【精选3份合集】2017-2018年常德市九年级上学期数学期末调研试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的对称轴是（）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝0
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【详解】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1．故选B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象．
2．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝﹣k
x
（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：当k＞0时，反比例函数的系数﹣k＜0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；
当k＜0时，反比例函数的系数﹣k＞0，所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限．
故选：A．
3．下列说法错误的是（）
A．必然事件的概率为1 B．心想事成，万事如意是不可能事件
C．平分弦（非直径）的直径垂直弦D162
【答案】B
【分析】逐一对选项进行分析即可．
【详解】A. 必然事件的概率为1，该选项说法正确，不符合题意；
B. 心想事成，万事如意是随机事件，该选项说法错误，符合题意；
C. 平分弦（非直径）的直径垂直弦，该选项说法正确，不符合题意；
D. 16的平方根是2±，该选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查命题的真假，掌握随机事件，垂径定理，平方根的概念是解题的关键．
4．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE//BC，若AD＝2，DB＝1，AC＝6，则AE等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到AE的长．
【详解】解：∵DE//BC
∴AE：AC＝AD：AB，
∵AD＝2，DB＝1，AC＝6，
∴
2 621 AE
=
+
，
∴AE＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
5．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（）
A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm
【答案】B
【解析】试题分析：解：如图：
根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF=EF=30cm
∴，
∴
∴CD=72cm，
∵tanα=
∴
∴AD==180cm．
故选B．
考点：解直角三角形的应用.
6．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（）
A．
3
2
y x
=-B．
2
3
y x
=-C．
3
2
y x
=D．
2
3
y x
=
【答案】A
【分析】根据待定系数法求解即可．【详解】解：设函数的解析式是y＝kx，
根据题意得：2k＝﹣3，解得：k＝﹣3
2
．
故函数的解析式是：y＝﹣3
2 x．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．
7．下列说法正确的是（）
A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过三点一定可以作圆
C．平分弦的直径垂直于弦D．每个三角形都有一个外接圆
【答案】D
【分析】根据圆的切线的定义、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆的定义逐项判断即可．
【详解】A、垂直于半径且与圆只有一个交点的直线是圆的切线，此项说法错误
B 、不在同一直线上的三点一定可以作圆，此项说法错误
C 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，此项说法错误
D 、每个三角形都有一个外接圆，此项说法正确
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆的切线的定义、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆的定义，熟记圆的相关概念和定理是解题关键．
8．如图，在ABC 中，若2//,,43
AD DE BC DE cm DB ==，则BC 的长是（ ）
A ．7cm
B ．10cm
C ．13cm
D ．15cm
【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，先算出
25AD AB =，可得25DE BC =，根据DE 的长即可求得BC 的长． 【详解】解：∵23AD DB =， ∴25
AD AB =， ∵//DE BC ，
∴25AD DE AB BC ==， ∵4DE cm =，
∴BC 10cm =．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意求得25
AD AB =是解题的关键． 9．关于二次函数y ＝x 2+4x ﹣5，下列说法正确的是（ ）
A ．图象与y 轴的交点坐标为（0，5）
B ．图象的对称轴在y 轴的右侧
C ．当x ＜﹣2时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．图象与x 轴的两个交点之间的距离为5
【答案】C
【分析】通过计算自变量为0的函数值可对A 进行判断；利用对称轴方程可对B 进行判断；根据二次函数的性质对C 进行判断；通过解x 2+4x ﹣5＝0得抛物线与x 轴的交点坐标，则可对D 进行判断．
【详解】A 、当x ＝0时，y ＝x 2+4x ﹣5＝﹣5，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣5），所以A 选项错误；
B 、抛物线的对称轴为直线x ＝﹣42
＝﹣2，所以抛物线的对称轴在y 轴的左侧，所以B 选项错误； C 、抛物线开口向上，当x ＜﹣2时，y 的值随x 值的增大而减小，所以C 选项正确；
D 、当y ＝0时，x 2+4x ﹣5＝0，解得x 1＝﹣5，x 2＝1，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），两交点间的距离为1+5＝6，所以D 选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．若角αβ，都是锐角，以下结论：①若αβ<，则sin sin αβ<；②若αβ<，则cos cos αβ<；③若αβ<，则tan tan αβ<；④若90αβ+=，则sin cos αβ=.其中正确的是( )
A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②③④ 【答案】C
【分析】根据锐角范围内sin α 、cos α 、tan α 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得．
【详解】①∵sin α随α 的增大而增大，正确；
②∵cos α随α 的增大而减小，错误；
③∵tan α随α 的增大而增大，正确；
④若90αβ+=，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得sin cos αβ=，正确；
综上所述，①③④正确
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了锐角的正余弦函数，掌握锐角的正余弦函数的增减性以及互余锐角的正余弦函数间的关系是解题的关键．
11．用配方法解方程240x x +=,下列配方正确的是（ ）
A ．()220x +=
B ．()2
20x -= C ．()224x +=
D ．()224x -= 【答案】C
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．
【详解】解： 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方22，
2224+20+2x x +=，
∴2
(2)4x +=；
故选：C ．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12．在平面直角坐标系中，点（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A ．(2，-6)
B ．(-2，6)
C ．(-6，2)
D ．(-6，2) 【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点A （-2，6）关于原点对称的点的坐标是（2，-6），
故选：A ．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．已知，P 为等边三角形ABC 内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则S △ABC ＝_____．
【答案】253364
【分析】将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，根据旋转的性质得BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°，在△AEP 中，AE ＝5，延长BP ，作AF ⊥BP 于点F ，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，即可得到∠APB 的度数，在Rt △APF 中利用三角函数求得AF 和PF 的长，则在Rt △ABF 中利用勾股定理求得AB 的长，进而求得三角形ABC 的面积．
【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，
∴BA ＝BC ，
可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，
连EP ，且延长BP ，作AF ⊥BP 于点F ．如图，
∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，
∴△BPE 为等边三角形，
∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°，
在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4，
∴AE 2＝PE 2+PA 2，
∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，
∴∠APB ＝90°+60°＝150°．
∴∠APF ＝30°，
∴在直角△APF 中，AF ＝12AP ＝32，PF ＝32
AP ＝332． ∴在直角△ABF 中，AB 2＝BF 2+AF 2＝（4+
332）2+（32）2＝25+123． ∴△ABC 的面积＝3AB 2＝3（25+123）＝25336+； 故答案为：25336+． 【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
14．若点A(m ，n)是双曲线2y x
=
与直线3y x =--的交点，则22m n +=_________． 【答案】5
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，得出m ，n 的值，即可解决本题. 【详解】解：联立两函数解析式：23
⎧=⎪⎨⎪=--⎩y x y x ， 解得：11
12x y =-⎧⎨=-⎩或2221=-⎧⎨=-⎩x y ， 当1,2m n =-=-时，()()22
22125+=-+-=m n ，
当2,1m n =-=-时，()()2222215+=-+-=m n ，
综上，22m n +=5，
故答案为5.
【点睛】
本题是对反比例函数和一次函数的综合考查，熟练掌握反比例函数及解一元二次方程知识是解决本题的关键.
15．如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为x m，由题意列得方程____________
【答案】（30-2x）（20-x）=6×1．
【解析】解：设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m．
可列方程（30-2x）（20-x）=6×1．
16．已知抛物线y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x＝2的两侧，则k的取值范围是_____．
【答案】
1
2 k
【分析】由抛物线y＝x2+2kx﹣6可得抛物线开口方向向上,根据抛物线与x轴有两个交点且这两个交点分别在直线x＝2的两侧可得:当x=2时,抛物线在x轴下方,即y＜1.
【详解】解：∵y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点,两个交点分别在直线x＝2的两侧,
∴当x＝2时,y＜1．
∴4+4k﹣6＜1
解得：k＜1
2
；
∴k的取值范围是k＜1
2
,
故答案为：k＜1
2
．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象的性质. 17．已知O的半径3,
cm点P在O内,则OP_________3cm（填>或=，<）
【答案】<
【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解.
【详解】解：O的半径为3,
cm
点P在O内，
3
OP cm
∴<．
故答案为:<．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系.
18．抛物线221y x x =-+-在对称轴_____（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．
【答案】右侧
【解析】根据二次函数的性质解题．
【详解】解：∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，
故答案为：右侧．
点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线2y mx 2=+以及两点()A 3,m -和()B 1,m .
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若该抛物线经过点()A 3.m -，求此抛物线的表达式;
(3)若该抛物线与线段AB 只有一个公共点，结合图象，求m 的取值范围.
【答案】（1）（0,2）；（2）21y x 24=-
+；（3）m=2或1m 4≤-. 【分析】（1）2mx 2y =+是顶点式，可得到结论；
（2）把A 点坐标代入2
mx 2y =+得方程，于是得到结论；
（3）分两种情况：当抛物线开口向上或向下时，分别画出图形，找到临界位置关系，求出m 的值，再进行分析变化趋势可得到结论． 【详解】（1）2mx 2y =+是顶点式，顶点坐标为,2（0）；
（2）∵抛物线经过点()3.A m -，
∴m=9m +2，
解得： 1m 4
=- ，
∴21y x 24=-+ (3)如图1，当抛物线开口向上时，抛物线顶点在线段AB 上时，m 2= ；
当m>2时，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B 上方，所以此时线段AB 与抛物线一定有两个交点，不符合题意；
如图2，当抛物线开口向下时，抛物线顶过点A 时，1m 4=-
； 直线x=-3交抛物线于点（-3，9m+2）,当1m<4
-时，9m+2<m ，交点位于点A 下方，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B 上方，所以此时线段AB 与抛物线一定有且只有一个交点，符合题意； 综上所述，当m 2=或1m 4
≤- 时，抛物线与线段AB 只有一个公共点.
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考虑特殊情况是关键，考查了数形结合的数学思想． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx+6经过点A （﹣3，0）和点B （2，0），直线y ＝h （h 为常数，且0＜h ＜6）与BC 交于点D ，与y 轴交于点E ，与AC 交于点F ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE ，求h 为何值时，△AEF 的面积最大．
（3）已知一定点M （﹣2，0），问：是否存在这样的直线y ＝h ，使△BDM 是等腰三角形？若存在，请求出h 的值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣x+1；（2）当h ＝3时，△AEF 的面积最大，最大面积是 94．（3）存在，当h ＝105
时，点D的坐标为（10210
5
-
，
610
5
）；当h＝
12
5
时，点D的坐标为（
6
5
，
12
5
）．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意可得点E的坐标为（0，h），点F的坐标为（
6
2
h-
，h），根据S△AEF＝
1
2
•OE•FE＝
1
2
•h•
6
2
h
-
＝﹣1
4
（h﹣3）2+
9
4
．利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）存在．分两种情形情形，分别列出方程即可解决问题．【详解】解：如图：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴
9360 4260 a b
a b
-+=
⎧
⎨
++=
⎩
，
解得：
1
1 a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+1．
（2）∵把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+1，得y＝1，∴点C的坐标为（0，1），
设经过点A和点C的直线的解析式为y＝mx+n，则
30
6
m n
n
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
m2 n6
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴经过点A和点C的直线的解析式为：y＝2x+1，∵点E在直线y＝h上，
∴点E的坐标为（0，h），
∴OE＝h，
∵点F在直线y＝h上，
∴点F的纵坐标为h，
把y＝h代入y＝2x+1，得h＝2x+1，
解得x ＝62
h -， ∴点F 的坐标为（
62h -，h ）， ∴EF ＝62
h -． ∴S △AEF ＝
12•OE •FE ＝12•h •62h -＝﹣14（h ﹣3）2+94， ∵﹣14
＜0且0＜h ＜1， ∴当h ＝3时，△AEF 的面积最大，最大面积是
94 ． （3）存在符合题意的直线y ＝h ．
∵B （2，0），C （0，1），
∴直线BC 的解析式为y ＝﹣3x+1，设D （m ，﹣3m+1）．
①当BM ＝BD 时，（m ﹣2）2+（﹣3m+1）2＝42，
解得m （舍弃），
∴D （105-，5），此时h ＝5
． ②当MD ＝BM 时，（m+2）2+（﹣3m+1）2＝42，
解得m ＝
65
或2（舍弃）， ∴D （65，125），此时h ＝125．
∵综上所述，存在这样的直线y ＝5或y ＝125，使△BDM 是等腰三角形，当h ＝5
时，点D 的坐
标为（105-，5
）；当h ＝125时，点D 的坐标为（65，125）． 【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理一次函数的应用等知识，此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
21．用适当的方法解方程：2230x x +-=．
【答案】13x =-，21x =
【分析】根据因式分解法即可求解.
【详解】解： 2x +2x-3=0
(x+3)(x-1)=0
x+3=0或x-1=0
13
x=-，
21
x=.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法解方程.
22．如图，△ABC的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求在此变换过程中，点A到达A1的路径长．
【答案】（1）画图见解析；（2）点A到达A1的路径长为π10．
【分析】（1）根据旋转的定义分别作出点A，B，C绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）点A到达A1的路径是以O为圆心，OA为半径的半圆，据此求解可得．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）∵OA22
1+310，
∴点A到达A1的路径长为1
2
10＝10．
【点睛】
本题考查利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG ＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
【答案】 (1)证明见解析；(2)矩形ABCD的面积为32)．
【解析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD.
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB2222
--
＝3(cm)，
DB DC
84
∴矩形ABCD的面积为33(cm2)．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE
（Ⅰ）求证：AE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的长．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）4. 【详解】（Ⅰ）证明：连结OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO ，
∵OA=OD，
∴∠OAD＝∠ADO ，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴OA∥CE，
∵AE⊥CD，
∴AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线；
（Ⅱ）∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BDE＝120°，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OD=1
2 BD，
在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60°，
∴AD=cos 60
DE ︒= 2， ∴BD=4.
25．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？
【答案】6【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(a ≠0).
∵图象经过点（2，-2），
∴-2=4a ，
解得：12a =-
. ∴212
y x =-. 当y=-3时，6x =答：当水面高度下降1米时，水面宽度为26.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．
26．先化简，再求值：21(1)x x x x -⎛⎫-÷-
⎪⎝⎭，其中x ＝1． 【答案】1x x -，54
． 【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝()
()211x x x --÷ ＝()()211x
x x --
＝1x x
-， 当x ＝1时，原式＝
55514=-． 【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，比较简单，记住先化简再求值.
27．如图，抛物线y=ax 2+bx+4(a ≠0)与x 轴交于点B (－3 ，0) 和C (4 ，0)与y 轴交于点A ．
(1) a = ，b = ；
(2) 点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 运动，同时，点N 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BC 向C 运动，当点M 到达B 点时，两点停止运动．t 为何值时，以B 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形？
(3) 点P 是第一象限抛物线上的一点，若BP 恰好平分∠ABC ，请直接写出此时点P 的坐标．
【答案】（1）1
3-，13；(2)52530,,21111
t =；(3)511(,)24 【解析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）分三种情况：①当BM=BN 时，即5-t=t ，②当BM=NM=5-t 时，过点M 作ME ⊥OB ，因为AO ⊥BO ，
所以ME ∥AO ，可得：
BM BE BA BO =即可解答；③当BE=MN=t 时，过点E 作EF ⊥BM 于点F ，所以BF=12BM=12（5-t ），易证△BFE ∽△BOA ，所以BE BF BA BO =即可解答； （3）设BP 交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，因为BP 恰好平分∠ABC ，所以OG=GH ，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG ，在Rt △AHG 中，由勾股定理得：OG=
32，设出点P 坐标，易证△BGO ∽△BPD ，所以BO GO BD PD
=，即可解答. 【详解】解：解：（1）∵抛物线过点B (－3 ，0) 和C (4 ，0)，
∴934016440a b a b -+⎧⎨++⎩
＝＝ ， 解得：1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
； （2）∵B (－3 ，0)，y=ax 2+bx+4，∴A(0，4)，0A=4，OB=3，
在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB=5，
t 秒时，AM=t ，BN=t ，BM=AB-AM=5-t ，
①如图：当BM=BN 时，即5-t=t ，解得：
t=52 ; , ②如图，当BM=NM=5-t 时，过点M 作ME ⊥OB ，因为BN=t ，由三线合一得：BE=12BN=12
t ，又因为AO ⊥BO ，所以ME ∥AO ，所以BM BE BA BO =，即15-253
t t = ，解得：t=3011；
③如图：当BE=MN=t 时，过点E 作EF ⊥BM 于点F ，所以BF=12BM=12
（5-t ），易证△BFE ∽△BOA ，所以BE BF BA BO =，即5t 253
t -= ，解得：t=2511 .
(3)设BP 交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，因为BP 恰好平分∠ABC ，所以OG=GH ，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG ，在Rt △AHG 中，由勾股定理得：OG=32，设P （m ，-13m 2+13
m+4），因为GO ∥PD ，∴△BGO ∽△BPD ，∴BO GO BD PD = ，即2332
113+433m m m =-++ ，解得：m 1=52
，m 2=-3(点P 在第一象
限，所以不符合题意，舍去)，m1=5
2
时，-
1
3
m2+
1
3
m+4=
11
4
故点P的坐标为
511
(,)
24
【点睛】
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，还考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质和判定.。