北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习基础过关测试题B(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习基础过关测试题B （附答案详解）
1．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =.将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF .则下列结论：
①ABG AFG ∆∆≌；②BG CG =；③AG CF ；④EGC AFE S S ∆∆=；⑤145AGB AED ∠+∠=︒.
其中正确的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，下列能判定四边形ABCD 是正方形的是（ ）
A ．,A
B B
C C
D AD AC BD ====
B ．,,AO CO BO DO A
C B
D ==⊥ C ．,AO BO CO DO AC BD ==== D ．,AB BC AD CD ==
3．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB ＝1，EC ＝2，那么正方形ABCD 的面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．5
4．如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的点，AE ＝AB ，EF⊥AC，交BC 于点F ，则图中等腰三角形的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为a ，小正方形CEFG 边长为b （a ＞b ），M 在BC 边上，且BM =b ，连接AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，将△MEF 绕点F 旋转至△NGF ，给出以下五个结论：①∠MAD =∠AND ；
②△ABM ≌△NGF ；③CP =2b b a
-；④22AMFN S a b =+；其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中5AE =，12BE =，则EF 的长是( )
A ．7
B ．8
C ．72
D ．73
7．在四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A ．BC CD =
B ．AB CD =
C ．90
D ∠=︒ D ．AD BC = 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（ ）
A ．一直增大
B ．一直减小
C ．先减小后增大
D ．先增大后减少 9．将正方形ABCD 与等腰直角三角形EFG 如图摆放，若点M 、N 刚好是AD 的三等分点，下列结论正确的是（ ）
①△AMH ≌△NME ；②12
AM BF =；③GH ⊥EF ；④S △EMN ：S △EFG ＝1：16
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
10．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为()
A．5 B．6 C．9 D．13
11．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD＝4 cm，则CF 的长为___________cm ．
12．用边长为4cm的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为是_____．
13．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC 于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB＝2CF时，则NM的长为_____．
14．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝5，以AC为边长作正方形ACFE，则点D到EF
的距离为_____．
，P、Q、R、S 15．已知四边形ABCD的对角线AC=82，BD=63，且AC BD
分别是AB、BC、CD、DA的中点，则PR2+QS2的值是__________．
16．如图所示，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为
_____________ ．
17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，M ，N 两点分别从A ，B 两点以2cm /s 和1cm /s 的速度在矩形ABCD 边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D 即停止，当运动时间为_____秒时，△MBN 为等腰三角形．
18．如图①，在边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②，这个拼成的长方形的长为24，宽为12，则图②中Ⅱ部分的面积为____.
19．如图，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转到正方形AB ' C ' D ' ，旋转角为 α（ 0︒＜α＜ 180︒ ） ，连接 B ' D 、 C ' D ，若 B ' D = C ' D ，则 ∠α =____．
20．如图，正方形ABCD 中，AB 6=，点E 在边CD 上，且CD 3DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE.延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：ABG ①≌AFG ；BG GC ②=；AG //CF ③；GCF ④是等边三角形，其中正确结论有______．
21．如图所示，已知边长为4的正方形ABCD 的边AD 在x 轴上，沿x 轴向左运动，设运动时间为t ，点D 的坐标为2,0，直线l 的解析式为2y x =-.正方形以每秒1个单位的速度向左运动，当t 为何值时，直线l 将正方形面积平分？
22．已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上
（I ）如图①，当EP ⊥BC 时，①求证CE =CN ；②求CN 的长；
（II ）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长．
23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 上的一点，连接CD ，CE ∥AB ，BE ∥CD ，且CE=AD ．
(1)求证：四边形BDCE 是菱形；
(2)过点E 作EF ⊥BD ，垂足为点F ，若点F 是BD 的中点，EB=6，求BC 的长.
24．如图，已知ABC ∆是等腰三角形，顶角BAC α∠=（60α<︒），点D 是BC 边上的一点，连接AD ，线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE ，过点E 作BC 的平行线，交AB 于点F ，连接DE ，BE ，DF .
（1）求证：BE CD =.
（2）若AD BC ⊥，试判断四边形BDFE 的形状，并给出证明.
25．如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 的顶点O 是坐标原点,点A 在第一象限,点C 在第四象限且OC=5,点B 在x 轴的正半轴上且OB=6,∠OAB=90°且OA=AB ．
(1)求点A 和点B 的坐标；
(2)点P 是线段OB 上的一个动点(点P 不与点O,B 重合)，过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA 成边AB 于点Q ，交边OC 或边CB 于点R ，设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m ，已知t=4时，直线l 恰好过点C ，当0<t<3时，求m 关于t 的函数关系式.
26．在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点（点E 不与点,C D 重合），连接BE ． （感知）如图1，过点A 作AF BE ⊥交BC 于点F ．易证ABF BCE ∆∆≌．（不需要证明）
（探究）如图2，取BE 的中点M ，过点M 作FG BE ⊥交BC 于点F ，交AD 于点G ． （1）求证：BE FG =．
（2）连接CM ．若1CM =，则FG 的长为___________．
（应用）如图3，取BE 的中点M ，连接CM ．过点C 作CG BE ⊥交AD 于点G ，连接,EG MG ．若3CM =，则四边形GMCE 的面积为______．
27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一动点（不与点B 、C 重合），连接DE 、点C 关于直线DE 的对称点为C ′，连接AC ′并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′的中点，连接DF ．
（1）求∠FDP 的度数；
（2）连接BP ，请用等式表示AP 、BP 、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接AC ，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC ′的面积最大值．
28．如图所示，()1,0A -，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.
29．如图，ABC 中，AD 是角平分线，//DE AC 交A B 于点E ，//DF AB 交AC 于点F .
（1）试判断四边形AEDF 的形状；
（2）当ABC 满足______条件时，//EF BC ；当ABC 满足_____条件时，EF AD ＝.
30．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF ，其中E 、H 分别为AD 、BC 中点，连结AF 、HG 、AH.
（1）求证：AF HG =；
（2）求证：FAE GHC ∠=∠；
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △ABG ≌Rt △AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG=GC ；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；分别求出S △EGC 与S △AFE 的面积比较即可；求得∠GAF=45°，
∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．
【详解】
AB AD AF ==，AG AG =，90B AFG ∠=∠=︒，
()Rt ABG Rt AFG HL ∴∆≅∆，故①正确；
123
EF DE CD ===，设BG FG x ==，则6CG x =-. 在Rt ECG ∆中，根据勾股定理，得()()22
2642x x -+=+，
解得3x =，363BG GC ∴==-=，故②正确 ,CG BG BG GF ==，
CG GF ∴=，FGC ∴∆是等腰三角形，GFC GCF ∠=∠.
又Rt ABG Rt AFG ∴∆≅∆，
AGB AGF ∴∠=∠
2180AGB AGF AGB FGC ∠+∠=∠=︒-∠
22AGF GCF GFC GCF =∠+∠=∠=∠
AGB GCF ∴∠=∠，
//AG CF ∴故③正确；
1134622
GCE S GC CE ∆=⋅=⨯⨯=， 1162622
AFE S AF EF ∆=⋅=⨯⨯=， BGC AFE S S ∆∆∴=，故④正确；
BAG FAG ∠=∠，DAE FAE ∠=∠，
又90BAD ∠=︒，45GAE ∴∠=︒
180135AGB AED AGE AEG GAE ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，故⑤错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
2．A
【解析】
【分析】
根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
【详解】
解：A 、∵AB BC CD AD ===，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AC BD =∴ABCD 是正方形，故A 选项能判定；
B 、∵,AO CO BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵A
C B
D ⊥，∴ABCD 是菱形，故B 选项不能判定；只能判定为菱形；
C 、∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABC
D 是矩形，故C 选项不能判定；只能判定为矩形；
D 、,AB BC AD CD ==，两组邻边相等，无法判定，故D 选项不能判定．
故选A ．
【点睛】
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
3．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出BC 2，即可得到正方形的面积.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的运用.
4．D
【解析】
【分析】
由正方形的性质可知△ABC和△ADC是直角等腰三角形，再由EF⊥AC易得△CEF也是直角等腰三角形.由题干可知△ABE是等腰三角形，再由∠AEF=∠ABF=90°易得△BEF是等腰三角形.
【详解】
解：由正方形的性质可知△ABC和△ADC是直角等腰三角形；
由EF⊥AC且∠ECF=45°可知，∠EFC=∠ECF=45°，则△CEF也是直角等腰三角形；
由题干可知△ABE是等腰三角形，则∠AEB=∠ABE，再由∠AEF=∠ABF=90°可得
∠BEF=∠EBF，则△BEF是等腰三角形；
综上，共有5个等腰三角形，
故选择D.
【点睛】
本题结合等腰三角形考查了正方形的性质，牢记正方形的特点是解题关键.
5．D
【解析】
【分析】
①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到
∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得到∠DAM=∠AND，故①正确；
②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP=b-
2
b
a
；故③正确；
③根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故②正确；
④由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故④正确.
【详解】
①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴∠BAM+∠DAM=90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
∴∠DAM=∠AND，故①正确；
②∵四边形CEFG是正方形，
∴PC∥EF，
∴△MPC∽△EMF，
∴PC CM EF ME
＝，
∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM=b，∴EF=b，CM=a-b，ME=（a-b）+b=a，
∴PC a b
b a
＝，
∴CP=b-
2
b
a
；故③正确；
③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴GN=ME，
∵AB=a，ME=a，
∴AB=ME=NG，
在△ABM与△NGF中，
90AB NG a B NGF GF BM b ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝＝＝，
∴△ABM ≌△NGF ；故②正确；
④∵将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，
∴AM=AN ，
∵将△MEF 绕点F 旋转至△NGF ，
∴NF=MF ，
∵△ABM ≌△NGF ，
∴AM=NF ，
∴四边形AMFN 是矩形，
∵∠BAM=∠NAD ，
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
∴∠NAM=90°，
∴四边形AMFN 是正方形，
∵在Rt △ABM 中，a 2+b 2=AM 2，
∴S 四边形AMFN =AM 2=a 2+b 2；故④正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
由图易知EG 与FG 的长，然后根据勾股定理即可求出EF 的长.
【详解】
解：如图，由题意可知：AE=BG=FC=5，BE=CG=12，
∴EG=BE-BG=12-5=7，FG=CG-FC=12-5=7，
∴在Rt △EGF 中，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【详解】
∵四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
.
这个条件可以是：BC CD
故选A.
【点睛】
此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
8．D
【解析】
【分析】
根据运动开始，OD是正方形的边长CD，运动过程中B与O点重合时，OD是对角线，在运动A与O点重合，OD是边长AD，可得答案．
【详解】
从C离开O点到B到O点，OD由边长到对角线在增大，由B离开O点到A到O点，OD由正方形的对角线减少到正方形的边长．
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，OD由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．
9．A
【解析】
【分析】
利用三角形全等和根据题目设未知数，列等式解答即可.
【详解】
解：设AM＝x，
∵点M、N刚好是AD的三等分点，
∴AM＝MN＝ND＝x，
则AD＝AB＝BC＝3x，
∵△EFG是等腰直角三角形，
∴∠E＝∠F＝45°，∠EGF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠BGN＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABGN是矩形，
∴∠AHM＝∠BHF＝∠AMH＝∠NME＝45°，
∴△AMH≌△NMH（ASA），故①正确；
∵∠AHM＝∠AMH＝45°，
∴AH＝AM＝x，
则BH＝AB﹣AH＝2x，
又Rt△BHF中∠F＝45°，
∴BF＝BH＝2x，AM
BF
＝
1
2
，故②正确；
∵四边形ABGN是矩形，
∴BG＝AN＝AM＋MN＝2x，∴BF＝BG＝2x，
∵AB⊥FG，
∴△HFG是等腰三角形，
∴∠FHB＝∠GHB＝45°，
∴∠FHG ＝90°，即GH ⊥EF ，故③正确；
∵∠EGF ＝90°、∠F ＝45°，
∴EG ＝FG ＝BF ＋BG ＝4x ，
则S △EFG ＝
12•EG •FG ＝12
•4x •4x ＝8x 2， 又S △EMN ＝12•EN •MN ＝12•x •x ＝12x 2， ∴S △EMN ：S △EFG ＝1：16，故④正确；
故选A ．
【点睛】
本题主要考察三角形全等证明的综合运用，掌握相关性质是解题关键.
10．D
【解析】
【分析】
由ABCD 为正方形得到AB=BC ，∠ABC 为直角，再由AE 与CF 都垂直于EF ，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS 得出△ABE 与△BCF 全等，由全等三角形对应边相等得到AE=BF ，EB=CF ，在直角三角形ABE 中，利用勾股定理求出AB 的长，即可确定出正方形的面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=90°，
∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF ，
在△ABE 和△BCF 中，
.AEB BFC BAE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，，
∴△ABE ≌△BCF （AAS ），
∴AE=BF=2，CF=EB=3，
根据勾股定理得：
则正方形ABCD面积为13．
故选D.
【点睛】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．
11．6-
【解析】
【分析】
设BF=x，则FG=x，CF=4-x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=（4-x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4-x 即可．
【详解】
设BF=x，则FG=x，CF=4-x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得
根据折叠的性质可知AG=AB=4，所以．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（）2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=（4-x）2+22，
所以（）2+x2=（4-x）2+22，
解得．
则
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
12．8cm2．
【解析】
【分析】
阴影部分是由除两个大等腰三角形之外其他图形组成，阴影部分面积为大正方形的一半，然后算出面积即可
【详解】
阴影部分是由除两个大等腰三角形之外其他图形组成，所以阴影部分面积为大正方形的一半，大正方形的的面积是4×4=16cm2，所以阴影部分的面积为8cm2，故填8cm2
【点睛】
本题主要考查正方形对角线性质，本题关键在于掌握好正方形对角线性质，同时看懂图示
13．2 3
【解析】
【分析】
先根据折叠的性质得∠EAB=∠EAN，AN=AB=8，再根据正方形的性质得AB∥CD，则
∠EAB=∠F，所以∠EAN=∠F，得到MA=MF，设CM=x，则AM=MF=4+x，DM=DC-MC=8-x，在Rt△ADM中，根据勾股定理，解得x，然后利用MN=AM-AN求解即可.
【详解】
解：∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，
∴AN＝AB＝8，∠BAE＝∠NAE，
∵正方形对边AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F，
∴∠NAE＝∠F，
∴AM＝FM，
设CM＝x，∵AB＝2CF＝8，
∴CF＝4，
∴DM＝8﹣x，AM＝FM＝4+x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM2＝AD2+DM2，
即（4+x）2＝82+（8﹣x）2，
解得x＝
2
4
3
，
所以，AM ＝4+423＝823
， 所以，NM ＝AM ﹣AN ＝823﹣8＝23
． 故答案为：23. 【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，也考查了正方形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质及折叠的性质并能正确运用勾股定理是解题的关键.
14．5+53或5﹣53 【解析】
【分析】
分两种情况讨论：①当正方形ACFE 边EF 在AC 左侧时，②当正方形ACFE 边EF 在AC 右侧时．
【详解】
解：连接AC 、BD 将于O ，
∵四边形ABCD 是菱形，∠B ＝60°，
∴△ACD 是等边三角形，且DO ⊥AC ．
∴AC=AD=AB=5，OA=52
∴DO 22225535()2AD OA -=-= 分两种情况讨论：
①当正方形ACFE 边EF 在AC 左侧时，
过D 点作DH 2⊥EF ，DH 2长度表示点D 到EF 的距离，
DH2＝5+DO＝5+53
；
②当正方形ACFE边EF在AC右侧时，
过D点作DH1⊥EF，DH1长度表示点D到EF的距离，
DH1＝5﹣DO＝5﹣53
2
．
故答案为5+53
或5﹣
53
．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的判定和性质，同时考查了分类讨论思想．解决此类问题要借助画图分析求解．
15．118
【解析】
【分析】
连接PQ，QR，RS，SQ，易证四边形PQRS是平行四边形，因为AC⊥BD，所以PQ⊥QR，所以四边形PQRS为矩形，进而可得PR2+QS2=PQ2+QR2+QR2+SR2=118，问题得解．
【详解】
连接PQ，QR，RS，SQ，
P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴
11
42,33
22
PQ RS AC PS RQ BD
======，
∴PS∥BD,
1
2
PS BD
=，QR∥BD,
1
2
QR BD
=，
∴四边形PQRS是平行四边形，
∵AC ⊥BD ，
∴PQ ⊥QR ，
∴四边形PQRS 为矩形，
∴PR 2+QS 2=PQ 2+QR 2+QR 2+SR 2=()()22
233
242+=118， 故答案为118
【点睛】
考查中点四边形，掌握中位线的性质以及矩形的判定与性质是解题的关键.
16．4
【解析】
【分析】
先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知 BE ＝AB ＝4，连结
BP ，依据正方形的对称性可知 PB ＝PD ，则 PE +PD ＝PE +BP ．由两点之间线段最短可知：当点 B 、P 、E 在一条直线上时，PE +PD 有最小值，最小值为BE 的长.
【详解】
解：连结 BP ．
∵四边形 ABCD 为正方形，面积为 16，
∴正方形的边长为 4．
∵△ABE 为等边三角形，
∴BE ＝AB ＝4．
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴△ABP 与△ADP 关于 AC 对称．
∴BP ＝DP ．
∴PE +PD ＝PE +BP ．
由两点之间线段最短可知：当点 B 、P 、E 在一条直线上时，PE +PD 有最小值， 最小值＝BE ＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查正方形的性质和轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间， 线段最短”是解题关键．
17．53或（）或94
【解析】
【分析】
分情况讨论：①点M 在AB 上，点N 在BC 上时，BM ＝BN ，列出方程其解即可；②点M 在BC 上，点N 在CD 上时，表示出BM 、CM 、CN ，再根据勾股定理列式表示出MN 2，然后根据BM ＝MN 列出方程求解即可；③点M 、N 都在C 、D 上时，表示出MN 、CM ，再根据勾股定理分两种情况列式表示出BM （或BN ），然后根据BM ＝MN （或BN ＝MN ）列出方程求解即可；④点M 在AB 上，点N 在CD 上时，根据等腰三角形的性质，CN ＝12BM ，然后列式求解即可．
【详解】
解：分情况讨论：
①如图1所示：
点M 在AB 上，点N 在BC 上时，t ＜2，BM ＝5﹣2t ，BN ＝t ，
∵BM ＝BN ，
∴5﹣2t ＝t ，
解得t ＝53
； ②如图2所示：
点M 在BC 上，点N 在CD 上时，2.5＜t ＜3.5，BM ＝2t ﹣5，CM ＝2﹣（2t ﹣5）＝7﹣2t ，CN ＝t ﹣2，
在Rt △MCN 中，MN 2＝（7﹣2t ）2+（t ﹣2）2，
∵BM ＝MN ，
∴（2t ﹣5）2＝（7﹣2t ）2+（t ﹣2）2，
整理得，t 2﹣12t+28＝0，
解得：t1＝6﹣22，t2＝6+22（舍去）；
③如图3所示：
点M、N都在C、D上时，t＞3.5，
若点M在点N的右边，则CM＝2t﹣7，MN＝t﹣（2t﹣7）＝7﹣2t，
此时BM2＝（2t﹣7）2+22，
∵BM＝MN，
∴（2t﹣7）2+22＝（7﹣2t）2，无解，
若点M在点N的左边，则CN＝t﹣2，MN＝（2t﹣7）﹣（t﹣2）＝t﹣5，此时BN2＝（t﹣2）2+22，
∵BN＝MN，
∴（t﹣2）2+22＝（t﹣5）2，
整理得，t＝17
6
（不符合题意，舍去），；
④如图4所示：
点M在AB上，点N在CD上时，BM＝5﹣2t，CN＝t﹣2，
由等腰三角形三线合一的性质，CN＝1
2 BM，
∴t﹣2＝1
2
（5﹣2t），
解得：t＝9
4
；
综上所述，当运动时间为5
3
或（6﹣22）或
9
4
秒时，△MBN为等腰三角形．
故答案为5
3
或（6﹣22）或
9
4
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；难点在于要分情况讨论．
18．72
【解析】
【分析】
根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为24，宽为12，可得a+b=24，a-b=12，即可解答
【详解】
根据题意得出：
24
12
a b
a b
+
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
解得：
18
6
a
b
=
=
⎧
⎨
⎩
，
故图②中Ⅱ部分的面积是：6×12=72
故答案为：72
【点睛】
此题考查正方形的性质，解题关键在于得出a+b=24，a-b=12
19．60°
【解析】
【分析】
作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，根据旋转的性质得AD′＝AD，∠DAD′＝α，再根据等腰三角形的性质由B'D＝C'D得到B′H＝C′H，则AG＝DG′，从而在Rt△ADG′中可计算出∠ADG＝30°，于是得到∠DAG＝60°，从而得到α的度数．
【详解】
解：作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，
∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形AB'C'D'，旋转角为α，
∴AD′＝AD，∠DAD′＝α，
∵B'D ＝C'D ，
∴B′H ＝C′H ，
∵四边形AB'C'D'为正方形，
∴AG ＝DG′，
在Rt △ADG′中，AG ＝
'11AD 22
AD = ∴∠ADG ＝30°，
∴∠DAG ＝60°，
即α＝60°．
故答案为60°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
20．①②③ 【解析】
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG ≌AFG ；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠===，由平行线的判定可得AG //CF ；由于BG CG =，得到tan AGB 2∠=，求得AGB 60∠≠，根据平行线的性质得到FCG AGB 60∠∠=≠，求得GCF 不是等边三角形；
【详解】
四边形ABCD 是正方形，将ADE 沿AE 对折至AFE ，
AB AD AF ∴==，
在ABG 与AFG 中，90AB AF B AFG AG AG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
， ABG ≌AFG ；故①正确，
1EF DE CD 23
===， 设BG FG x ==，则CG 6x =-，
在直角ECG 中，
根据勾股定理，得222
(6x)4(x 2)-+=+，
解得x 3=， BG 363GC ∴==-=；故②正确，
CG BG GF ==， FGC ∴是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=，
又AGB AGF ∠∠=，AGB AGF 180FGC GFC GCF ∠∠∠∠∠+=-=+， AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，
AG //CF ∴；故③正确，
BG CG =，
1BG AB 2
∴=， tan AGB 2∠∴=，
AGB 60∠∴≠，
AG //CF ，
FCG AGB 60∠∠∴=≠，
GCF ∴不是等边三角形；故④错误．
综上所述：正确结论有①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线
的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．
21．5
【解析】
【分析】
当正方形ABCD的中心Q′ 经过直线l时，直线l将正方形面积平分，根据正方形的性质求出正方形ABCD的中心Q的坐标，再根据一次函数的性质求出点Q′的坐标，即可求出结论. 【详解】
解：当正方形ABCD的中心Q′ 经过直线l时，直线l将正方形面积平分，
∵点D的坐标为2,0，正方形的边长为4，
∴Q的坐标为()
4,2，
∵点Q纵坐标是2，
∴-2x=2,
∴x=-1,
∴Q′(-1,2).
∴'415
QQ=+=,
∴t=5÷1=5.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，图形与坐标，一次函数图像上点的坐标特征，根据一次函数的性质求出点Q′的坐标是解答本题的关键.
22．（1）①见解析②25
9
（2）O≤CP≤5，MN最大值为
35
2
【解析】
【分析】
（1）先由折叠得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再判断出AB∥EP，进而判断出CN=CE,再利用锐角三角函数即可得出CN的长；（2）先确定出PC的最大值和最小值的位置，即可得出
PC的范围，最后用折叠的性质与勾股定理即可得出结论. 【详解】
（1）①∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME，
∴∠AME=∠PEM，AE=PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∵EP⊥BC，
∴AB∥EP，
∴∠AME=∠PEM，
∴∠AEM=∠AME，
∴AM=AE,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥AE，
∴AM AE CN CE
=
∴CN=CE
②设CN=CE=x，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴AC=5，
∴PE=AE=5-x，
∵EP⊥BC，
∴
4
sin
5
∠=
EP
ACB
CE
=，
∴54 55
x
-
=
∴x=25 9
即CN=25 9
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得AC=5，
由折叠可知AE=PE, 由三角形的三边关系得，PE+CE ＞PC ，
∴AC ＞PC ，
∴PC ＜5，
∴点E 是AC 中点时，PC 的最小为0，当点E 和点C 重合时，PC 最大为AC=5， ∴O ≤CP ≤5，
如图，当点C 、N 、E 重合时，PC=BC+BP=5，
∴BP=2，
由折叠得PM=AM ，
在Rt △PBM 中，PM=4-BM ，根据勾股定理得PM 2-BM 2=BP 2，
∴(4-BM)2-BM 2=42，
∴BM=32
在Rt △BCM 中，根据勾股定理得MN=2235BM BC += 即当CP 最大时，MN=35.
【点睛】
此题主要考查四边形综合问题，解题的关键是熟知折叠的性质，三角函数的运用及勾股定理的运用.
23．（1）证明见解析；（2）3BC =【解析】
【分析】
（1）先证明四边形BDCE 是平行四边形，得出CE BD =，得到BD AD =，由直角三角形斜边上的中线性质得出12
CD AB BD =
=，得平行四边形邻边相等即可得出四边形BDCE 是菱形；
（2）连接DE ，由菱形的性质得出BC DE ⊥，BD BE =，OB OC =，由EF 是BD 的线段垂直平分线得出BE DE =，从而可得△BED 是等边三角形，进而由菱形的性质得出1302EBC EBD ∠=
∠=︒，求出132
OE EB ==，由勾股定理求出OB ，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：//CE AB ，//BE CD ， ∴四边形BDCE 是平行四边形，
CE BD ∴=，
CE AD =，
BD CD ∴=，
又90ACB ∠=︒，
12CD AB BD ∴=
=， ∴四边形BDCE 是菱形；
（2）解：连接DE ，如图所示：
由（1）得：四边形BDCE 是菱形，
BC DE ∴⊥，BD BE =，OB OC =，
EF BD ⊥，点F 是BD 的中点，
BE DE ∴=，
BE DE BD ∴==，
60DBE ∴∠=︒，1302
EBC EBD ∠=∠=︒， 132
OE EB ∴==， 22226333OB EB OE ∴=--=，
263BC OB ∴==
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
24．（1）详见解析；（2）四边形BDFE 是菱形.
【解析】
【分析】
（1）利用AB=AC ，AD=AE ，再结合题意证明EAB DAC ∠=∠，则可证明C EAB DA ∆∆≌，
故可得BE CD =.
（2）首先根据AB AC =，AD BC ⊥可得BD CD =，再结合题意证明EF DF =和EF EB =因此证明BD BE EF FD ===，进而证明四边形BDFE 是菱形.
【详解】
（1）由题知AE AD =，AB AC =，BAC EAD α∠=∠=.
BAC BAD DAC ∠=+∠，EAD BAD EAB ∠=∠+∠.
EAB DAC ∴∠=∠，EAB DAC ∴∆∆≌，BE CD ∴=.
（2）四边形BDFE 是菱形.
AB AC =，AD BC ⊥，BD CD ∴=.
EAB DAC ∆∆≌，EBF C ∴∠=∠.
ABC C ∠=∠，EBF ABC ∴∠=∠.
又//BF BF ，EBF DBF ∴∆∆≌，EF DF ∴=.
//EF BC ，EFB FBD ∴∠=∠，
EFB EBF ∴∠=∠，EF EB ∴=，
BD BE EF FD ===∴，
∴四边形BDFE 是菱形.
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，难度系数较低，应当熟练掌握，关键在于熟练掌握菱形的判定条件.
25．(1) A 点坐标为(3,3) ，B 点坐标为(6,0)； (2) m=
74
t(0<t<3). 【解析】
【分析】
（1）由题意得到B点坐标为(6,0)，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）首先求出直线OA、OB、OC、BC的解析式．进而求出P、Q的坐标即可解决问题．【详解】
(1)∵OB=6，
∴B点坐标为(6,0)，
过点A作x轴的垂线AM，
∵∠OAB=90°且OA=AB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OM=BM=AM=1
2
OB=3，
∴A点坐标为(3,3)；
(2)作CN⊥x轴于N,如图,
∵t=4时，直线l恰好过点C，
∴ON=4，
在Rt△OCN中22
OC ON
，∴C点坐标为(4,−3)，
设直线OC的解析式为y=kx(k≠0)，
把C(4,−3)代入得4k=−3,解得k=34-
， ∴直线OC 的解析式为y=34
-x ， 设直线OA 的解析式为y=ax(a≠0)，
把A(3,3)代入得3a=3，解得a=1，
∴直线OA 的解析式为y=x
∵P(t,0)(0<t<3)，
∴Q(t,t),R(t,34
-
t)， ∴QR=t−(34-t)=74
t ， 即m=74t(0<t<3). 【点睛】
本题考查四边形综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质、待定系数法求解析式. 26．【探究】（1）见解析；（2）2；【应用】9.
【解析】
【分析】
（1）过A 作//AH GF ，根据AD//BC ，可证明四边形AHFG 是平行四边形，可得AH=GF ，由GF ⊥BE 可得AH ⊥BE ，利用直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAH=∠CBE ，利用ASA 可证明△ABH ≌△BCE ，即可证明BE=AH ，进而可得BE=FG ；（2）连接CM ，由（1）可知BE=FG ，根据直角三角形斜边中线的性质可求出BE 的长，即可得答案；【应用】根据直角三角形斜边中线的性质可得BE=6，ME=3，利用ASA 可证明△BCE ≌△CDG ，可得BE=CG ，利用三角形面积公式即可得答案.
【详解】
（1）如图，过A 作//AH GF ，
∵AD//BC ，AH//GF ，
∴四边形AHFG 是平行四边形，
∴AH GF =．
∵GF BE ⊥，
∴AH BE ⊥，
∴90ABE BAH ︒∠+∠=．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC =，90ABH BCE ︒∠=∠=，
∴90ABE CBE ︒∠+∠=，
∴BAH CBE ∠=∠．
在ABH ∆和BCE ∆中，BAH CBE ∠=∠，AB BC =，ABH BCE ∠=∠，
∴ABH BCE ∆∆≌．
∴BE AH =，
∴BE FG =．
（2）连接CM ，
∵∠BCD=90°，点M 为BE 中点，CM=1，
∴BE=2CM=2，
由（1）得BE=FG ，
∴FG=2.
【应用】
在Rt BCE ∆中，90BCE ︒∠=，CM 是BE 边上的中线，
∴26BE CM ==．
∵∠DCG+∠BCG=90°，∠CBE+∠BCG=90°，
∴∠DCG+∠CBE ，
又∵BC=CD ，∠BCE=∠CDG=90°，
∴BCE CDG ∆∆≌，
∴6BE CG ==．
又∵132
ME BE =
=，且BE CG ⊥， ∴13692GMCE S =⨯⨯=四边形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质及全等三角形的判定与性质，熟记直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题关键.
27．（1）45°；（2）BP +DP 2AP ，证明详见解析；（32﹣1．
【解析】
【分析】
（1）证明∠CDE ＝∠C 'DE 和∠ADF ＝∠C 'DF ，可得∠FDP '＝12
∠ADC ＝45°； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP ≌△DAP '（SAS ），得BP ＝DP '，从而得△P AP '是等腰直角三角形，可得结论；
（3）先作高线C 'G ，确定△ACC ′的面积中底边AC 为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C '在BD 上时，C 'G 最大，其△ACC ′的面积最大，并求此时的面积．
【详解】
（1）由对称得：CD ＝C 'D ，∠CDE ＝∠C 'DE ，
在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，
∴AD ＝C 'D ，
∵F 是AC '的中点，
∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝
1
2
∠ADC＝45°；
（2）结论：BP+DP＝2AP，
理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，
∴∠P AP'＝90°，
在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，
∴∠DAP'＝∠BAP，
由（1）可知：∠FDP＝45°
∵∠DFP＝90°
∴∠APD＝45°，
∴∠P'＝45°，
∴AP＝AP'，
在△BAP和△DAP'中，
∵
BA DA
BAP DAP
AP AP
'
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
='
⎪
⎩
，
∴△BAP≌△DAP'（SAS），
∴BP＝DP'，
∴DP+BP＝PP'2AP；
（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝
1
2
AC•C'G，
Rt △ABC 中，AB ＝BC 2，
∴AC 22(2)(2)2+=，即AC 为定值，
当C 'G 最大值，△AC 'C 的面积最大，
连接BD ，交AC 于O ，当C '在BD 上时，C 'G 最大，此时G 与O 重合，
∵CD ＝C 'D 2OD ＝
12AC ＝1， ∴C 'G 2﹣1，
∴S △AC 'C ＝
112(21)2122
AC C G '•=⨯=． 【点睛】
本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28．()3,4C -；()4,1D -
【解析】
【分析】
本题有A 、B 两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过C ，D 两点分别向坐标轴作垂线即可. 作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，证明△BCE ≌△ABO ，得出对应边相等BE =OA =1，CE =BO =3，同理得出DF =OA =1，AF =BO =3，再求出OE 、OF ，即可得出结果．
【详解】
解：作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，如图所示：。