函数的极值与导数

设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义
若x0满足1. f/(x)=0. 2.在x0的两侧的导数异号,满足“左正右 负”,
y
f(x0)0
f(x)0 f(x)0
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oa
x0 b
x
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你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？
x<2 x=2
f ’(x) -
0
f (x) 单调递减 f (2)
x>2
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f (x)为常数.
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2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域;
②求函数的导数 f/（x） ;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间;
解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调 递减区间.
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复习回顾：
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例y 2
1 x
x
导函数的正负是 交替出现的吗？
解 ： f(x)=1x,所 以 x0
x f '(x)x12 1x2x21，f'(x)0时 ， x1
不是
当 x 变 化 时 ， f ' ( x ) , f ( x ) 变 化 如 下 表
x X<-1 -1 (-1,0) （0，1） 1 X>1
不是该函数的极值点.
f (x)x3
Ox
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
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例题讲解
例、求函数 f(x)1x34x4的极值． 3
解： y x 2 4 (x 2 )x ( 2 )令 y 0，解得 x12,x22
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断
f(x)在这个根处取极值的情况
x0
若f 若f
’’((xx００))左左正负右右负正，，则则ff((xx００))为为极极大小值值；+
-
+
-
求导—求极点—列表—求极值
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x 18
0
练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ② 。
1.函数的单调性与导数的关系：
一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,
如果在 这个区间内f/（x） >0,那么函数y=f(x) 为这个区
间内的增函数;
如果在这个区间内f/（x）<0,那么函数y=f(x) 为这个区
间内的减函数.
y
y
y=f(x)
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
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分析讨论：函数在x=0附近的变化 规律：
f ’(0)＝0
你 能 尝 试 给 出 极 大 值 的 定 义 吗 ？
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单调递增
f ’(x)>0
x
x<0
f ’(x)
+
f (fx()x) 单调递增
单调递减 f ’(x)<0
极大 值点
x=0 x>0
0
-
f (0)
单调递减
极大
值
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【函数极大值的定义】
1.3.2 函数的极值与导数
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目标引领：
1、利用上节课导数的单调性作铺垫, 借助函数图形的直观性探索归纳出导数 的极值定义,利用定义求函数的极值. 2、感受导数在研究函数性质中一般性 和有效性，通过学习体会极值是函数的 局部性质，增强数形结合的思维意识。
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复习回顾：
f '( x ) +
0
-
-
0
+
f (x)
极大值
极小值
所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的
极小值是2
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求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成
若干个开区间，并列成表格
当x变化时，y, y 的变化情况如下表：
x ( ,2) -2
(-2,2)
2
(2,)
y +
0
—
0
+
y
极大值 28 3
极小值 4 3
当 x2时，y有极大值，并且
y极
大
值
28 3
当 x2
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时，y有极小值，并且
y极小值
4 3
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【求函数极值的步骤】
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0 （3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0 的根的左右两侧的符号，进而确定函 数的极值点与极值.
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例1.（1）下图是函数的图象,试找出函数的极值点, 并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
（2）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是 极大值点,哪些是极小值点?
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思考4：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？ 导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？
y
f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0
①可导函数必有极值；
如y x3
②可导函数在极值点的导数一定等于零；
③函数的极小值一定小于极大值
+
单调递增
x<2 x=2 x>2 极小 值
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极小 值点
你 能 尝 试 给 出 极 大 值 的 定 义 吗 ？
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【函数极小值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义
若x0满足1. f/(x)=0. 2.在x0的两侧的导数异号,满足“左负右 y 正”,
f(x)0
f(x)0
f(x0)0
观3察、画已出知的函图数象f(，x)回=2答x3下-6面x2+7，求f(x)的单调 问区题间：,并画出其图象;
问题1：在点x=0附近的图象

有什么特点？
问题2：函数在x=0处的函数
值和附近函数值之间有什么
关系？
问题3：在点x=0附近的导数
符号有何变化规律？
问题4：函数在x=0处的导数
是多少？
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【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况;
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。
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o a X0
bx
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
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思考3、观察图1.3.10，回答以下问题： 问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极 大值点，哪些点为极小值点？
问题2：极大值一定大于极小值吗？ 问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具 有唯一性吗？
问题4：区间的端点能成为极值点吗？ 问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？