中考数学思维方法讲义第2讲证明四边形试题

第2讲证明四边形
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

【今日目的】
1、牢记四边形的有关性质及其断定；
2、运用四边形的性质及断定进展有关计算与证明；
3、数学思想方法的合理运用。

【考点透视】
1.平行四边形的性质及断定方法。

2.矩形的性质及断定方法。

3.菱形的性质及断定方法。

4.正方形的性质及断定方法。

5.梯形的概念及断定方法。

6.梯形问题的转化。

【数学思想方法】
§Ⅰ梯形的常见辅助线的添加方法：
通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．〔作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化〕§Ⅱ一招制胜——图形别离法
【精彩知识】
题型一: 选择题
【例1】如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，那么阴影局部的面积是〔〕
A．3 B．2 C．3 D．2
★考点感悟：
●变式练习：
1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，那么PK+QK的最小值为( )
A． 1 B3 C． 2 D3 1
2、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC
的中点.两底差是6，两腰和是12，那么△EFG的周长是〔〕
A.8
B.9
C.10
D.12
3、在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，假设AB＝5，BC＝6，那么CE＋CF的值是〔〕
A．11113
2
．11
113
2
C．11113
2
11
113
2
D．11
113
2
或者1
3
2
题型二:填空题
【例2】如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．那么以下结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，
④AD2=OD·DH中，正确的结论是．
●变式练习：
1. 如图，线段AC=n+1〔其中n为正整数〕，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN
及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记
为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为
S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为S n．当n≥2时，S n﹣S n﹣
1= ．
2、如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，那么
EG2+FH2= 。

1题图 2题图
题型三:计算与证明
Ⅰ 常规试题
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α
〔60°≤α＜90°〕．
O
H
E
D
A
B
〔1〕当α=60°时，求CE的长；
〔2〕当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求C点的位置．
★考点感悟：
Ⅱ 新型试题
【例4】〔1〕如图〔1〕，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD∶GC∶EB 的结果〔不必写计算过程〕；
〔2〕将图〔1〕中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图〔2〕，求HD∶GC∶EB；
〔3〕把图〔2〕中的正方形都换成矩形，如图〔3〕，且DA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此时HD∶GC∶EB 的值与〔2〕小题的结果相比有变化吗？假如有变化，直接写出变化后的结果〔不必写计算过程〕．★考点感悟：
【例5】如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.
〔1〕∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；
〔2〕当AB＝AD时，猜测线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜测；
〔3〕当AB≠AD时，将“点E在AD上〞改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，
AD＝nDE〞，其他条件不变〔如图2〕，求EB
EF
的值〔用含m、n的代数式表示〕。

★考点感悟：
【例6】如图，在矩形OABC中，AO＝10，AB＝8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B 落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，D，C三点．
〔1〕求AD的长及抛物线的解析式；
〔2〕一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停顿运动．设运动时间是为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？
〔3〕点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点M与点
N的坐标〔不写求解过程〕；假设不存在，请说明理由．
y
x
D
E
C
B
A
O
★考点感悟：
【课后测试】
1、如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别
找一点M、N，使△AMN周长最小时，那么∠AMN+∠ANM的度数为〔〕
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
2、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，AD＝5，BC＝9，以
A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，那么△ADE的面积等
于〔〕
A．10 B．11 C．12 D．13
3、如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的
位置，并延长BE交DF于点G．
〔1〕求证：△BDG∽△DEG；
〔2〕假设EG•BG=4，求BE的长．4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，
BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，对角线BD于F．点G为
BC中点，连结EG、AF．
(1)求EG的长；
(2)求证：CF＝AB＋AF．
5、如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O．
〔1〕求边AB的长；
〔2〕如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时〔BE＞CE〕，求CG的长．
局部答案与提示：
【例1】如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∴△BCM∽△BGF，∴
CM BC
GF BG
=，即
CM2
32+3
=。

解得CM=1.2。

∴DM=2﹣1.2=0.8。

∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。

∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×
3
3
2
=，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×
333
22
=。

∴阴影局部面积=S△BDM+S△DFM=
1
2
×0.8×3+
1
2
×0.8×
33
3
2
=。

应选A。

【例3】解：〔1〕∵α=60°，BC=10，∴sinα=
CE
BC
，即sin60°=
CE3
102
=，解得CE=53。

〔2〕①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。

理由如下：
连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，∴AF=FD。

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。

在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD，
∴△AFG≌△CFD〔AAS〕。

∴CF=GF，AG=CD。

∵CE⊥AB，∴EF=GF。

∴∠AEF=∠G。

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=
1
2
AD=
1
2
BC=5。

∴AG=AF。

∴∠AFG=∠G。

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

②设BE=x ，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x ，
在Rt△BCE 中，CE 2
=BC 2
﹣BE 2
=100﹣x 2。

在Rt△CEG 中，CG 2
=EG 2
+CE 2
=〔10﹣x 〕2
+100﹣x 2
=200﹣20x 。

∵CF=GF〔①中已证〕，∴CF 2
=〔
12CG 〕2=14CG 2=14
〔200﹣20x 〕=50﹣5x 。

∴CE 2﹣CF 2=100﹣x 2﹣50+5x=﹣x 2
+5x+50=﹣〔x ﹣52〕2+50+254。

∴当x=52
，即点E 是AB 的中点时，CE 2﹣CF 2
取最大值。

【例4】解：〔1〕HD:GC:EB ＝１:2 :1。

〔2〕连接AG 、AC ，
∵△ADC 和△AHG 都是等腰直角三角形，
∴AD:AC＝AH:AG ＝１:2，∠DAC=∠HAG=45°。

∴∠DAH=∠CAG。

∴△DAH∽△CAG。

∴HD:GC＝AD:AC ＝１:2。

∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。

又∵AD＝AB ，AH ＝AE ，∴△DAH≌△BAE〔SAS 〕。

∴HD=EB。

∴HD:GC:EB＝１:2:1。

〔3〕有变化，HD:GC:EB ＝22m :m +n :n 。

【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的断定和性质，相似三角形的断定和性质，全等三角形的断定和性质，勾股定理。

【分析】〔1〕连接AG ，
∵正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，
∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH ，AB=AD 。

∴A，G ，C 一共线，AB －AE=AD －AH ，∴HD=BE。

∵AE AB
AG 2AE AC 2AB sin45 sin45=
===︒︒
，
∴GC=AC－AG=2AB －2AE= 2〔AB －AE 〕= 2BE 。

∴HD：GC ：EB=1：2：1。

〔2〕连接AG 、AC ，由△ADC 和△AHG 都是等腰直角三角形，易证得
△DAH∽△CAG 与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，
即可求得HD ：GC ：EB 的值。

〔3〕连接AG 、AC ，
∵矩形AEGH 的顶点E 、H 在矩形ABCD 的边上，
DA ：AB=HA ：AE=m ：n ，
∴∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG。

∴AD：AC=AH ：AG=22m :m +n ，∠DAC=∠HAG。

∴∠DAH=∠CAG。

∴△DAH∽△CAG。

∴HD：GC=AD ：AC=22m :m +n 。

∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。

∵DA：AB=HA：AE=m：n，∴△ADH∽△ABE。

∴DH：BE=AD：AB=m：n。

∴HD：GC：EB=22
m:m+n:n。

【例5】解：〔1〕180°－2α。

〔2〕EB=EF。

证明如下：
连接BD交EF于点O，连接BF。

∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，
∠ADC=180°－∠C=180°-α。

∵AB=AD，∴∠ADB=1
2
〔180°－∠A〕=α。

∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。

由〔1〕得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。

又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。

∴OE OB
=
OD OF
，即
OE OD
=
OB OF。

∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。

∴∠EFB=∠EDO=α。

∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。

∴EB=EF。

〔3〕延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，
那么∠G=∠AEG=
()
1801802
180A
==
22
α
α
︒-︒-
︒-∠。

∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。

∴∠EDF=∠G。

∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。

∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。

∴△DEF∽△GBE。

∴
EB BG
=
EF DE。

∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=〔n+1〕DE。

∴BG=AG－AB=〔n+1〕DE－mDE=〔n+1－m〕DE。

∴
EB n1m DE
==n1m
EF DE
+-
+-
（）。

【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的断定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】〔1〕由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：
∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。

∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。

又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。

〔2〕连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得
OE OB
=
OD OF
，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。

〔3〕延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形
的对应边成比例，即可求得
EB
EF
的值。

解析：延长DF,BA交于G，可证△CEM≌△CFM, △CDF≌△BGF,通过线段的简单运算，即可求得。

【例6】【解析】〔1〕根据折叠前后的相等线段，先在Rt△OEC中求出OE长，再在Rt△ADE中运用勾股定理构建方程求AD．然后将O，D，C三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c
求出a，b，c即可．〔2〕分别用含ｔ的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得．〔3〕从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解．
【答案】解：〔1〕∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，AB＝CO＝8，AO＝BC＝10．
由题意得，△BDC≌△EDC．
∴∠B＝∠DEC＝90°，EC＝BC＝10，ED＝BD．
由勾股定理易得EO＝6．
∴AE＝10－6＝4．
设AD＝x，那么BD＝DE＝8－x，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2．
解之得，x＝3，∴AD＝3．
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点O〔0，0〕，∴c＝0．
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点D(3，10)，C(8，0)，
∴解之得
∴抛物线的解析式为：y ＝－x2＋x．
〔2〕∵∠DEA＋∠OEC＝90°，∠OCE＋∠OEC＝90°，
∴∠DEA＝∠OCE．
由〔1〕可得AD＝3，AE＝4，DE＝5．
而CQ＝t，EP＝2t，PC＝10－2t．
当∠PQC＝∠DAE＝90°时，△ADE∽△QPC，
∴＝，即＝，解得t ＝．
当∠QPC＝∠DAE＝90°时，△ADE∽△PQC，
∴＝，即＝，解得t ＝．
∴当t ＝或者时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似．
〔3〕存在．M1〔－4，－32〕，N1〔4，－38〕．
M2〔12，－32〕，N2〔4，－26〕．
M3〔4，〕，N3〔4，－〕．
5、解：〔1〕∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=
1
2
AC=1，OB=
1
2
BD= 3。

在Rt△AOB中，由勾股定理得：2222
OA OB1(3)2
+=+=。

〔2〕①△AEF是等边三角形。

理由如下：
∵由〔1〕知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形。

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。

又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF。

在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，
∴△ABE≌△ACF〔ASA〕。

∴AE=AF。

∴△AEF是等腰三角形。

又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。

②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE=1
2
，BE=
3
2。

由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=3
2。

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°〔三角形内角和定理〕，∠AEG=∠FCG=60°〔等边三角形内角〕，∠EGA=∠CGF〔对顶角〕，
∴∠EAC=∠GFC。

在△CAE与△CFG中，∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG 。

∴CG CF
CE CA
=，即
3
CG2
12
2
=。

解得：CG=
3
8。

【考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的断定和性质，全等三角形的断定和性质，等边三角形的断定和性质，勾股定理。

【分析】〔1〕根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。

〔2〕①确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据条件∠EAF=60°，可以断定△AEF是等边三角形。

②确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。

制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。