新课程理念下数学探究性教学案例研究

新课程理念下数学探究性教学案例研究
□董荣森
一、问题提出
培育学生学会自学、学会探究就是全面发展学生能力的关键前提，就是高中新课程改革的主要任务。

学生学会探究有赖于教师对探究方法的指导，目前中国数学课堂主要特征存有三水平：记忆、表述、探究。

就中学数学课堂教学而言，主要就是分散在课堂教学中学生的思考力水平上升、自学质量和效益显著相对较低的问题，充分反映在以下方面：
现象之一课堂教学中，教师讲的多，包办的多，许多本该达到解释水平的课，不少教师将此下降为记忆水平，“满堂灌”或“满堂问”（填空式问答，懂的要问、不懂的不问）；有的课把教学混同于学科习题机械训练和简单强化，思考力水平明显下降。

现象之二课堂教学中教师无法正确引导学生展开探究性自学的问题较多，许多就是实验探究水平的课，教师没给学生足够多的思索时间和空间，学生对探究过程参予的质量与程度较低，教师常常通过表述或使学生忘记最简便的方法得出结论答案，“表面上像是探究，实际上就是传授”，大部分学生还处在被动拒绝接受的地位，超过没学生亲自资金投入的思考力水平。

要解决现实中存在的问题，首先要明确引起高思考力水平保持和下降的因素有哪些。

低思考力水平必须以求维持须要具有七个要素：①给思维和探究推理小说“乘脚手架”；②为学生提供更多元认知方法；③示范点高水平的操作方式犯罪行为；④保持对证明、表述或意义的特别强调；⑤任务创建在尚无科学知识基础上；⑥在概念间建立联系；
⑦适度的探究时间。

影响高思考力水平下降的因素有六类：①情境问题常规化（学生希望降低要求，教师包办代替）；②重点转移到追求答案的正确性与完整性，不注重意义、理解、概念获得等方面；③时间过多或过少；④课堂管理问题；⑤给予学生的任务不恰当（指向不明或学生缺乏兴趣）；⑥教师对学生低层次结果或过程迁就（如本来要求学生解释思考过程，却接受了学生不正确或不清晰的解释）。

其次我们尝试通过探究性教学方法的案例研究去以获取解决问题的途径二、数学探究性教学方法研究尝试依据㈠《普通高中数学课程标准》的建议
《标准》设立?数学探究?学习活动，以激发学生的数学学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考、积极探索的习惯．这就是说《标准》倡导探究性学习，力图改变学生的学习方式，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生收集和处理科学信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力等，突出创新精神和实践能力的培养。

㈡普通高中数学崭新教材内容选曲的建议
普通高中课程标准实验教科书（人教版）各模块均安排了思考、探究、观察、阅读与思考、探究与发现等活动栏目（见下表）。

这些内容的设置，唤起了学生的自学兴趣，开拓了科学知识视野，能够并使他们产生猛烈的求知欲，在主动自学中回去积极探索、回去想象．教师做为学生探究性自学的指导者，其任务就是调动学生的积极性，鼓励他们学会自学和掌控科学的自学方法，使得他们自已回去以获取科学知识、发展能力，努力做到自已能够辨认出问题、明确提出问题、分析问题和解决问题．为终身自学和工作打下基为。

三、数学课堂探究性教学应用范式㈠基本过程（如下图）
在这个过程中：首先教师创设问题情境，促进学生心智冲突，鼓舞思维，引起问题；在教师的指导下，学生明确提出问题，对完整问题展开变式，其次先自学小组后班级对明确提出的问题展开探讨、交流、修正、甄选出供课堂探讨的问题，学生单一制对所明确提出的问题展开深入探讨，再次在教师的指导下，学生经过交流、探讨、互动明确提出解决问题的方案或过程，阐明和萃取数学规律，最后逐步完善结论或构成悖论，师生共同积极探索，进一步明确提出新问题或展开变式运用。

㈡教学实践
1、创设问题情境,培育问题意识
在数学探究学习活动中，教师首先必须把学生学习的内容巧妙的转化为数学问题思维情境。

但并不是任何问题都能激起学生有效学习的兴味。

教师创设数学问题情境的方法很多，可以从数学与社会的结合点来创设数学问题情境，也可以利用数学的认知矛盾来创设数学问题情境，还可以将教材中的先定理后应用的实际问题，调换为从应用题开始的问题情境创设，以突出?问题解决---建构数学---解决问题?的探究过程等等。

总之,教师要营造一种宽松的探究环境，使问题呈现巧而生趣,准而能思,找准创新思维训练与教材内容之间的结合点.
案例一：普通高中课程标准实验教科书《数学》必修课程5，§1.1正弦定理（第1课时）
在教学中，创设问题情境，供学生探究：一船从港口b航行到港口c，测得bc的距离为a，船在港口c卸货后继续向港口a航行，由于船员忽疏没有测得ca的距离，如果船上有测角仪，他们能否计算出港口a、b之间的距离？
明确提出实际问题后，鼓舞学生探讨下面问题。

⑴这个过程可以转变为什么样的数学问题？
⑵数学建模，即将实际问题化为数学问题，即在△abc中，已知a、c、a如何求c边呢？
①这个问题整体上谈属什么性质的问题？（属求解三角形问题，推论问题的实质就是
解决问题的第一步）
②解三角形问题我们已经掌握了那些主要知识、工具？（已经学过直角三角形的解法，原有的认知结构是解决问题的基础）
③思索解决问题的思路（若想将求解通常的三角形问题转变为求解直角三角形问题？
转变就是一种关键的科学思维方法）
④解法过程:过b作bd⊥ca于d，则bd即为ac高，在rt△adb中，∠adb=90，ab=c,则bd=csina,同理bd=asinc∴csina=asinc,可以解得c
⑶同时获得：a/sina=c/sinc,（实际问题化解了，同时又获得?副产
品?a/sina=c/sinc,谋求答疑却并不是问题探究的唯一目的）
①在△abc中，有a/sina=c/sinc，是否有a/sina=b/sinb=c/sinc呢？
②a/sina=b/sinb=c/sinc为常数k，那常数k就是什么呢？在直角三角形中k=2r,那
任一三角形，k=？思考：教师从学生心智的最近发展区设计问题，在化解实际问题过程中
通过情境的积极探索,不断产生新问题；已化解的问题又沦为明确提出新问题的情境,（当
然在探究的过程中，部分学生也很自然想起了利用三角形
面积为工具，利用平面向量为工具去证明）从而引起在深一层次上去明确提出问题，
进而回去解决问题，最终达至问题化解。

2.搭建认知脚手架，促进探究问题的解决。

维果斯基指出，在测量儿童智力发展时，应当至少确认儿童的两种发展水平：一就是
儿童现有的发展水平，一种就是潜在的发展水平，这两种水平之间的区域称作?最近发展区?。

教学需从儿童潜在的发展水平已经开始，不断缔造代莱?最近发展区?。

心智脚手架
应当根据学生的?最近发展区?去创建，通过脚手架促进作用不停地将学生的智力从一个水
平鼓励至另一个更高的水平，探究新问题须要科学知识的固着点,问题本身与固着点的?潜
在距离?愈远,一般说来探究的难度就愈低。

由此可见,科学知识、经验就是探究能力的基础,无法返回一定的科学知识、经验的多样度回去特别强调探究能力。

?脚手架?的设计和
得出的关键就是必须把握住探究的新问题与学生旧有科学知识固着点之间的距离?度?。

案例二：3月28日东亭中学?有效教学策略研究?公开课，章晓栋老师上得一堂课是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2，第三章§3.3复数的几何意义（第1课时），下面是本节课开始选段，教师在教学时：
我们前面自学了复数的四则运算，就是‘数’的角度去研究复数的，这文言我们必须
从‘形’的角度去研究，运用多媒体创设思维情景，屏幕上表明：
问题1：在几何上我们用什么来表示实数？s1:数轴上的点来表示；
屏幕上表明：实数（数）-----数轴上的点（形）
t：回忆复数的一般形式：z=a+bi(a,b∈r)，一个复数由什么唯一确定？s2：有实部
与虚部唯一确定；
问题2：投影实数的则表示，可以用什么去则表示复数？
s3：用y=ax+b来表示（学生的想法很独特，偏离了教师的预设，不过章老师没有批评，极力引导保持学生的积极性，做得还是比较好）。

思考：为什么学生启而不发，提问偏移教师的预设？我想要：教师在创设探究问题情
境时，?脚手架?的设计发生了问题，问题1与问题2之间的跨度太小，这样探究的新问题
与学生旧有科学知识固着点之间的距离太小，以至学生打听没固着点。

如果我们在问题1
与问题2之间减少问题3：平面上的dealing什么去则表示？（用一对有序实数去则表示，点和有序实数对就是一一对应关系，这样学生自然可以意识到实部和虚部共同组成一对有
序实数与否与点对应，这样可以用城才则表示）。

因此?脚手架?的设计和得出的关键就是
必须把握住不好?度?。

案例三：普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5，第二章§2.2.3等差数列的
前n项和，在公式推导过程，我是这样设计的：
问题1：知名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们晓得怎么求解吗？问题2：1+2+3+…+n=?
（在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导
学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡）设sn=1+2+3+…+n,又有sn=n+(n-
1)+(n-2)+…+1
2sn=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+…+(n+1)，得sn=n(n+1)/2问题3：等差数列
sn=a1+a2+a3+…+an=n(a1+an)/2(学生难从问题2中赢得方法（倒序相乘法）。

但碰到
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q得出am+an=ap+aq)
问题4：除了代莱方法吗？（鼓励学生利用问题2的结论），经过探讨存有学生存有
数学分析：设立等差数列的公差d，则a1+a2+a3+…+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-
1)d]=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+n(n-1)d/2（这里应用领域了问题2的结论）
问题5：sn=na1+n(n-1)d/2=nan-n(n-1)d/2？学生容易从问题4中得到联想：
sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]=nan-[1+2+3+…+(n-1)]d=nan-n(n-1)d/2。

似乎，这又就是一个等差数列的议和公式。

反思：等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过?弱化?的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭?脚手架?的作用不可低估,教师自始至终都应坚持?道而弗牵,强而弗抑,开而弗达?(《礼记〃学记》),诱导学生自己探究数学结论,处理好?放?与?扶?的关系。

3、利用发掘教材中的例题、习题，提升探究的水平
高中课标教材中有许多重要的例题和习题都反映了相关数学本质，蕴含着重要的数学思想和方法，对于这类问题，通过类比、引申、推广，提出新的问题，从而培养学的探究能力.
案例四:普通高中课程标准实验教科书《数学》报读2-1片段一：§2.3.2抛物线的几何性质
在教学时，我选择了这样一道例题：斜率为1的直线经过抛物线y＝4x的焦点f，且与抛物线相交于a、b两点，求线段ab的长．
⑴尝试化解：
方法1：将直线方程与抛物线方程联立，求出a、b两点坐标，再用两点间距离公式。

方法2：将直线方程与抛物线方程阿提斯鲁夫尔谷，算出a、b两点横坐标，再运用抛物线定义，面世本题的数学分析并不难，自学程度中上的学生大都用方法二，自学中下学生大都用方法一。

然而仅仅就题论题，似乎无法体现该题的教学价值，所以在教学中我展开了如下设计。

⑵问题探究：
问题1：同学们能够不能不谋座标就可以谋出来线段ab的长？
方法3：在方法2的基础上由韦达定理可实现不解方程就能解决问题的目的。

问题2：将上题变成：斜率为k的直线经过抛物线y＝2px的焦点f，且与抛物线平行于a、b两点，谋线段ab的长。

探究结果：
①过抛物线焦点的弦长公式
②当直线垂直于x轴时，|ab|=2p，此时|ab|叫抛物线的通径，可以让学生进一步理
解通径的几何意义。

在此过程中同学们还会发现
③学生独立自主明确提出问题：
问题3：在方法一中能不能不求出点的纵坐标？（此问题由学生提出,相对问题一要难一点，所以要求同学们分小组讨论来完成）通过同学们的探索和教师的点拔得出如下成果：
(圆锥曲线的弦长公式)⑶理性概括：
①体现了方程的思想；
②获得别洛耶直线与圆锥曲线平行税金弦长的通常公式.（与焦点毫无关系）③为下
一节课?直线与圆锥曲线的边线关系?的顺利进行打下了基础.
22⑷开放式变换问题：
问题1：在本题的基础上明确提出：以ab为直径的圆和准线有何关系？
问题2：过抛物线焦点f的直线交抛线于a、b两点，通过点a和抛物线顶点的直线交抛物线于点d，试判断直线db与x轴的位置关系.
片段二：普通高中课程标准实验教科书《数学》必修课程3§3.3几何概型（第102
页例题3）在全等直角三角形abc中，在斜边ab就任挑一点m，谋am大于ac的概率。

在教学时，我通过变式
变式1：条件维持不变，谋并使△acm为钝角三角形的概率？变式2：条件维持不变，谋并使△acm为直角三角形的概率？
变式3：把?在斜边ab上任取一点m?改为?过顶点c任作一射线l与斜边ab交一点m?，求am小于ac的概率？
变式4：在全等直角三角形abc中，若点m在△abc内，谋并使△acm为钝角三角形的概率？
反思：对典型例题通过类比、引申、拓展延伸，提出新的问题，让学生深切体验到?新?知识的产生过程，体会数学学科严谨、求实、继承、创新的理性思维特征，在层出不
穷的新知识、新问题、新体验中得到动力，同时也深深感受到探究的乐趣，培养了发现问题，探究究问题的能力。

培育学生的探究意识和探究能力就是长期的、日集月辛苦的，应当带入平时的课堂教
学之中。

教师应改变传统的教学理念，自学代莱教育教学理论，以适应环境当前的教育发
展的形势。

笔者指出培育学生的探究精神和探究能力，应当特别注意处置不好以下五个关系：处置不好师生、生生之间的关系；处置不好科学知识、技能和能力之间的关系；处置
和培育与之有关的各种能力之间的关系；处置不好课内与课外的关系；处置不好学科之间的关系。