河北省衡水市冀州中学高三数学仿真试卷(二)理(含解析)

2016年河北省衡水市冀州中学高考数学仿真试卷（理科）（二）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10B．12C．14D．16
2．设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）
A． B．2C．3D．
3．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N，则用电量在320度以上的户数估计约为（）
[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.74%]．
A．17B．23C．34D．46
4．给出下列结论：
①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；
②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；
③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分不必要条件．
其中正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）
A．10B．20C．30D．40
6．在边长为1的正方形ABCD中，且=μ， =﹣μ，则•=（）
A．﹣1B．1C．2﹣2μD．2μ﹣1
7．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）
A．2B．4C．6D．8
8．函数的大致图象为（）
A． B． C．
D．
9．不等式组的解集记为D，，有下面四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，z≥1；p2：∃（x，y）∈D，z≥1
p3：∀（x，y）∈D，z≤2；p4：∃（x，y）∈D，z＜0
其中的真命题是（）
A．p1，p2B．p1，p3C．p1，p4D．p2，p3
10．已知抛物线的方程为y2=2px（p＞0），焦点为F，O为坐标原点，A是该抛物线上一点，与x轴的正方向的夹角为60°，若△AOF的面积为，则p的值为（）
A．2B．2C．2或2D．2或
11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）
A．8πB．16πC．32πD．64π
12．若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上．13．（x2﹣x+y）5的展开式中x3y2项的系数等于．（用数字作答）
14．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有．（用数字作答）
15．已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n+1）
=1，则数列{b n}的前32项的和为．
16．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上
存在一点M，使得（+）•=0（其中O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为．
三、解答题：（共5小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣
（1）求sin∠C的值；
（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．
18．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元） 1 2 3 4 5
销售收益y（单位：万
2 3 2 7
元）
表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y 关于x的回归方程．
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =﹣．
19．如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．
（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；
（Ⅱ）当2V B﹣ADGE=V D﹣GBCF时，求二面角D﹣BG﹣C平面角的余弦值．
20．设椭圆C： +=1的离心率e=，点M在椭圆C上，点M到椭圆C的两个焦点的
距离之和是4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C1的方程为+=1（m＞n＞0），椭圆C2的方程为+=λ（λ＞0，且
λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知椭圆C2是椭圆C的3倍相似椭圆．若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M，N两点，O为坐标原点，试研究当切线l变化时△OMN 面积的变化情况，并给予证明．
21．已知函数f（x）=（x﹣a）lnax，g（x）=x2﹣（a+）x+1（a∈R，a＞1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=a处的切线l斜率为2，求l的方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈（，a）时，f（x）＞g（x）恒成立．若存在，求a
的值；若不存在，说明理由．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB 的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
（1）求证：DE2=DB•DA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
[选修4-4；坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲
线C1的极坐标方程为ρ=8，曲线C2的参数方程为为参
数）．
（Ⅰ）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若P为C2上的动点，求点P到直线l：为参数）的距离的最小值．
[选修：不等式选讲]
24．已知f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣a|．
（Ⅰ）当a=﹣5时，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若f（x）≤﹣||的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．
2016年河北省衡水市冀州中学高考数学仿真试卷（理科）（二）
参考答案与试题解析
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10B．12C．14D．16
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，根据N及两集合的交集，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
【解答】解：由M中不等式解得：x＜0或x＞4，
∴M={x|x＜0或x＞4}，
∵N={x|m＜x＜8}，且M∩N={x|6＜x＜n}，
∴m=6，n=8，
则m+n=6+8=14，
故选：C．
2．设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）
A． B．2C．3D．
【考点】复数求模．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式求模．
【解答】解：|（1+i）﹣|=|（1+i）﹣|=|1+3i|=．
故选：D．
3．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N，则用电量在320度以上的户数估计约为（）
[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.74%]．
A．17B．23C．34D．46
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据正态分布，求出μ=300，σ=10，在区间的概率为0.954，由此可求用电量在320度以上的户数．
【解答】解：由题意，μ=300，σ=10，在区间的概率为0.954，
∴用电量在320度以上的概率为=0.023，
∴用电量在320度以上的户数估计约为1000×0.023=23，
故选：B．
4．给出下列结论：
①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；
②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；
③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分不必要条件．
其中正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【考点】命题的真假判断与应用；充要条件．
【分析】①根据全称命题的否定是特称命题进行判断，
②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；故①正确，
②当α=时，sinα=成立，当α=时，满足sinα=，但α=不成立，
即命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；故②正确，
③当a n=0时，数列{a n}满足“a n+1=3a n”，但“数列{a n}为等比数列”错误，即充分性不成立，若数列{a n}为等比数列，则数列的公比不一定是3，则a n+1=3a n，不一定成立，
即数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的既不充分不必要条件，故③错误，故选：A
5．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）
A．10B．20C．30D．40
【考点】数列的求和．
【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．
【解答】解：由题意知：
∵数列{}为调和数列
∴﹣=x n+1﹣x n=d
∴{x n}是等差数列
又∵x1+x2+…+x20=200=
∴x1+x20=20
又∵x1+x20=x5+x16
∴x5+x16=20
故选：B．
6．在边长为1的正方形ABCD中，且=μ， =﹣μ，则•=（）
A．﹣1B．1C．2﹣2μD．2μ﹣1
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积即可求出．
【解答】解： =，，
所以则•==1．
故选：B
7．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）
A．2B．4C．6D．8
【考点】程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．
【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=2，
由a＜b，则b变为4﹣2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2．
故选：A．
8．函数的大致图象为（）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质．
【分析】观察题设中的函数表达式，应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象．
【解答】解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）=
当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x
故f（x）=，故其图象应该为
综上，应该选D
9．不等式组的解集记为D，，有下面四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，z≥1；p2：∃（x，y）∈D，z≥1
p3：∀（x，y）∈D，z≤2；p4：∃（x，y）∈D，z＜0
其中的真命题是（）
A．p1，p2B．p1，p3C．p1，p4D．p2，p3
【考点】命题的真假判断与应用；简单线性规划．
【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．
【解答】解：不等式组的可行域如图：
的几何意义是可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率，
可知（﹣1，﹣1）与C连线的斜率最小，与B连线的斜率最大．
可得C（2，1）．
最小值为： =，z≥，
由，解得x=1，y=3，B（1，3）．
最大值为： =2．z≤2．
可得选项p2，p3正确．
故选：D．
10．已知抛物线的方程为y2=2px（p＞0），焦点为F，O为坐标原点，A是该抛物线上一点，与x轴的正方向的夹角为60°，若△AOF的面积为，则p的值为（）
A．2B．2C．2或2D．2或
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先过A作AD⊥x轴于D，构造直角三角形，再根据与x轴正向的夹角为60°求出FA的长度，可得到A的坐标，最后根据△AOF的面积为，求出p的值．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，令FD=m，则FA=2m，即F到准线的距离为2m，
由抛物线的定义可得p+m=2m，即m=p．
∴A（p， p），
∵△AOF的面积为，
∴•p=，
∴p=2．
故选B：A．
11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）
A．8πB．16πC．32πD．64π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，
如图所示：
由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，
可得底面外接圆的半径为：r=2，
由棱柱高为4，可得球心距为2，
故外接球半径为：R==2，
故外接球的表面积S=4πR2=32π，
故选：C
12．若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即
可得到所求范围．
【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，
可得切线的斜率为1+lnm，
由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=，
化简可得=，（*），
由题意可得方程（*）有两解，
设g（m）=，可得g′（m）=，
当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；
当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．
可得g（m）在m=e处取得最大值，
即有0＜＜，解得a＞e．
故选：B．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上．13．（x2﹣x+y）5的展开式中x3y2项的系数等于﹣10 ．（用数字作答）
【考点】二项式定理的应用．
【分析】（x2﹣x+y）5的展开式的通项公式：T r+1=，令5﹣r=2，解得r=3．再利用（x2﹣x）3的展开式的通项公式即可得出．
【解答】解：（x2﹣x+y）5的展开式的通项公式：T r+1=，
令5﹣r=2，解得r=3．
（x2﹣x）3的展开式的通项公式T k+1==（﹣1）k x6﹣k，令6﹣k=3，解得k=3．
∴T4=﹣x3=﹣x3．
∴（x2﹣x+y）5的展开式中x3y2项的系数=﹣=﹣10．
故答案为：﹣10．
14．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有36 ．（用数字作答）
【考点】计数原理的应用．
【分析】分类讨论：①甲公司要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲公司要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．
【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲公司要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；
再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．
根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．
②甲公司要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有3种，
共3×2×3=18种分配方案．
由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，
故答案为：36．
15．已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n+1）
=1，则数列{b n}的前32项的和为．
【考点】数列的求和．
【分析】通过等差数列{a n}的首项和公差可知a n=3n+1，利用平方差公式、裂项可知b n=（﹣），进而并项相加即得结论．
【解答】解：∵数列{a n}是首项为4、公差为3的等差数列，
∴a n=4+3（n﹣1）=3n+1，
∵b n（a n+a n+1）=1，
∴b n==•=（﹣），
∴数列{b n}的前n项和为（﹣+﹣+…+﹣）
=（﹣）
=（﹣），
故所求值为（﹣）=，
故答案为：．
16．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上
存在一点M，使得（+）•=0（其中O为坐标原点），且||=||，则双
曲线离心率为+1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据向量关系求出F1M⊥MF2，结合双曲线的定义以及直角三角形的边角关系建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：设C是MF2的中点，
∵（+）•=0
∴2•=0
即OC⊥MF2，
即OM=OF2，
∵OC∥F1M，
∴F1M⊥MF2，
∵||=||，
∴||﹣||=||﹣||=2a
则||==（+1）a，
||=||=（+1）a，
∵||2+||2=4c2，
∴4（+1）2a2=4c2，
即（+1）2a2=c2，
即（+1）a=c，
则离心率e==+1，
故答案为： +1
三、解答题：（共5小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣
（1）求sin∠C的值；
（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB﹣．利用两角差
的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．
（2）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式求得BD，与余弦定理即可得解AB的长度．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADB=﹣，则sin∠ADB=，
∠CAD=，则∠C=∠ADB﹣，
sin∠C=sin（∠ADB﹣）=sin∠ADB•cos﹣sin cos∠ADB=+=，（2）在三角形△ACD中，，
AD===2，
∴S=AD•BD•sin∠ADB=•2BD=7，
∴BD=5，
由余弦定理可知：AD2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB，
∴AD=．
18．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元） 1 2 3 4 5
销售收益y（单位：万
2 3 2 7
元）
表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y 关于x的回归方程．
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =﹣．
【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．
【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论；（2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值；
（3）利用公式求出b，a，即可计算y关于x的回归方程．
【解答】解：（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，∴m=2；
（2）由（1）可知个小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；
（3）空白处填5．
由题意， =3， =3.8， x i y i=69，=55，∴b==1.2，a=3.8
﹣1.2×3=0.2，
∴y关于x的回归方程为y=1.2x﹣0.2．
19．如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．
（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；
（Ⅱ）当2V B﹣ADGE=V D﹣GBCF时，求二面角D﹣BG﹣C平面角的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥EF，AE⊥BE，BE⊥EF，建立空间坐标系E﹣xyz，利用向量法能求出BD⊥CG．
（Ⅱ）法一：设EG=k，由AD∥平面EFCB，得到点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离．分别求出平面DBG的法向量和面BCG的一个法向量，利用向量法能求出二面角平面角的余弦值．
（Ⅱ）法二：由已知条件指法训练出EG=1，过点D作DH⊥EF，垂足H，过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD．由已知条件推导出∠DOH就是所求的二面角D﹣BG﹣C的平面角，由此能求出此二面角平面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如图建立空间坐标系E﹣xyz．…
翻折前，连结AC交EF于点G，此时点G使得AG+GC最小．
EG=BC=2，又∵EA=EB=2．
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
D（0，2，2），E（0，0，0），G（0，2，0），
∴=（﹣2，2，2），=（﹣2，﹣2，0）
∴=（﹣2，2，2）（﹣2，﹣2，0）=0，
∴BD⊥CG．…
（Ⅱ）解法一：设EG=k，∵AD∥平面EFCB，
∴点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离．
∵ [（3﹣k）+4]×2=7﹣k，
∴=，
又=，
∵2V B﹣ADGE=V D﹣GBCF，∴=，
∴k=1即EG=1…
设平面DBG的法向量为，∵G（0，1，0），
∴， =（﹣2，2，2），
则，即
取x=1，则y=2，z=﹣1，∴…
面BCG的一个法向量为
则cos＜＞=…
由于所求二面角D﹣BF﹣C的平面角为锐角，
所以此二面角平面角的余弦值为…
（Ⅱ）解法二：由解法一得EG=1，过点D作DH⊥EF，垂足H，
过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD．
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，
∴∠DOH就是所求的二面角D﹣BG﹣C的平面角．…
由于HG=1，在△OHG中，
又DH=2，在△DOH中…
∴此二面角平面角的余弦值为．…
20．设椭圆C： +=1的离心率e=，点M在椭圆C上，点M到椭圆C的两个焦点的
距离之和是4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C1的方程为+=1（m＞n＞0），椭圆C2的方程为+=λ（λ＞0，且
λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知椭圆C2是椭圆C的3倍相似椭圆．若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M，N两点，O为坐标原点，试研究当切线l变化时△OMN 面积的变化情况，并给予证明．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a=2，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）依题意，求得椭圆C2方程，当切线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，代入椭圆C2方程，运用韦达定理和弦长公式，和点到直线的距离公式，结合面积公式，计算即可得到定值，讨论直线的斜率不存在，同样得到定值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，2a=4，a=2，
∵，∴c=1，b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆C方程为：；
（Ⅱ）依题意，椭圆C2方程为：，
当切线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，
由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，
由△=0得m2=4k2+3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
即有，
又点O到直线l的距离，
∴，
当切线l的斜率不存在时，l的方程为，，
综上，当切线l变化时，△OMN的面积为定值．
21．已知函数f（x）=（x﹣a）lnax，g（x）=x2﹣（a+）x+1（a∈R，a＞1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=a处的切线l斜率为2，求l的方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈（，a）时，f（x）＞g（x）恒成立．若存在，求a
的值；若不存在，说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可得到结论．
（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数最值之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，f′（a）=2，…
所以lna2=2，解得a=e或a=﹣e（舍去）．…
因为f（x）=（x﹣e）lnex，
所以f（e）=0，切点为（e，0），
所以l的方程为y=2x﹣2e．…
（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得，，
，
又，所以，．…
令（），则，
所以，当时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当1＜x＜a时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=lna+﹣1．…
故只需lna+﹣1＜0（*）．
令φ（x）=lnx+﹣1，（x＞1），则φ′（x）=﹣=，
所以当x＞1时，φ′（x）＞0，g（x）单调递增，所以φ（x）＞φ（1）=0．…
故不等式（*）无解．
综上述，不存在实数a，使得当x∈（﹣，a）时，f（x）＞g（x）恒成立．…
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB 的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
（1）求证：DE2=DB•DA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．
（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．
所以DE2=DB•DA．
（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．
∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．
又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．
从而在Rt△COE中，．
[选修4-4；坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8，曲线C2的参数方程为为参
数）．
（Ⅰ）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若P为C2上的动点，求点P到直线l：为参数）的距离的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）先利用两角和与差的三角函数化简极坐标方程，然后方程的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．消去参数求解参数方程的普通方程即可．
（Ⅱ）设P（8cosθ，3sinθ），求出直线的普通方程，利用点到直线的距离公式，通过两角和与差的三角函数，求解最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由得ρ=﹣8cosθ+8sinθ，
所以ρ2=﹣8ρcosθ+8ρsinθ，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=﹣8x+8y，
即（x+4）2+（y﹣4）2=32，…
由消去参数θ得C2的普通方程为．…
（Ⅱ）设P（8cosθ，3sinθ），直线l：为参数）的普通方程为x﹣2y﹣7=0，…故点P到直线l的距离为（其中
），
因此当时，d min=0，故点P到直线l的距离的最小值0．…
[选修：不等式选讲]
24．已知f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣a|．
（Ⅰ）当a=﹣5时，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若f（x）≤﹣||的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）通过a=﹣5，不等式f（x）＜1化为|x﹣2|﹣|x+5|＜1，通过分类讨论求解不等式的解集即可．
（Ⅱ）通过x∈[1，2]时，化简不等式，利用解集的包含关系，列出与a有关的不等式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣5时，不等式f（x）＜1化为|x﹣2|﹣|x+5|＜1，
当x≤﹣5时，﹣（x﹣2）+（x+5）＜1，无解；
当﹣5＜x≤2时，﹣（x﹣2）﹣（x+5）＜1，解得x＞﹣2，又﹣5＜x≤2，
所以﹣2＜x≤2；
当x＞2时，（x﹣2）﹣（x+5）≤1，恒成立，又x＞2，所以x＞2．
因此，当a=﹣5时，解不等式f（x）＜1的解集为{x|x＞﹣2}．
（Ⅱ）．
当x∈[1，2]时，，即，
所以或，
因为的解集包含[1，2]，
于是或，故或．
所以，实数a的取值范围为．。