实验二 IIR数字滤波器的设计

实验二 IIR 数字滤波器的设计 1、 实验目的
（1） 掌握脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR 数字滤波器的具体方法和原理，熟悉双线性变换法和脉冲响应不变法设计低通、带通IIR 数字滤波器的计算机编程；
（2） 观察双线性变换法和脉冲响应不变法设计的数字滤波器的频域特性，了解双线性变换法和脉冲响应不变法的特点和区别；
（3） 熟悉Butterworth 滤波器、Chebyshev 滤波器和椭圆滤波器的频率特性。

2、实验原理与方法
IIR 数字滤波器的设计方法可以概括为如图所示，本实验主要掌握IIR 滤波器的第一种方法，即利用模拟滤波器设计IIR 数字滤波器，这是IIR 数字滤波器设计最常用的方法。

利用模拟滤波器设计，需要将模拟域的H a (s)转换为数字域H(z)，最常用的转换方法为脉冲响应不变法和双线性变换法。

（1）脉冲响应不变法
用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应h a (t)，让h(n)正好等于h a (t)的采样值，即
)()(nT h n h a =
其中T 为采样间隔。

如果以H a (s)及H(z)分别表示h a (t)的拉氏变换及h(n)的Z 变换，则
∑∞-∞==-=k a e z k T
j s H T z H sT )2(1|)(π
在MATLAB 中，可用函数impinvar 实现从模拟滤波器到数字滤波器的脉冲响应不变映射。

（2）双线性变换法
S 平面与
z 平面之间满足下列映射关系
1
1
112--+-=z
z T s 或 s T
s
T z -+=22 S 平面的虚轴单值地映射于z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射
到z 平面的单位圆内。

双线性变换不存在频率混叠问题。

在MATLAB 中，可用函数bilinear 实现从模拟滤波器到数字滤波器的双线性变换映射。

双线性变换是一种非线性变换，即2
tan 2ω
T =Ω，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸变得到校正。

（3）设计步骤
IIR 数字滤波器的设计过程中，模拟滤波器的设计是关键。

模拟滤波器的设计一般是采用分布设计的方式，这样设计原理非常清楚，具体步骤如前文所述。

MATLAB 信号处理工具箱也提供了模拟滤波器设计的完全工具函数：butter 、cheby1、cheby2、ellip 、besself 。

用户只需一次调用就可完成模拟滤波器的设计，这样虽简化了模拟滤波器的设计过程，但设计原理却被屏蔽了。

模拟滤波器设计完成之后，利用impinvar 或bilinear 函数将模拟滤波器映射为数字滤波器，即完成了所需数字滤波器的设计。

下图给出了实际低通、高通、带通和带阻滤波器的幅频特性和各截止频率的含义。

另外，为了描述过渡带的形状，还引入了通带衰减和阻带衰减的概念。

图 实际滤波器的幅频特性和各截止频率的含义
通带衰减：|
)(||)(|log
200p
j j p e
H e H ωα= dB
阻带衰减：|
)(||
)(|log 200s
j j s e H e H ωα= dB 在MA TLAB 信号处理工具箱中，通常用R p 和R s 来表示αp 和αs 。

3、实验内容
（1）参照教材 5.5节所述滤波器设计步骤，利用双线性变换法设计一个Chebyshev I 型数字高通滤波器，观察通带损耗和阻带衰减是否满足要求。

已知滤波器的指标为f p =0.3kHz ，αp =1.2dB ，f s =0.2kHz ，αs =20dB ，T=1ms 。

（2）已知f p =0.2kHz ，αp =1dB ，f s =0.3kHz ，αs =25dB ，T=1ms ，分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一个Butterworth 数字低通滤波器，观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。

比较这两种方法的优缺点。

（3）设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.25π~0.45π，通带内最大衰减3dB ，0.15π以下和0.55π以上为阻带，阻带内最小衰减为15dB ，试采用Butterworth 或ellip （椭圆）模拟低通滤波器设计。

（4）利用双线性变换法设计一个带宽为0.08π的10阶椭圆带阻滤波器以滤除数字频率为0.44π的信号，选择合适的阻带衰减值，画出幅度响应。

产生下面序列的201个样本
n n x π44.0sin )(=， n=0，2，…，200
并将它通过这个带阻滤波器进行处理（filter 函数），讨论所得到的结果。

4、实验报告
（1）简述实验目的和实验原理。

（2）按实验步骤附上所设计的滤波器传递函数H(z)及相应的幅频特性曲线，定性分析所得到的图形，判断设计是否满足要求。

（3）总结脉冲响应不变法和双线性变换法的特点及设计全过程。

（4）收获与建议。

5、实验源程序
%用双线性变换法设计一个Chebyshev型高通滤波器程序如下
Rp=1.2;Rs=20;T=0.001;fp=300;fs=200;
%求出待设计的数字滤波器的边界频率
wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;
%预畸变
wp1=(2/T)*tan(wp/2);ws1=(2/T)*tan(ws/2);
%设计模拟滤波器
[n,wn]=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s');
[b,a]=cheby1(n,Rp,wn,'high','s');
%双线性变换
[bz,az]=bilinear(b,a,1/T);
[db,mag,pha,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);
axis([0,1,-30,2]);
%用双线性变换法设计一个Butterworth型数字低通滤波器程序如下Rp=1;Rs=25;T=0.001;fp=300;fs=200;
%求出待设计的数字滤波器的边界频率
wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;
%预畸变
wp1=(2/T)*tan(wp/2);ws1=(2/T)*tan(ws/2);
%设计模拟滤波器
[n,wn]=buttord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s');
[b,a]=butter(n,wn,'low','s');
%双线性变换
[bz,az]=bilinear(b,a,1/T);
[db,mag,pha,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);
axis([0,1,-30,2]);
%用脉冲响应不变法设计一个Butterworth数字低通滤波器的程序如下：
%模拟滤波器的技术要求
wp=400*pi;ws=600*pi;Rp=1;Rs=25;
%求模拟滤波器的系统函数
[n,wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')
[b,a]=butter(n,wn,'s')
%求模拟滤波器的频率响应，w取（0~1000pi）rad/s
[db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,500*2*pi);
%绘图，为了使模坐标显示频率f （单位Hz），将原变量w（模拟角频率，单位为rad/s）进行了处理
plot(w/(2*pi),db,'LineWidth',2,'Color','b');
axis([0,500,-20,1]);hold on
%脉冲响应不变法
fs=1000;[bz,az]=impinvar(b,a,fs);
%求数字滤波器的频率响应
[db,mag,pha,w]=freqz_m(bz,az);
%绘图，为了与模拟滤波器的频响在同一坐标中绘出，需要将数字频率w转换成模拟频率f，转换公式为f=w*fs/2*pi
plot(0.5*fs*w/pi,db,'LineWidth',2,'Color','r');
axis([0,599,-20,1]);hold off
%采用ellip（椭圆）模拟低通滤波器设计，其程序如下：
%确定所需类型数字滤波器的技术指标
Rp=3;Rs=15;T=0.001;
wp1=0.25*pi;wp2=0.45*pi;ws1=0.15*pi;ws2=0.55*pi;
%将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标
wp3=(2/T)*tan(wp1/2);wp4=(2/T)*tan(wp2/2);
ws3=(2/T)*tan(ws1/2);ws4=(2/T)*tan(ws2/2);
%将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标,设计模拟滤波器
wp=[wp3,wp4];ws=[ws3,ws4];
[n,wn]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs);[b,a]=zp2tf(z,p,k);
%频率更换
w0=sqrt(wp3*wp4);Bw=wp4-wp3;
[b1,a1]=lp2bp(b,a,w0,Bw);
%双线性变换法
[bz,az]=bilinear(b1,a1,1/T);
[db,mag,pha,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);
axis([0,1,-50,2]);
%采用Butterworth模拟低通滤波器设计，其程序如下：
%确定所需类型数字滤波器的技术指标
Rp=3;Rs=15;T=0.001;
wp1=0.25*pi;wp2=0.45*pi;ws1=0.15*pi;ws2=0.55*pi;
%将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标
wp3=(2/T)*tan(wp1/2);wp4=(2/T)*tan(wp2/2);
ws3=(2/T)*tan(ws1/2);ws4=(2/T)*tan(ws2/2);
%将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标,设计模拟滤波器
wp=[wp3,wp4];ws=[ws3,ws4];
[n,wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=buttap(n);[b,a]=zp2tf(z,p,k);
%频率更换
w0=sqrt(wp3*wp4);Bw=wp4-wp3;
[b1,a1]=lp2bp(b,a,w0,Bw);
%双线性变换法
[bz,az]=bilinear(b1,a1,1/T);
[db,mag,pha,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);
axis([0,1,-50,2]);。