24.2.1 点和圆的位置关系(2)
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人教版九年级上册
点 与 圆 的 位 置 关 系
点P在圆内 点P在圆上 点P在圆外
d<r
P
d=r
O
P
d>r
r
·
P
A
三 角 形 的 外 接 圆
不在同一直线上的三点确定一个圆
外心：三边垂直平分线的交点
外心性质：到三个顶点的距离相等 外心规律
C O B O C A O B
A
A
C
B
例 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求 △ABC的外接圆半径。
E A O
D
B
C
问题：经过同一条直线l上的三点能作出一个 P 圆吗？
如图，假设过同一 直线l上的三点A、B、C 能作出一个圆。 l1 l2
A
B
C
l
设这个圆的圆心为P，则点P在线段AB和线段BC 的垂直平分线l1、l2上，即点P是l1、l2的交点，并 且l1⊥l，l2⊥l,这与“过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直”矛盾。 所以，过同一直线上的三点不能作圆。
A
A
B
B
A
B
B
D
C
D
C
D
C
D
C
解：过点A作AD⊥BC于D，由AB=AC 知外接圆的圆心在AD上，记为O,故 BD=1/2 BC=6，连接OB.设OA=OB=x.B
AD AB2 BD2 102 62 8 OD AD OA 8 x
A
O D C
由BD2+OD2=OB2得，62+(8-x)2=x2
25 解得 x 4 25 即外接圆的半径为 . 4
归纳上面证明方法的步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得
出矛盾； （3）由矛盾断定假设不成立，从而得到原 命题成立。
4、如图，已知AB、CD是⊙O的两条非直径
弦，相交于点P.求证：AB与CD不能互相平 分。
D B
P
O
A
C
问题：任意四个点是不是可以作一个圆？请 举例说明. 1. 四点在一条直线上不能作圆； 2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上 不能作圆； 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能 作不出一个圆. A
1、如图，已知Rt△ABC中∠C=900，若 AC=12cm，BC=5cm，求△ABC的外接圆半径。
C
B A
2、如图，已知等边三角形ABC中，边长为
6cm，求它的外接圆半径。
A O
B D E C
3、如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
AD与三角形的外接圆交于点D，连接BD，求
证：DB=DC.
点 与 圆 的 位 置 关 系
点P在圆内 点P在圆上 点P在圆外
d<r
P
d=r
O
P
d>r
r
·
P
A
三 角 形 的 外 接 圆
不在同一直线上的三点确定一个圆
外心：三边垂直平分线的交点
外心性质：到三个顶点的距离相等 外心规律
C O B O C A O B
A
A
C
B
例 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求 △ABC的外接圆半径。
E A O
D
B
C
问题：经过同一条直线l上的三点能作出一个 P 圆吗？
如图，假设过同一 直线l上的三点A、B、C 能作出一个圆。 l1 l2
A
B
C
l
设这个圆的圆心为P，则点P在线段AB和线段BC 的垂直平分线l1、l2上，即点P是l1、l2的交点，并 且l1⊥l，l2⊥l,这与“过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直”矛盾。 所以，过同一直线上的三点不能作圆。
A
A
B
B
A
B
B
D
C
D
C
D
C
D
C
解：过点A作AD⊥BC于D，由AB=AC 知外接圆的圆心在AD上，记为O,故 BD=1/2 BC=6，连接OB.设OA=OB=x.B
AD AB2 BD2 102 62 8 OD AD OA 8 x
A
O D C
由BD2+OD2=OB2得，62+(8-x)2=x2
25 解得 x 4 25 即外接圆的半径为 . 4
归纳上面证明方法的步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得
出矛盾； （3）由矛盾断定假设不成立，从而得到原 命题成立。
4、如图，已知AB、CD是⊙O的两条非直径
弦，相交于点P.求证：AB与CD不能互相平 分。
D B
P
O
A
C
问题：任意四个点是不是可以作一个圆？请 举例说明. 1. 四点在一条直线上不能作圆； 2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上 不能作圆； 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能 作不出一个圆. A
1、如图，已知Rt△ABC中∠C=900，若 AC=12cm，BC=5cm，求△ABC的外接圆半径。
C
B A
2、如图，已知等边三角形ABC中，边长为
6cm，求它的外接圆半径。
A O
B D E C
3、如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
AD与三角形的外接圆交于点D，连接BD，求
证：DB=DC.