式()2
10x a x a -++<的解集为(,1)a
要使得不等式()2
10x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则32a -≤<-，
综上可得，实数a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃.故选：D.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合元素与集合的关系求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
14．（江西省2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学（文）试题）正数a ,b 满足
9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围
是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞
C ．(],6-∞
D ．[)6,+∞
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得+a b 的最小值，把问题转化为()m f x ≥恒成立的类型，求解()f x 的最大值即可.
【解析】
9a b ab +=,19
1a b
∴+=，且a ,b 为正数，
199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=，
当且仅当
9b a a b
=，即4,12a b ==时，()16min a b +=， 若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，
则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立，即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，
2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A
【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题. 二、多选题
15．（福建省三明市尤溪五中2019-2020学年高一下学期数学期末复习试题）已知点()3,1和
()4,6在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围为（ ）
A ．7a >-
B ．7a <-
C ．0a >
D ．70a -<<
【答案】BC
【分析】由条件可得(3321)(3426)0a a ⨯-⨯+⨯-⨯+>，从而得解. 【解析】点()3,1M 和()4,6N 在直线320x y a -+=的同侧， 所以(3321)(3426)0a a ⨯-⨯+⨯-⨯+>，解得7a <-或0a >. 故选：BC.
16．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题）已知660a <<，
1518b <<，则下列正确的是（ ）
A ．
1,43a b ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
B ．()221,78a b +∈
C ．()12,45a b -∈-
D ．
7,56a b b +⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
【答案】AC
【分析】通过特殊值，排除错误选项，结合不等式性质即可解答. 【解析】A 中，111
15181815
b b <<⇒
<<，又660a <<， 所以根据不等式的性质可得1111660418153a
a b b
⨯
<⨯<⨯⇒<<，故A 正确； B 中，30236b <<，36296a b <+<，故B 错误； C 中，1815b -<-<-，1245a b -<-<，故C 正确； D 中，
41,53a b a b b +⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
，故D 错误. 故选：AC.
17．（山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试（二模）数学试题）设[]x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[][]2
120+-≤x x 的解可以为（ ）
A B ．3
C ． 4.5-
D ．5-
【答案】BC
【分析】首先根据题意解不等式得到[]
43-≤≤x ，再根据选项即可得到答案.
【解析】因为不等式[][]2
120+-≤x x ，所以[][](3)(4)0-+≤x x ，即[]
43-≤≤x ， 又因为[]x 表示不小于实数x 的最小整数， 所以不等式[][]2
120+-≤x x 的解可以为3， 4.5- 故选：BC
【点睛】本题主要考查一元二次不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 18．（山东省淄博市淄川中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题）设集合
{}
220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =<，若实数()a M N ∈⋂，则a 的值可以是( )
A ．1
B ．2-
C ．0.5
D ．1.5
【答案】AC
【分析】首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义求出M N ⋂，从而判断可得； 【解析】因为{
}
2
20M x x x =+-≤，{}
2log 1N x x =<， 所以{}
21M x x =-≤≤，{}
02N x x =<<， 所以{}|01M
N x x =<≤，所以()1M N ∈，()0.5M N ∈
故选：AC.
19．（福建省泰宁第一中学2019-2020学年高一下学期第一次阶段考试数学试题）下列各不等式，其中不正确的是（ ） A ．212()a a a R +>∈；
B ．1
2(,0)x x R x x
+
≥∈≠； C 2(0)ab
≥≠； D ．2
2
1
1()1
x x R x +
>∈+. 【答案】ACD
【分析】举反例判断ACD 选项，根据基本不等式的性质判断B 选项. 【解析】对A 项，当1a =时，212a a +=，则A 错误；
对B 项，当0x >时，112x x x x +
=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立
当0x <时，112x x x x +
=-+≥=-，当且仅当1x =-时，等号成立，则B
正确；对C 项，当0,0a b <<0
<，则C 错误； 对D 项，当0x =时，2
2
1
11
x x +=+，则D 错误； 故选：ACD
20．（山东省枣庄三中2019-2020学年高一10月学情调查数学试题）有下面四个不等式，其中恒成立的有（ ） A ．
2
a b
ab +
B ．a （1﹣a ）14
C ．a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca
D ．
b a a b
+≥2 【答案】BC
【分析】A.根据基本不等式的成立条件判断；B.由二次函数的性质判断；C.利用基本不等式及不等式的基本性质判断；D.根据基本不等式的使用条件判断. 【解析】A.当0,0a b <<时，
2
a b ab +不成立，故错误；
B. a （1﹣a ）2
2111244a a a ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝
⎭，故正确； C. 2222222,2,2a b ab a c a cc b cb +≥+≥+≥，两边同时相加得 a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，故正确，D.当,a b 异号时，不成立，故错误； 故选：BC
21．（湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）设a ，b 为正实数.下列命题中的真命题有（ ） A ．若221a b -=，则1a b -< B ．若
11
1b a
-=，则1a b -<
C 1=，则1a b -<
D ．若3
3
1a b -=，则1a b -<
【答案】AD
【分析】结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算，即可求解，得到答案 【解析】A 中，2
2
()()1a b a b a b -=+-=，1
a b a b
∴-=
+， a ，b 为正实数，0a b a b +>->，若1a b -≥，则必有
1
1a b
≥+，即1a b +≤，与a b a b +>-矛盾，不
合题意，故A 正中确；B 中，1
11a b b a ab --==，只需a b ab -=即可，取2a =，23
b =满足上式，但4
13
a b -=
>，故B 错；C 中，a ，b 为正实数，
1>
=，
且1a b -==>，故C 错；
D
中，3
3
2
2
2
2
2
2
()()()(2)
a b a b a ab b a b a ab b a b a ab b -=-++=-++>--+2()a b a b =-⋅-3
a b =-，故1a b -<，故D 正确.
故选：AD.
22．（山东省潍坊高密市2020届高三模拟数学试题二）设正项等差数列{}n a 满足
()
2
11029220a a a a +=+，则（ ）
A ．29a a 的最大值为10
B ．29a a +
的最大值为
C ．
222911a a +的最大值为15
D ．44
29a a +的最小值为200
【答案】ABD
【解析】因为正项等差数列{}n a 满足()2
11029220a a a a +=+，
所以()2
2929220a a a a +=+，即22
2920a a +=.
①22292920
1022
a a a a +≤==
，当且仅当29a a ==时成立，故A 选项正确.
②由于2
22
29291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，所
以29292a a a a +≤+≤，当且仅
当29a a ==B 选项正确.
③22
29222222222229
292929112020201
1052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，当且仅当29a a = 所以222911a a +的最小值为15
，故C 选项错误. ④结合①的结论，有(
)
24
4222222
22
9
2
9292924002400210200a a a a
a a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，
当且仅当29a a ==D 选项正确.
故选：ABD
23．（江苏省南京师大附中2019-2020学年高二下学期期末数学试题）若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ）
A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥
B ≥
C ．若
142a b +=，则9
2
a b +≥
D ．若22ab b +=，则34a b +≥
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可.
【解析】对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有
()
()2
2
2
2a b a b +≥+a b ≥=+2
≥
，当且仅当“a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，
11412a b ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
所以()11414155229
2
2b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=
+=， 当且仅当
1442,b a a b a b +==，即3
,32
a b ==时取等号，故C 正确； 对于D ：由0a >，0b >，()2
2ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，
根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=， 当且仅当2
2,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确. 综上：BCD 正确. 故选：BCD.
24．（2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（新教材））已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．3a b
+≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥
⎪⎝⎭
C
22
a b ≥+ D
≥ 【答案】AD
【分析】A
选项，利用基本不等式a b +≥
和≥该不等式的正误；B 选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C
选项，利用基本不等式()2
222
a b a b ++≥
2
a b
+≤
可验证该选项中的不等式是否成立；D 选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立. 【解析】对于A
，3a b ++
≥≥<
，当且仅当a b ==时等号同时成立；对于B ，(
)11224a b a b a b b a ⎛⎫
++=++≥+=
⎪⎝⎭
，当且仅当a b =时取等
号；对于C
()2
2
22
a b a b a b a b ++≥
≥=++，当且仅当a b =时取等号； 对于D ，当12a =，13
b =
1=
=
=
>
<. 故选：AD.
【点睛】本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题.
25．（江苏省南通市通州区2019-2020学年高一下学期期末数学试题）设a ，b 均为正数，且21a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．ab 有最大值
1
8
B
C ．22a b +有最小值15
D ．22a b -有最小值14
-
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求A 、B 中的最大值，用二次函数的性质判断C ，D ．
【解析】21a b +=≥∴18ab ≤，当且仅当2a b =，即11
,24a b ==时等号成立，A
正确；由前面推导可知
2
22a b +=++≤
≤仅当11
,24
a b =
=时等号成立，B 正确；由已知12a b =-，
2
2
2
2
2
2
2
21(12)541555a b b b b b b ⎛
⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝
⎭，21,55b a ==时，22a b +取得最
小值15，C 正确；2
2222224(12)341333a b b b b b b ⎛⎫-=--=-+=-- ⎪⎝⎭，021b <<，
102b <<
，22
1,14a b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
，没有最小值．D 错误． 故选：ABC ．
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查用二次函数的性质求最值．对于有前提条件的二元二次式的最值问题用代入法化为一元二次函数，然后由二次函数知识求得最值，是一种快速求解的方法，消元后注意剩下的元的取值范围． 三、填空题
26．（四川省泸州市2020届高三（2017级）第四次诊断性考试（临考冲刺模拟）文科数学
试题）若变量(),x y 满足約束条件3
450
y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩
，则y
z x =的最小值为____________.
【答案】
14
【解析】由已知约束条件可得可行域，且y
z x
=
表示直线y kx =的斜率k =z ，如下图示，
当直线y kx =过(4,1)时k 有最小值，过(2,3)时k 有最大值， ∴可知：13[,]42k ∈即min min 14
z k ==， 故答案为：
14
. 27．（2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用）02）已知|a |<1，则1
1a
+与1－a 的大小关系为________. 【答案】
1
1a
+≥1－a 【分析】先证明1＋a >0，1－a >0，再利用作商比较法比较大小得解.
【解析】由|a |<1，得－1<a <1.∴1＋a >0，1－a >0.所以1
1+1a a
-＝2
1
1a -，
∵0<1－a 2≤1，∴2
11a -≥1，∴1
1a +≥1－a . 故答案为：
1
1a
+≥1－a. 28．（河南省九师联盟2020届高三核心模拟卷（下）数学（理科）试题（一 ））已知实数,x y
满足不等式组320,
0,0,x y x y x --≤⎧⎪
-≥⎨⎪⎩
则2x y -的最大值为__________．
【答案】2
【分析】作出不等式组表示的平面区域，令2x y z -=，可得2y x z =-，结合图像即可求解.
【解析】画出不等式组320,0,0x y x y x --≤⎧⎪
-⎨⎪⎩
表示的平面区域如下图阴影区域所示，
令2x y z -=，则2y x z =-．
分析知，当0,2x y ==-时，z 取得最大值，且max 20(2)2z =⨯--=． 故答案为：2
29．（湖北省荆州市北门中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）不等式2
21
x x -≥-的解集是________. 【答案】[0,1)
【分析】移项后通分，再转化为一元二次不等式来求解，注意分母不为零.
【解析】原不等式可化为2201x x --≥-即01x
x ≤-，所以()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩
， 故01x ≤<，所以原不等式的解集为[0,1). 故答案为：[0,1).
【点睛】本题考查分式不等式的解集， 此类不等式常利用符号法则转化为一元二次不等式来求解，转化时注意分母不为零，本题属于基础题.
30．（上海市闵行区七宝中学2020届高三（4月份）高考数学模拟试题）设全集U ＝R ，若A ＝{x |
21
x x
-＞1}，则∁U A ＝_____． 【答案】{x |0≤x ≤1}
【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 【解析】全集U ＝R ,若A ＝{x |21
x x
-＞1}, 所以
211x x -＞,整理得1
0x x
-＞,解得x ＞1或x ＜0,所以∁U A ＝{x |0≤x ≤1} 故答案为：{x |0≤x ≤1}
31．（山东省枣庄市滕州二中2019-2020学年高一（10月份）第一次质量检测数学试题）若不等式2240ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】(]4,0-
【分析】分三种情况讨论：（1）当a 等于0时，原不等式变为40-<，显然成立； （2）当0a >时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能；
（3）当0a <时，二次函数开口向下，且与x 轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．
【解析】（1）当0a =时，得到40-<，显然不等式的解集为R ；
（2）当0a >时，二次函数2
24y ax ax =+-开口向上，函数值y 不恒小于0，故解集为R
不可能．
（3）当0a <时，二次函数2
24y ax ax =+-开口向下，由不等式的解集为R ，
得到二次函数与x 轴没有交点，即△24160a a =+<，即(4)0a a +<，解得40a ；
综上，a 的取值范围为(]4,0-． 故答案为：(]4,0-．
32．（北京166中2018-2019学年高二（上）9月考数学试题）不等式m 2+m 任意a ∈[﹣1，1]恒成立，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】m ≥1或m ≤﹣2
[]
1,1-上的最大值，再解一元二次不等式即可容易求得结果.
【解析】因为[]
1,1a ∈-，故可得[]
2
88,9a +∈⎡⎤⎣⎦.
不等式m 2+m a ∈[﹣1，1]恒成立， 即可得213m m ++≥，即220m m +-≥，
()()210m m +-≥，解得1m ≥或2m ≤-.
故答案为：1m ≥或2m ≤-.
33．（四川省眉山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知实数0a >，0b >，
是8a 与2b 的等比中项，则
62
a b
+的最小值是_________. 【答案】32
【分析】由
是8a 与2b 的等比中项，求得31a b +=，化简
626266()(3)20b a
a b a b a b a b
+=++=++，结合基本不等式，即可求解.
【解析】由题意，实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，
可得23228a b a b +=⨯=，解得31a b +=，
所以
626266()(3)202032b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当
66b a a b +时，即14a b ==时，等号成立，所以62
a b
+的最小值是32. 故答案为：32.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
34．（吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）已知方程2
10(0)x kx k ++=>有实根，则1
k k
+的最小值是______． 【答案】
52
【分析】先根据一元二次方程有解得2k ≥，再根据函数1
y k k
=+
的单调性求解即可. 【解析】
方程2
10(0)x kx k ++=>有实根，240k ∴-≥，解得2k ≥，
又1y k k
=+
在[)2+∞，
上单调递增，∴ 1k k +的最小值是15
222+=， 故答案为：
5
2
． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，根据条件求出k 的范围，利用对勾函数在区间内的最值即可求出结果．
35．（甘肃省天水一中2020届高三高考数学（文科）二模试题）已知log 2a+log 2b≥1，则3a +9b 的最小值为 ． 【答案】18
【分析】先把已知条件转化为ab≥2，且a ＞0，b ＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab 表示即可．
【解析】由log 2a+log 2b≥1得ab≥2，且a ＞0，b ＞0． 又3a +9b =3a +32b ≥2=2，
因为a+2b≥2
=2
≥2
=4，所以3a +9b ≥2=18．
即3a +9b 的最小值为18． 故答案为18．
36．（上海市闵行区七宝中学2020届高三（4月份）高考数学模拟试题）设,,x y z R +
∈，满
足236x y z ==，则11
2x z y
+-的最小值为__________.
【答案】
【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值.
【解析】,,x y z R +
∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===
11
log 3,log 6t t y z ==，211
22log log 2t x t z y
+-=+≥
当且仅当2
x =
时等号成立.故答案为: 37．（上海市闵行区七宝中学2020届高三（4月份）高考数学模拟试题）满足约束条件
||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最大值是_____.
【答案】2
【分析】作出可行域，再作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【解析】作出约束条件||2||2x y +≤所表示的平面区域如图所示(阴影部分), 易知
z y x =-在点(-2，0)上取得最大值，此时0(2)2z =--=，
故答案为：2.
【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．本题可行域不是直接用二元一次方程组给出，而是由绝对值不等式给出，因此要由绝对值定义转化得到．
38．（四川省宜宾市第四中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（理）试题）若对于任意的[1,0],x ∈-关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立，则221a b +-的最小值为_____________.
【答案】
45
【分析】令()2
32=++f x x ax b ，根据对于任意的[1,0],x ∈-关于x 的不等式2
320x ax b ++≤恒成立，结合二次函数的性质，则有()2
31200
a b b ⎧--+≤⎪⎨
≤⎪⎩，画出其可行域，令22=+z a b ，表示原点()
0,0o 与点 (),P a b 之间距离的平方，再求其最小值即可. 【解析】令()2
32=++f x x ax b ，
因为对于任意的[1,0],x ∈-关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立，
所以()2
31200a b b ⎧--+≤⎪⎨≤⎪⎩
，即2300a b b --≥⎧⎨≤⎩，其可行域如图阴影部分，
令22=+z a b ，则表示原点()0,0O 与点 (),P a b 之间距离的平方，
如图，当OP 垂直于230--=a b
所在的直线时，距离最小，最小值为：d =
所以221a b +-的最小值为： 2
4
15
d
-=
，故答案为：45
39．（江西省新余市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学（文）试题）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}
2x x <,则关于x 的不等式2
056
ax b
x x +≥--的解集为______. 【答案】()[),12,6-∞-⋃
【分析】由题意可知20a b +=且0a <,利用标根法即可求得答案. 【解析】
不等式ax +b > 0的解集为{x |x < 2},
∴2是方程ax +b =0的解，且a <0,20(0)a b a ∴+=<,
2
(2)(2)
00056(6)(1)(6)(1)
ax b a x x x x x x x x +--∴
>⇒>⇔<---+-+ 由标根法得1x <-或26x <<，所以不等式的解集为()[),12,6-∞-⋃， 故答案为：()[),12,6-∞-⋃
【点睛】本题主要考查高次不等式的解法，着重考查标根法的应用，求得20b a =->是解决问题的关键，属于中档题.
40．（贵州省六盘水市2020届高三高考冲刺卷数学（理）试题）已知角,αβ满足
2
2
π
π
αβ-
<-<
，0αβ<+<π，则3αβ-的取值范围是__________．
【答案】(),2ππ-
【解析】结合题意可知：()()32αβαβαβ-=-++， 且()()()()2,,0,αβππαβπ-∈-+∈，
利用不等式的性质可知：3αβ-的取值范围是(),2ππ-.
【点睛】利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．
41．（黑龙江省哈尔滨市德强高中2019-2020学年高一下学期数学期末试题）若不等式
2
0ax bx c ++≥的解集是123x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
，函数2
()f x cx bx a =++，当x ∈R 时49
()24
f x -≥
恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)1,0-
【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得到53
23b a c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，再根据二次函数的性
质解答.
【解析】2
0ax bx c ++≥的解集是1
23x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
，
所以1,23
x x =-=为方程20ax bx c ++=的解且0a <，
152********b a c a a ⎧=-+=-⎪⎪⎪∴=-⨯=-⎨⎪
<⎪⎪⎩
，则5323b a c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
22225()1133c b f x cx bx a a x x a x x a a ⎛⎫⎛⎫
∴=++=++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22533a x x =-+-，
0a <，对称轴为54x =-，03a
∴->，()min 5494942424a f x f -⎛⎫∴==
≥- ⎪⎝⎭， 10a ∴-≤<，即[)1,0a ∈-，故答案为：[)1,0-.
【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方的关系，二次函数的性质，属于基础题. 四、双空题
42．（沪教版（上海） 高一第一学期 新高考辅导与训练）已知关于x 的不等式
()0x m
m n x n
-<<-的解集为{}34x x -<<，则m =________，n =________． 【答案】3- 4 【分析】
()0x m
m n x n
-<<-等价于()()()0x m x n m n --<<，求得解集，由已知即可得出,m n 的结果. 【解析】
()0x m
m n x n
-<<-等价于()()()0x m x n m n --<<，解得m x n <<， 因为不等式的解集为{}
34x x -<<，所以3,4m n =-=. 故答案为：3-；4
43．（浙江省宁波市2020届高三下学期模拟考试数学试题）设实数,x y 满足
22
38,49x xy y ≤≤≤≤，则34x y
的最大值是_______，最小值为________.
【答案】27 2
【分析】分析题目由实数,x y 满足条件211183xy ≤≤，2
2
1681x
y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
，可把所求的式子利用已知的两个式的四则运算表示，然后利用不等式的性质即可求解．
【解析】由2
38xy ≤≤得211183xy ≤≤，由249x y ≤
≤，得2
21681x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
， 则2
3
2421[2,27]x x y xy y ⎛⎫
=⋅∈ ⎪⎝⎭，即34x y
的最大值为27，最小值为2， 当22211381xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，即31x y =⎧⎨=⎩时取到最大值，当2221
1816xy x y ⎧=⎪⎪
⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭
⎩
，即x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩.
故答案为：27；2.
【点睛】本题考查不等式的性质，根据要求的表达式对已知条件进行合理变形是解题的关键，考查学生计算能力，是基础题.
44．（浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题）方程3x x =的解集是________；不等式3x x >的解集是________. 【答案】{}1,0,1- ()(),10,1-∞-⋃
【分析】将方程3x x =变形为()()110x x x -+=，即可得出方程3x x =的解集，将不等式3x x >变形为()()110x x x -+<，分0x <和0x >两种情况解不等式()()110x x x -+<，即可得出不等式3x x >的解集.
【解析】由3x x =得()()3
110x x x x x -=-+=，解此方程得0x =或±1，
因此，方程3x x =的解集是{}1,0,1-；由3x x >得()()110x x x -+<. 若0x <，则()()110x x -+>，解得1x <-或1x >，此时，1x <-； 若0x >，则()()110x x -+<，解得11x -<<，此时01x <<. 综上所述，不等式3x x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故答案为：{}1,0,1-；()(),10,1-∞-⋃.
【点睛】本题考查三次方程与不等式的求解，解题的关键就是对代数式因式分解，考查运算求解能力，属于基础题.
45．（浙江省超级全能生2020届高三下学期3月联考数学试题（B 卷））设变量x 、y 满足
约束条件20201
x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥⎩，则目标函数24=y
x z 的最大值为______，最小值为______.
【答案】8 1
16
【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2t y x =-，观察该直线在y 轴截距最大和最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.
【解析】作出不等式组202010
x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥-⎪⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：
联立1
20x x y =-⎧⎨-+=⎩
，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即点()1,1C -；
联立200x y y +-=⎧⎨
=⎩，解得2
x y =⎧⎨=⎩，即点()2,0A .
令2t y x =-，则22224
y
y x t x z -===，平移直线2t y x =-，
当直线2t y x =-经过可行域的顶点A 时，直线2t y x =-在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即022
min 12
16
z -⨯==
； 当直线2t y x =-经过可行域的顶点C 时，直线2t y x =-在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()
121max 2
8z -⨯-==.
故答案为：8；
116
. 【点睛】本题考查指数型线性目标函数最值的求解，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
46．（2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用）02）已知x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＋xy ＝5，则xy 的最大值为___________；x ＋4y 的最小值为___________． 【答案】1 4
【分析】利用基本不等式即可求解.
【解析】由x ＞0，y ＞0，则4x y xy xy ++≥，
即
2
2
550+≤⇒
+≤，
所以
)
5
10≤，所以01xy <≤，
当且仅当4x y =时，取等号， 即xy 的最大值为1.
()2
1144444442x y x y xy x y x y x y +⎛⎫++=++⋅≤++ ⎪⎝⎭
化为()()2
4164800x y x y +++-≥，解得44x y +≥， 当且仅当4x y =时，取等号，即x ＋4y 的最小值为4 故答案为： 1 ；4
47．（山东省2020届高三新高考模拟猜想卷（三）数学试题）已知正实数,a b 满足
10ab b -+=，则1
4b a
+的最小值是__________，此时b =_________.
【答案】9
3
2
【分析】将a 用b 表示，得1
b a b -=，代入14b a
+，再化为积为定值的形式，利用基本不等式可得答案.
【解析】由10ab b -+=可得1
b a b -=
，由10b a b
-=
>，得1b >， 所以
11
444(1)511
b b b b a b b +=+=+-+--，
因为
14(1)41b b +--，所以149b a +，当且仅当13
,32
a b ==时等号成立. 故答案为：9；
3
2
. 48．（浙江省衢州二中2020届高三（下）适应性数学试卷题）已知{}n a 是等比数列，且0n a >，
243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________.
【答案】5
5
2
【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出3525a a +=，再由基本不等式，即可求出结果.
【解析】因为{}n a 是等比数列，243546225a a a a a a ++=，
所以22
3355225a a a a ++=，即()2
3525a a +=，
因为0n a >，所以355a a +=，故3542a a a +≥=，即452
a ≤. 故答案为：5；
52
. 49．（浙江省北斗星盟2020届高三下学期高考适应性考试数学试题）已知函数
22(0)()(0)
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则不等式()214f x -≤的解是__________；不等式
22()(4)f x f x -≥的解是__________．
【答案】{
1
32
2x x ⎫
-
≤≤⎬⎭
； {x x ≥或}x ≤-.
【分析】根据函数的图象知，函数在实数集上递增，由()2
422f ==和x ∈R 时，
)
2()f x f
=，根据函数的单调性可解.
【解析】容易作出函数22(0)
()(0)
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩的图象如下，
显然函数()f x 在x ∈R 上递增， 又()2
422f ==，所以()()()242211f
x f f x ≤⇒-≤-，
所以2,221212x x -≤--≤≤，所以1322
x -
≤≤ ()))2
2
0,22x f x x f ≥==
=；()))2
2
0,22x f x x f <=-=-=
所以x ∈R 时，)2()f x f =，)()22
2()(4)4f x f x f f x -⇒≥-≥，
22
4,40x x ≥--≥，(0x x +≥，所以x ≥x ≤-
故答案为：{
1
32
2x x ⎫
-
≤≤⎬⎭
；{x x ≥或}x ≤-..
【点睛】考查利用函数的单调性解函数型不等式，解答的关键一是要考查函数的单调性，二是能把函数值找到对应的自变量的值，中档题.
50．（浙江省宁波市九校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题）已知函数
()()2lg 618f x ax x =++.若()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______________；
若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______________.
【答案】1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
1[0,]2
【分析】若()f x 的定义域为R 则26180ax x ++>恒成立，分类讨论利用二次函数的图象
与性质列出不等式组求解；若()f x 的值域为R ，则2
618y ax x =++可取遍所有正数，分
类讨论利用一次函数、二次函数的图象与性质列出不等式组求解. 【解析】因为()f x 的定义域为R ，所以26180ax x ++>恒成立， ①若0a =，则6180x +>，解得3x >-，不满足题意； ②若0a ≠，则01
36720
2a a a >⎧⇒>⎨
∆=-<⎩.。