北京市东城区学年高二上学期期末检测数学试题解析版

北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学
试题（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.
已知复数为虚数单位，在复平面内对应的点在第二象限，那z =(1+x)+i(i x ∈R)么x 的取值范围是
()A.
B. C. D.
x <−1−1<x <0x <00<x <1【答案】A
【解析】解：复数为虚数单位，在复平面内对应的点在第二象z =(1+x)+i(i x ∈R)限，
则，解得． 1+x <0x <−1那么x 的取值范围是． x <−1故选：A ．
利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．
本题考查了复数的运算法则及其几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.
已知，，那么下列不等式中一定成立的是
a <0
b >0()A.
B. C.
D.
b−a <0|a|>|b|a 2<ab 1
a <1
b 【答案】D
【解析】解：若，，则， a <0b >0−a >0则，故A 错误， b−a >0不一定成立， |a|>|b|，则C 不成立，
a 2>a
b ，，则，成立，故D 正确，
1a <01b >01a <1b
故选：D ．
根据a ，b 飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．
本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础． . 3.
已知等差数列的前15项和，那么等于
{a n }S 15=45a 4+a 12()A. 6
B. 10
C. 12
D. 15
【答案】A
【解析】解：等差数列的前15项和， ∵{a n }S 15=45， ∴S 15=
152(a 1+a 15)=15
2
(a 4+a 12)=45
解得． a 4+a 12=6故选：A ． 推导出，由此能求出的值． S 15=
152(a 1+a 15)=15
2
(a 4+a 12)=45a 4+a 12本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.
i 是虚数单位，复数等于
2i
1−i ()A.
B. C. D.
−1−i −1+i 1−i 1+i 【答案】B
【解析】解：． 2i 1−i =2i(1+i)
(1−i)(1+i)=−2+2i
2
=−1+i 故选：B ．
直接利用复数的除法运算进行化简计算．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题． 5.
已知椭圆的一个焦点是，那么实数
x 2
k +y 2=1(2,0)k =()A.
B. C. 3 D. 5
35【答案】D
【解析】解：因为椭圆的一个焦点是，
x 2
k +y 2=1(2,0)所以， k >1所以， k−1=4． k =5故选：D ．
通过椭圆的焦点，确定，利用a ，b ，c 的关系，求出k 的值即可． k >1本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题． 6.
已知为数列的前n 项和，，，那么
S n {a n }a 1=−2a n +1=S n a 5=()A.
B. C. D.
−4−8−16−32【答案】C
【解析】解：时，，，可得：，化为n ≥2a n +1=S n a n =S n−1a n +1−a n =a n a n +1=2．
a n 时，．
n =1a 2=a 1=−2数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为． ∴{a n }−2那么． a 5=−2×23=−16故选：C ．
利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7.
“直线平面”是“直线在平面外”的
l//αα()A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：“直线l 与平面平行”“直线l 在平面外”
α⇒α“直线l 在平面外”则直线l 与平面平行或相交，故“直线l 在平面外”不能推出ααα“直线l 与平面平行”
α故“直线l 与平面平行”是“直线l 在平面外”的充分非必要条件 αα故选：A ．
根据直线l 在平面外则直线l 与平面平行或相交可判定“直线l 与平面平行”与ααα“直线l 在平面外”的关系．
α本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，同时考查了分析问题的能力，属于基础题． 8.
已知为直线l 的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列
⃗
v ⃗n 1⃗n 2αβ(α,β)说法中：
；；；正确的有 ①⃗n 1
//⃗n
2
⇔α//β②⃗n 1
⊥⃗n 2
⇔α⊥β③⃗v //⃗n 1
⇔l//α④⃗v ⊥⃗n 1
⇔l ⊥α.(
)A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】解：平面，不重合；
∵αβ平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直； ∴αβ()αβ()正确；
∴①②直线l 的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l 垂直平行于平面； ()α()α都错误． ∴③④故选：B ．
可以想象图形即可判断每个说法的正误． 考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念．
9.
三棱柱的侧棱与底面垂直，ABC−A 1B 1C 1A A 1
，，N 是BC 的中点，点P 在=AB =AC =1AB ⊥AC A 1上，且满足，当直线PN 与平面ABC 所成
B 1⃗A 1P =λ⃗A 1B 1的角取最大值时，的值为
λ()
A. 1
2B. 2
2C. 32D.
255
【答案】A
【解析】解：如图，以AB ，AC ，分别为x ，y ，z A A 1轴，建立空间直角坐标系， A−xyz 则0，，， P(λ,1)⃗PN =(12−λ,12,−1)平面ABC 的一个法向量为0，
⃗n =(0,1)，
∴sin θ=
|⃗PN ⋅⃗n
||⃗PN
|⋅|⃗n
|
=
1(λ−1
2)2+5
4
当时，，此时角最大为∴λ=1
2(sin θ)max =
25
5
θarcsin ． 25
5
故选：A ．
建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．
本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 (20)
，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列2021202122的前50项和为
()A. 1044
B. 1024
C. 1045
D. 1025
【答案】A
【解析】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：第一组：， 20第二组：，， 2021第三组：，，， 202122
…第k 组：，，，，， 202122…2k−1根据等比数列前n 项和公式，
求得每项和分别为：，，，，， 21−122−123−1…2k −1每项含有的项数为：1，2，3，，k ，
…
总共的项数为， N =1+2+3+…+k =(1+k)k
2
当时，
， k =9(1+k)k
2
=45故该数列的前50项和为S 50=21−1+22−1+23−1+…+29． −1+1+2+4+8+16=2(1−29)
1−2
−9+31=1044故选：A ．
将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，20202120，，第k 组：，，，，，根据等比数列前n 项和公式，能求出该数2122…202122…2k−1列的前50项和．
本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 11. 命题，的否定是______． ∀x ∈R x 2−x +3>0【答案】，
∃x ∈R x 2−x +3≤0【解析】解：原命题为：， ∀x ∈R x 2−x +3>0原命题为全称命题
∵其否定为存在性命题，且不等号须改变 ∴原命题的否定为：， ∴∃x ∈R x 2−x +3≤0故答案为：，
∃x ∈R x 2−x +3≤0根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定
本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：“若A ，则B ”的否(1)定为“若，则”；全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称￢A ￢B (2)命题；切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题本题考查第二种形式，属简(3).单题
12. 当且仅当______时，函数取得最小值． x =y =4x +1
x (x >0)【答案】
1
2【解析】解：由于，由基本不等式可得， x >0y =4x +1
x ≥24x ⋅1
x =4当且仅当，即当时，等号成立． 4x =1
x (x >0)x =1
2故答案为：．
1
2利用基本不等式时，等号成立，即时，得出x 的值．
4x =1
x (x >0)本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正、二定、三相等”，考查计算能力，属于基础题．
13. 已知抛物线C 的顶点在原点，准线方程为，则抛物线C 的标准方程为
y =−2______． 【答案】
x 2=8y 【解析】解：由题意可设抛物线C 的方程为，， x 2=2py (p >0)准线方程为，，解得． ∵y =−2∴−p
2=−2p =4抛物线C 的标准方程为． ∴x 2=8y 故答案为：．
x 2=8y 由题意可设抛物线C 的方程为，，由已知准线方程为可解得x 2=2py (p >0)y =−2p ，则抛物线方程可求．
本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题．
14. 不等式的解集为______． x−1
x−3≤0【答案】
[1,3)【解析】解：不等式等价为，
{(x−1)(x−3)≤0
x−3≠0即，即， {1≤x ≤3
x ≠31≤x <3则不等式的解集为， [1,3)故答案为：．
[1,3)将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．
本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．
15. 已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两
F 1F 2F 1点，若是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______． △AB F 2【答案】
3
3
【解析】解：是正三角形， ∵△AB F 2，
∴∠A F 2B =60∘直线AB 与椭圆长轴垂直，
∵是正三角形的高，∴F 2F 1△AB F 2∠A F 2F 1=1
2×，
60∘=30∘中，设，Rt △A F 2F 1|A F 1|=m sin 30∘=|AF 1|
|AF 2
|=1
2
，
，
∴|A F 2|=2m |F 1F 2|=|AF 2|2−|AF 1|2=3m 因此，椭圆的长轴，焦距 2a =|A F 1|+|A F 2|=3m 2c =3m 椭圆的离心率为．
∴e =c
a =2c
2a =33
故答案为：
3
3
根据是正三角形，且直线AB 与椭圆长轴垂直，得到是正三角形△AB F 2F 2F 1△AB F 2的高，在中，设，可得，所以∠A F 2F 1=30∘.Rt △A F 2F 1|A F 1|=m |AF 1|
|AF 2
|=1
2|A F 2|=2m
，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴，焦距|F 1F 2|=3m 2a =|A F 1|+|A F 2|=3m ，所以椭圆的离心率为．
2c =3m e =2c
2a =
33
本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率着.重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
16. 如图所示，四棱锥中，底面ABCD ，
P−ABCD PD ⊥底面ABCD 是边长为2的正方形，，E 是棱PD =2PB 的中点，M 是棱PC 上的动点，当直线PA 与直线EM 所成的角为时，那么线段PM 的长度是60∘______． 【答案】
344
【解析】
解：如图建立空间直角坐标系， 则0，，0，，2，， A(2,0)P(0,2)B(2,0)，
∴⃗AP =(−2,0,2)是棱PB 的中点，1，， ∵E ∴E(1,1)设m ，，则，
M(0,m)⃗EM =(−1,m−1,m−1)
|cos <⃗AP ,⃗EM >|=|
⃗AP ⋅⃗
EM
|⃗AP ||⃗EM
|
|=，
|2+2(m−1)|221+2(m−1)
2
=1
2解得， m =3
4， ∴M(0,34,3
4)， ∴PM =
916+25
16=344
故答案为：．
344
建立空间直角坐标系，易得各点坐标，设出点M 的坐标，可得向量，代入异面直
⃗AP ,⃗
EM 线所成角公式可得点M 的坐标，问题得解．
此题考查了异面直线所成角，空间坐标系等，难度适中．
三、解答题（本大题共4小题，共36.0分） 17. 等差数列中，，．
{a n }a 3=6a 5=10Ⅰ求数列的通项公式；
(){a n }Ⅱ若，分别是等比数列的第4项和第5项，试求数列的通项公式． ()a 4a 8{b n }{b n }【答案】解：Ⅰ在等差数列中，由，， (){a n }a 3=6a 5=10得， d =
a 5−a 35−3
=
10−6
2
=2；
∴a n =a 3+2(n−3)=6+2n−6=2n Ⅱ在等比数列中，有，， (){b n }b 4=a 4=8b 5=a 8=16公比，
∴q =b 5
b 4
=2则．
b n =b 4q n−4=8⋅2n−4=2n−1【解析】Ⅰ在等差数列中，由已知求得d ，代入等差数列的通项公式即可； (){a n }Ⅱ在等比数列中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的(){b n }通项公式得答案．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题．
18. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线C 经过点．
P(3,6)Ⅰ求抛物线C 的标准方程；
()Ⅱ经过抛物线C 的焦点且斜率为2的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，求线段()AB 的长．
【答案】解：Ⅰ由题意设抛物线C 的标准方程为， ()y 2=2px 其图象经过点， P(3,6)则， 62=6p 解得，
p =6抛物线C 的标准方程为；
∴y 2=12x Ⅱ抛物线C 的标准方程为，焦点，准线方程为； ()y 2=12x F(3,0)x =−1过焦点且斜率为2的直线l 方程为， y =2(x−3)由，
{
y =2(x−3)
y 2=12x
消去y ，整理得， x 2−9x +9=0由根与系数的关系得，
x 1+x 2=9线段AB 的长为．
∴|AB|=x 1+x 2+p =9+6=15【解析】Ⅰ利用待定系数法求出p 的值，写出抛物线C 的标准方程；
()Ⅱ写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛()物线方程联立，消去y 得关于x 的方程，利用根与系数的关系求得的值，再求x 1+x 2线段AB 的长．
本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，是中档题．
19. 如图，在三棱锥中，底面ABC ，
P−ABC PA ⊥点D ，E 分别为棱PA ，PC 的中点，∠BAC =90∘.M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，
，． PA =AC =4AB =2Ⅰ求证：平面BDE ； ()MN//Ⅱ求直线MN 到平面BDE 的距离； ()Ⅲ求二面角的大小． ()B−DE−P
【答案】证明：Ⅰ在三棱锥中，底面ABC ，点D ，E 分别()P−ABC PA ⊥∠BAC =90∘.
为棱PA ，PC 的中点，
M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，， PA =AC =4．
AB =2以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，
0，，0，，4，， M(0,1)B(2,0)C(0,0)2，，0，，0，， N(1,0)D(0,2)P(0,4)2，，
E(0,2)2，，0，，
⃗MN
=(1,−1)⃗BD =(−2,2)2，，
⃗BE
=(−2,2)设平面BDE 的法向量y ，，
⃗n =(x,z)则，取，得0，， {
⃗n ⋅⃗BD =−2x +2z =0
⃗n ⋅⃗BE
=−2x +2y +2z =0x =1⃗n =(1,1)，平面BDE ， ∵⃗n ⋅⃗MN
=0MN⊄平面BDE ． ∴MN//Ⅱ，0，，
()⃗BM =(−21)直线MN 到平面BDE 的距离：
∴．
d =
|⃗BM ⋅⃗n
|
|⃗n
|
=
1
2
=22
Ⅲ平面BDE 的法向量0，， ()∵⃗n =(1,1)平面DEP 的法向量0，，
⃗m =(1,0)设二面角的大小为，
B−DE−P θ则．
cos θ=|⃗m ⋅⃗n
|
|⃗m
|⋅|⃗n
|=
1
2
=22
．
∴θ=π
4二面角的大小为．
∴B−DE−P π
4
【解析】Ⅰ以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标()系，利用向量法能证明平面BDE ．
MN//Ⅱ求出0，，利用向量法得直线MN 到平面BDE 的距离．
()⃗BM =(−2,1)d =
|⃗BM ⋅⃗n
|
|⃗n
|
Ⅲ求出平面BDE 的法向量和平面DEP 的法向量，利用向量法能求出二面角()的大小．
B−DE−P 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为，离心率为．
223
3Ⅰ求椭圆C 的方程；
()Ⅱ若过点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且P 点平分线段AB ，求直()P(−1,1)线AB 的方程；
Ⅲ一条动直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N ，O 为坐标原点，的面积()△OMN 为求证：为定值． 6
2.|OM |2+|ON |2【答案】解：Ⅰ设椭圆方程为，
()x 2
a 2+
y 2b 2=1(a >b >0)即有，即，，即，
2b =22b =2e =c
a =33
a =3c 由，可得，
a 2−
b 2=
c 2a =3则椭圆方程为；
x 23+y 2
2=1Ⅱ设，，点为AB 的中点，可得 ()A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)P(−1,1)，，
x 1+x 2=−2y 1+y 2=2由，，相减可得
2x 21+3y 21=62x 22+3y 2
2=6， 2(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−3(y 1−y 2)(y 1+y 2)可得， k AB =
y 1−y 2x 1−x 2
=−2(x 1+x 2)
3(y
1+y 2
)
=2
3即有直线AB 的方程为，化为；
y−1=2
3(x +1)2x−3y +5=0Ⅲ证明：设，，则，
()M(x 3,y 3)N(x 4,y 4)|OM |2+|ON |2=x 23+x 24+y 23+y 24当直线l 的斜率不存在时，M ，N 关于x 轴对称，即，， x 3=x 4y 3=−y 4由，的面积为，可得，
x 23
3+
y 232
=1△OMN 62
12⋅|x 3|⋅|2y 3|=
62
即有，，可得； |x 3|=
6
2
|y 3|=1|OM |2+|ON |2=2(3
2+1)=5当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为， y =kx +m(m ≠0)代入椭圆方程，可得， 2x 2+3y 2=6(2+3k 2)x 2+6km +3m 2−6=0可得，，
x 3+x 4=−6km
2+3k 2x 3x 4=
3m 2−62+3k 2
，可得， △=36k 2m 2−12(2+3k 2)(m 2−2)>03k 2+2>m 2，
|MN|=1+k 2(−
6km
2+3k 2)2−4(3m 2
−6)2+3k 2
=1+k
2⋅2
63k 2+2−m 22+3k 2
第11页，共11页O 到直线l 的距离为，
d =|m|
1+k 2则，
S △MNO =12d|MN|=12⋅|m|1+k 2⋅1+k 2⋅263k 2+2−m 2
2+3k 2=6|m|2+3k 2−m 22+3k 2=62化为，
2+3k 2=2m 2即有， x 23+x 24=(x 3+x 4)2−2x 3x 4=(−6km 2+3k 2)2−2⋅3m 2−62+3k 2
=3， y 23+y 24=2(1−x 2
33)+2(1−x 243)=4−23(x 23+x 24)=4−2
3×3=2则，
|OM |2+|ON |2=x 23+x 24+y 23+y 24=5综上可得，为定值5．
|OM |2+|ON |2【解析】Ⅰ设椭圆方程为，由题意可得b ，运用离心率公式和
()x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；
Ⅱ设，，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜()A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)率公式可得AB 的斜率，进而得到所求直线方程；
Ⅲ设，，则，分别讨论直线MN
()M(x 3,y 3)N(x 4,y 4)|OM |2+|ON |2=x 23+x 24+y 23+y 24的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值．
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程的求法和两点距离的平方和为定值的证明，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。