直线与圆的位置关系+第3课时 切线长定理++课件+2024-2025学年+沪科版数学九年级下册

(2)连接 OA 交 BF 于点 G，则 OA⊥BF， ∴BF＝2BG. 在 Rt△ABO 中，AO＝ 42＋22＝2 5. 由面积法可知12BG·AO＝12AB·BO， 即 2 5BG＝8， ∴BG＝45 5，∴BF＝85 5 cm.
11．如图，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，以 BC 为直径作圆，再过 A 点作 圆的切线，交 DC 于点 E，切点为点 F，求： (1)△ADE 的面积； (2)BF 的长．
解：(1)由题中条件可知 EC＝EF，AF＝AB＝4. 故设 EC＝EF＝x， 则 DE＝4－x. 在 Rt△ADE 中， 42＋(4－x)2＝(4＋x)2， 解得 x＝1，则 DE＝3. ∴S△ADE＝6 cm2.
6．(安徽模拟)如图，已知 AB，AC 是⊙O 的切线，B，C 为切点，OD∥AC
交劣弧 B︵C 于点 D.∠A＝40°，则∠BOD 的度数是
（B）
A．40°
B．50°
C．55°
D.60°
7．(台州中考)如图，等边三角形 ABC 的边长为 8，以 BC 边上一点 O 为圆
心的圆分别与边 AB，AC 相切，则⊙O 的半径为
第 3 课时 切线长定理
要点感知 1．过圆外一点能够作圆的_两_两__条切线．切线上一点到切点之间的_线_线段 长段长__叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相__等相等__，圆 心与这一点的连线平分_两_两条条切切线线的的夹夹角角__．
典例导学 如图，直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，以 AB 为直径的半圆切另一
＝3，则 PB 的长为
（B ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．如图，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，∠APB＝50°，则∠AOP 的度数
为
（D ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
3．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 外一点，CA，CD 是⊙O 的切线，A，
D 为切点，连接 BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA 的度数是
(A )
A．2 3
B．3
C．4
D．4－ 3
8．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，点 C，D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A＋∠C＝219°.
9．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，∠OAB＝30°. (1)求∠APB 的度数； (2)当 OA＝3 时，求 AP 的长．
解：(1)∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴PA＝PB，OA⊥PA； ∵∠OAB＝30°， ∴∠BAP＝90°－30° ＝60°， ∴△ABP 是等边三角形， ∴∠APB＝60°.
(2)连接 OP.∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴PO 平分∠APB，即∠APO＝12∠APB＝30°， 又∵在 Rt△OAP 中，OA＝3，∠APO＝30°，
解：(2)∵∠APB＝60°， ∴∠PCE＋∠PDE＝120°， ∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°. ∵CA，CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE＝12∠ACD，∠ODE＝12∠CDB， ∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°， ∴∠COD＝180°－120°＝60°.
∴AP＝tanOA30°＝3 3.
10．如图，AC⊥BC 于点 C，BC＝4，AC＝3，⊙O 与直线 AB，AC，BC 都相 切，切点分别为 E，D，F.求⊙O 的半径．
解：连接 OD，OF. ∵AC⊥BC，BC＝4，AC＝3，∴AB＝5. ∵AC，BF 是⊙O 的切线， ∴∠ODC＝∠OFC＝∠DCF＝90°，OD＝OF， ∴四边形 ODCF 为正方形，∴OD＝CD＝CF， 设 CD＝CF＝x，则 AD＝AE＝3－x， 由切线长定理得 BF＝BE，∴5＋3－x＝4＋x， ∴x＝2，即⊙O 的半径为 2.
腰 CD 于点 P，若 AB＝12 cm，梯形面积为 120 cm2，求 CD 的长．
【思路分析】连接 OP，由切线长定理可知，CD＝BC＋AD，由 AB＝12 cm， 梯形的面积为 120 cm2 即可求出 BC＋AD，从 Nhomakorabea求得 CD.
【自主解答】 连接 OP.∵以 AB 为直径的半圆切另一腰 CD 于点 P，∴OP⊥CD. ∵直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∴∠B＝90°， 即 AD，BC 是半圆的切线， ∴DA＝DP，CB＝CP，∴CD＝BC＋AD. ∵AB＝12 cm，梯形面积为 120 cm2，
1 ∴2(BC＋AD)·AB＝120， 解得 BC＋AD＝20 cm，∴CD＝20 cm.
【名师支招】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有 选择的应用，它是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要 依据．
知识点：切线长定理
1．(杭州中考)P 为⊙O 外一点，PA，PB 分别切⊙O 于 A，B 两点，若 PA
（C）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
4．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，切点分别是点 P，C，D.若 AB＝5，
AC＝3，则 BD 的长是
（C ）
A．4
B．3
C．2
D．1
5．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于点 E，△PCD 的周长为 12， ∠APB＝60°. (1)PA 的长为__66__； (2)求∠COD 的度数．