第10章 有限元基本知识
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y y
q
a
a
qhq
a
a
qh
x (a)
x (b)
解 1、可按位移求解本题，并采用逆解法。
根据薄板的受力约束情况，不妨设两块薄板的位移函数为
u u(x) v v(y)
代入拉梅方程，得
2u x2
0
w w(z)
2v y2
0
2w z 2
0
积分得位移函数为 u Ax B
v Cy D
《数学辞海》第四卷
§10.1 基本概念
10.1.1 有限单元
有限单元的一般定义如下： 将求解问题的域 ( domain ) 分成若干小的、相互连接的子 域(sub-domain)，这些子域称为有限单元或有限元( finite element )。每个子域的大小是有限值，有限个子域的集合 便构成整个域。比如桁架结构中的每一根杆件，就是整个结 构中的一个子域，也就是一个单元，通常称为杆单元(bar element)；而刚架结构中的一个梁段或柱段，称为梁单元 (beam element)。由若干个单元组成整个结构。
1960年，Clough在论文《平面应力分析的有限单元》，首先提 出了有限单元(Finite Element)这一术语，他也因此被称为“有 限单元之父”。
有限元数学基础形成过程：
1965年，O.C.Zienkiewicz（英国斯西大学土木系教授）和 Y.K.Cheung（张佑君）发现，能写成变分形式的所有场问题， 都可以用与有限单元法的相关步骤求解。 1969年，Szabo和G.C.Lee指出可以用加权残量特别是Galerkin 法，导出标准的有限元方程式来求解结构非线性问题。
以位移为基本未知量，选择一个 函数，用单元的三个节点位移唯 一地表示内部单元任一点的位移
2．选择合适的插值函数或位移模式
3．推导单元刚度矩阵和荷载矢量
4．集成单元方程得到整体平衡方程
5．处理约束条件 6．求解未知节点位移
7．节点内力，单元应变、应力计算
10.1.2 软件开发
1. SAP2000 适宜于各向同性材料和正交各向异性材料
2． ADINA 可分析非线性问题，包括材料非线性（非线性弹性、塑性）和几 何非线性（大变形）
3． ANSYS 它的最大优点在于实现了输入、输出的可视化，前后处理功能强大
§10.3 有限元方法的一般描述
10.3.1 求解步骤 1．结构离散化
解答如下表左右列所示
§ 10.1有限元的发展历史
有限元的形成可以追溯到20世纪50年代，甚至更早时间 有限元的基本思路来源于结构力学中的矩阵位移法的发展和 工程师对结构相似性的直觉判断 1952~1953年期间，R.W.Clough(克劳夫)M.J.Turner(特纳)在 分析三角翼振动问题时，提出了把三角板组合起来表达机翼刚度 的方法，当时被称为“直接得到应变、应力表达式如下（切应变、切应力均为零
x A y C z H AC H
x 2GA
y 2GC
z 2GH
2、根据两块薄板（第三类边值问题）的位移边界条件 应力边界条件， 求出各常数、位移和应力分量
我国学者的贡献：
我国的力学工作者为有限元的初期发展做出了许多贡献，其中，
著名学者有：陈伯屏（矩阵位法）、钱令希（余能原理）、钱
伟长（广义变分原理）、胡海昌（广义变分原理），冯康（有
限单元理论）
其中冯康的工作最接近Clough的工作
“20世纪60年代初期，冯康等人在大坝应力计算的基础上，独 立于西方创造了有限单元法，并最早奠定其理论基础”
第二篇 有限单元法
第10章 有限单元法的基本知识
位移法结题思路
长为2a、宽为b、厚为t的矩形薄板，体力不计，左右两面 受均布力q作用，底面收到光滑约束（无切应力），坐标 原点设于底面形心处，图(a)所示薄板的上面自由，图(b) 薄板的上面为刚性光滑约束，试分别求出两块薄板的应力 分量和位移分量。
1956年，M.J.Turner，R.W.Clough，H.C Martin（马 丁）,J.Toop（托普）在纽约举行的航空学会上发表论文《复杂结 构的刚度和变形分析》，介绍了这种新的计算方法，从而将矩阵位 移法推广到求解弹性力学问题。他们把平面板壳结构分成一个三角 形和矩形“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与 节点位移关系的单元刚度矩阵。
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x (a)
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解 1、可按位移求解本题，并采用逆解法。
根据薄板的受力约束情况，不妨设两块薄板的位移函数为
u u(x) v v(y)
代入拉梅方程，得
2u x2
0
w w(z)
2v y2
0
2w z 2
0
积分得位移函数为 u Ax B
v Cy D
《数学辞海》第四卷
§10.1 基本概念
10.1.1 有限单元
有限单元的一般定义如下： 将求解问题的域 ( domain ) 分成若干小的、相互连接的子 域(sub-domain)，这些子域称为有限单元或有限元( finite element )。每个子域的大小是有限值，有限个子域的集合 便构成整个域。比如桁架结构中的每一根杆件，就是整个结 构中的一个子域，也就是一个单元，通常称为杆单元(bar element)；而刚架结构中的一个梁段或柱段，称为梁单元 (beam element)。由若干个单元组成整个结构。
1960年，Clough在论文《平面应力分析的有限单元》，首先提 出了有限单元(Finite Element)这一术语，他也因此被称为“有 限单元之父”。
有限元数学基础形成过程：
1965年，O.C.Zienkiewicz（英国斯西大学土木系教授）和 Y.K.Cheung（张佑君）发现，能写成变分形式的所有场问题， 都可以用与有限单元法的相关步骤求解。 1969年，Szabo和G.C.Lee指出可以用加权残量特别是Galerkin 法，导出标准的有限元方程式来求解结构非线性问题。
以位移为基本未知量，选择一个 函数，用单元的三个节点位移唯 一地表示内部单元任一点的位移
2．选择合适的插值函数或位移模式
3．推导单元刚度矩阵和荷载矢量
4．集成单元方程得到整体平衡方程
5．处理约束条件 6．求解未知节点位移
7．节点内力，单元应变、应力计算
10.1.2 软件开发
1. SAP2000 适宜于各向同性材料和正交各向异性材料
2． ADINA 可分析非线性问题，包括材料非线性（非线性弹性、塑性）和几 何非线性（大变形）
3． ANSYS 它的最大优点在于实现了输入、输出的可视化，前后处理功能强大
§10.3 有限元方法的一般描述
10.3.1 求解步骤 1．结构离散化
解答如下表左右列所示
§ 10.1有限元的发展历史
有限元的形成可以追溯到20世纪50年代，甚至更早时间 有限元的基本思路来源于结构力学中的矩阵位移法的发展和 工程师对结构相似性的直觉判断 1952~1953年期间，R.W.Clough(克劳夫)M.J.Turner(特纳)在 分析三角翼振动问题时，提出了把三角板组合起来表达机翼刚度 的方法，当时被称为“直接得到应变、应力表达式如下（切应变、切应力均为零
x A y C z H AC H
x 2GA
y 2GC
z 2GH
2、根据两块薄板（第三类边值问题）的位移边界条件 应力边界条件， 求出各常数、位移和应力分量
我国学者的贡献：
我国的力学工作者为有限元的初期发展做出了许多贡献，其中，
著名学者有：陈伯屏（矩阵位法）、钱令希（余能原理）、钱
伟长（广义变分原理）、胡海昌（广义变分原理），冯康（有
限单元理论）
其中冯康的工作最接近Clough的工作
“20世纪60年代初期，冯康等人在大坝应力计算的基础上，独 立于西方创造了有限单元法，并最早奠定其理论基础”
第二篇 有限单元法
第10章 有限单元法的基本知识
位移法结题思路
长为2a、宽为b、厚为t的矩形薄板，体力不计，左右两面 受均布力q作用，底面收到光滑约束（无切应力），坐标 原点设于底面形心处，图(a)所示薄板的上面自由，图(b) 薄板的上面为刚性光滑约束，试分别求出两块薄板的应力 分量和位移分量。
1956年，M.J.Turner，R.W.Clough，H.C Martin（马 丁）,J.Toop（托普）在纽约举行的航空学会上发表论文《复杂结 构的刚度和变形分析》，介绍了这种新的计算方法，从而将矩阵位 移法推广到求解弹性力学问题。他们把平面板壳结构分成一个三角 形和矩形“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与 节点位移关系的单元刚度矩阵。