高三数学下学期复习综合验收测试试题(3)理 新课标

2012—2013学年度下学期高三二轮复习
数学（理）综合验收试题（3）【新课标】
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式：
锥体的体积公式：V=
1
3
Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。

第I卷（共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足(2)117
z i i
-=+（i为虚数单位）,则z为
（）
A．35i
+B．35i
-C．35i
-+D．35i
--
2．已知变量x、y满足约束条件
2
1
1
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪-≤
⎩
,则3
z x y
=+的最大值为
（）
A．12 B．11 C．3 D．1
-
3．设a,b是两个非零向量
（）
A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
4．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是
（）
5．如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）
A．
1
4
B．
1
5
C ．
16
D ．
17
6．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。

若a 1=d ，
b 1=d 2
，且3
212
3
2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于
（ ）
A ．71
B ．71-
C ．2
1
D ．2
1-
7．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（ ） A ．21 B ．
32
C ．4
3
D ．5
4
8．设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =（ ） A ．0 B ．1
C ．11
D ．12
9．等腰直角三角形∆ABC 中，斜边BC=24，一个椭圆以C 为其焦点，另一个焦点在线段
AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x 轴上） （ ）
A ．
12
4y 246x 22=+
+ B ．
1243y 246x 22=++
+
C ．
12
46y 2
4x 22=++
D ．12
46y 2
43x 22=+++
10．随机事件A 和B ，“0)|(=A B P 成立”是“事件A 和事件B 对立”的（ ）条件
A ．充要
B ．充分不必要
C ．必要不充分
D ．即不充分也不
必要
11．设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则
a b c
x y z ++=
++
（ ）
A ．
14 B ．13
C ．
12
D ．
34
12．已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且
为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为 （ ） A ．62 B ．66 C ．68 D ．74
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．已知函数)45
41(2)cos()sin()(≤≤+-=
x x
πx πx x f ，则f （x ）的最小值为 ； 14．设命题P :2
a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2
410x ax ++>，命题P 且Q 为假，
P 或Q 为真，则实数a 的取值范围是 。

15．在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=
CA ，若
2=⋅+⋅，则EF 与的夹角的余弦值等于 ；
16．观察下列不等式
213
122+
< 231151233
++<，
222111512343+++<
……
照此规律，第五个．．．不等式为 ． 三．解答题： 17．（本小题满分12分）
已知向量)23sin ,23(cos x x a =ρ，)2sin ,2(cos x x b -=ρ，且]2
3,2[ππ∈x
（Ⅰ）求||b a ρ
ρ+的取值范围；
（Ⅱ）求函数||)(b a b a x f ρ
ρρρ+-⋅=的最小值，并求此时x 的值
18． （本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和2
1()2
n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8． （Ⅰ）确定常数k,求a n ；
（Ⅱ）求数列92{
}2n
n
a -的前n 项和T n 19．（本小题满分12分）
如图所示几何体为组合体，由正三棱柱111ABC A B C -和三棱锥P ABC -组成。

正三棱柱111ABC A B C -
中，AB =12AA =；三棱锥P ABC -中，11P AB B B ∈平面，
且PA PB ==
（Ⅰ）求证：11//PA A BC 平面；
（Ⅱ）求二面角1P AC C --平面角的正切值； （Ⅲ）求点P 到平面11BCC B 的距离。

20．（本小题满分12分）
现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏． （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:
（Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量
ξ的分布列与数学期望E ξ．
P
C
B
A
C 1
B 1
A 1
21．（本小题满分13分）
椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，P 为
椭圆C 上任意一点．已知12PF PF •u u u r u u u u r
的最大值为3，最小值为2．
（Ⅰ） 求椭圆C 的方程；
（Ⅱ） 若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于M 、N 两点（M 、N 不是左右顶点），
且以MN 为直径的圆过点A ．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
22． （本小题满分14分）设函数()|1||1|f x x ax =+++，已知)1()1(f f =- ，且
)1()1(a
f a f =-（a ∈R，且a ≠0）
，函数32
()g x ax bx cx =++（b ∈R，c 为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A 、B 与坐标原点O 在同一直线上。

（Ⅰ）试求a 、b 的值；
（Ⅱ）若0x ≥时，函数()g x 的图象恒在函数()f x 图象的下方，求正整数c 的值。

参考答案
一．选择题
1．A ；2．B ；3．C ；4．D ；5．C ；6．C ；7．C ；8．D ；9．A ；10． C ； 11．C ；12．B ； 二．填空题 13．
554；14．021≤<-a 或 121<≤a ；15．3
2
cos =θ；16．6
11
6151413121122222<+++++； 三．解答题
17．解析：（Ⅰ）∵ ]2
3
,2[
ππ∈x ∴ 12cos 1≤≤-x
x b a 2cos 22||+=+ρρ ∴ 0≤||b a ρ
ρ+≤2 4分
（Ⅱ）∵ ]23
,2[
ππ∈x ∴ 0cos 1≤≤-x ；…………6分 ∵ x x b a b a x f 2cos 222cos ||)(+-=+-⋅=ρ
ρρρ
1cos 2cos 2cos 41cos 2222-+=--=x x x x ………………10分
∴ 当21cos -=x ，即π32=x 或π34=x 时，||)(b a b a x f ρρρρ+-⋅=取最小值－2
3。

……………………12分
18．解: （Ⅰ）当n k N *
=∈时,212n S n kn =-
+取最大值,即22211
822
k k k =-+=,故4k =,
……………………2分 从而19(2)2n n n a S S n n -=-=-≥,又1172a S ==,所以9
2
n a n =- …………………4分
（Ⅱ）因为1
9222
n n n n a n b --=
=, 1222123112222
n n n n n n
T b b b ---=+++=+++++L L ……………………………………
………8分
所
以
212111112
22144222222
n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-L ……………
…12分 19．解法一：
（Ⅰ）在1Rt ABA ∆中
，AB =，
12AA =，
∴1cos ABA ∠=
，取BC 中点H ， PA PB =Q ， PH AB ∴⊥，
在Rt PAH ∆中，1PH =
，cos PAH ∠=
，又1ABA PAH ∠∠、均为锐角，∴1ABA PAH ∠=∠， ---------------2分
1//PA A B ∴，又1PA C 1在平面A B 外， 11//PA A BC ∴平面． ---------------4分
（Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴PH BC ⊥平面A ，过H 作HE AC ⊥于E ，连结PE ，则PE AC ⊥， PEH ∠为二面角P AC B --的平面角， ------------------------6分
易知12HE =
⋅⎝
=2
tan 3PH PEH HE ∠==， ∴
二面
角
1
P AC C --的平面角的正切值为－
3
6
------------------------8分
（Ⅲ）1//PH BB Q ，P ∴点到平面11BCC B 的距离，就是H 到平面11BCC B 的距离，-------------------------------9分
过H 作HF BC ⊥于F ，则11HF BCC B ⊥平面，HF 的长度即为所求， 由
上
2
HF HE ==
（或用等体积
11P B BC C B BP
V V --=求）
----------------------------------12分 解法二：
如图，建立图示空间直角坐标系．
则(1,0,0)P
，A
，(0,0,B
，C
，1(A -．
（Ⅰ）1
2BC PB =u u u r u u u r F
E
H
A 1
B 1
C 1
A B
C
P
（Ⅱ）利用12
1212
cos ,n n n n n n ⋅=⋅u r u u r
u r u u r u r u u r ，其中12,n n u r u u r 分别为两个半平面的法向量，
或利用1cos ,CC EP u u u u r u u u r
求解．
（Ⅲ）利用PB n d n
⋅=u u u r r r ，其中n r
为平面11BCC B 的法向量。

20．解析：依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
1
3
,去参加乙游戏的概率为2
3
．设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33
i i i
i P A C -=． …………………………………………………………2分
（Ⅰ）这
4
个人中恰有
2
人去参加甲游戏的概率为
222
24128()()()3327
P A C ==
． …………4分 （Ⅱ）设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则
34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故
3344
34441211()()()()()()3339
P B P A P A C C =+=+=
所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
1
9
．………………6分 （Ⅲ）ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故
2130484017
(0)(),(2)()(),(4)()()278181
P P A P P A P A P P A P A ξξξ===
==+===+=
………………8分
所以ξ的分布列为:
………………10分
随机变量ξ的数学期望8401714802427818181
E ξ=⨯
+⨯+⨯=．………………12分 21．解析：（Ⅰ） P Q 是椭圆上任一点,12||||2PF PF a ∴
+=且1||a c PF a c -≤≤+， 121212||||cos y PF PF PF PF F PF =•=∠u u u r u u u u r u u u r u u u u r
222121
[||||4]2PF PF c =+- 222111
[||(|2||)4]2
PF a PF c =+-- 2221(||)2PF a a c =-+-……………………2分
当1||PF a =时，y 有最小值222a c -；
当2||PF a c =-或a c +时, y 有最大值22
a c -． 2222322a c a c ⎧-=∴⎨-=⎩， 22
41
a c ⎧=⎨=⎩， 222
3b a c =-=． ∴椭圆方程为22
143
x y +
=。

……………………6分 （Ⅱ） 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程得
222(43)84120k x kmx m +++-=．
2121222
8412
,4343
km m x x x x k k --∴+==++………………7分 Q 11y kx m =+，22y kx m =+，22121212(2)()y y k x x km x x m =+-++，
Q MN 为直径的圆过点A 0AM AN ∴•=u u u u r u u u r
，2271640m km k ∴++=，
2
7
m k ∴=-或2m k =-都满足0∆>，……………………10分
若2m k =-直线l 恒过定点(2,0)不合题意舍去， 若27m k =-
直线l ：2y k(x )7=-恒过定点2
(,0)7。

………………13分 22．解析：（Ⅰ）f (1)f (1)-=Q ，∴1a 2a 1-=++ ①
又11f ()f ()a a -=，∴11
112a a
-
=++，即1a 2a a 1-=++ ② 由①②得1a =，a 1∴=±．又a 1=Q 时，①、②不成立，故a 1∴=-．------2分 ∴3
2
()g x x bx cx =-++，设x 1、x 2是函数()g x 的两个极值点，则x 1、x 2是方程
/2()32g x x bx c =-++=0的两个根，24120()b c c ∆=+>为正整数，
∴x 1+x 2=23b ，又∵ A ．O 、B 三点共线， 321111x bx cx x -++∴=32
222
2
x bx cx x -++，
∴1212()[()]x x x x b --++=0，又∵x 1≠x 2，∴b= x 1+x 2=23
b
，∴b=0． ----------------6分 （
Ⅱ
）
x ≥Q 时
，
min ()2
f x =，
-----------------------7分 由/
2
()30g x x c =-+=
得x =()g x
在
上单调递增，在)+∞ 上
单
调
递
减
，
()g x g ===极大值 ---------------------9分
①由12≤<得3,c <c ∴的值为1或2．（∵c 为正整数） -----------------11
分
1>时，记()g x
在x ∈上切线斜率为2的切点的横坐标为0x ， 则由/2
()32g x x c =-+=
得0x =
00()()g x f x <， 3200002
2,2,2,3
c x cx x x c c -∴-+<∴>-∴
>-得2,c <与3c >矛盾． （或构造函数()()2h x x g x =-在1x ≥上恒正）
综上，所求c 的值为1或2． -----------------------13分。