江苏省淮安市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析

江苏省淮安市2021届新高考数学第四次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1
mx y x n
+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-
【答案】A 【解析】 【分析】
由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】 根据题意，20
1
x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，
又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-=
==+++ 1mn
x n
-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】
本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.
2．己知函数()()1,0,
ln ,0,
kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值
范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1
C ．()0,∞+
D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
考虑当0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解，令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k 的取值范围. 【详解】
因为()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，
所以0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解.
令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 在()0,∞+有两个不同的零点. 又()1kx
h x x
-'=
， 当0k ≤时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上为增函数，
()h x 在()0,∞+上至多一个零点，舍.
当0k >时，
若10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
x k ，则()0h x '>，()h x 在10,k ⎛⎫
⎪⎝⎭上为增函数； 若1,⎛⎫∈+∞
⎪⎝⎭
x k ，则()0h x '<，()h x 在1,k ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；
故()max 11ln h x h k k ⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
， 因为()h x 有两个不同的零点，所以1
ln 0k
>，解得01k <<. 又当01k <<时，
11e k <且10k h e e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在一个零点.
又22
ln +122ln e e e h t et k k k ⎛⎫
=-=+- ⎪⎝⎭
，其中11t k =>. 令()22ln g t t et =+-，则()2et
g t t
-'=
， 当1t >时，()0g t '<，故()g t 为()1,+∞减函数， 所以()()120g t g e <=-<即20e h k ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
. 因为
2211e k k k >>，所以()h x 在1,k ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上也存在一个零点. 综上，当01k <<时，()h x 有两个不同的零点. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.
3．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一
名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种 C ．22种 D ．24种
【答案】B 【解析】 【分析】
分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】
根据医院A 的情况分两类：
第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有22
32C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +12
2210C A =种不同分配方案；
第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有3
3A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有3
3A +1
2
2210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.
4．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i -，即可得z i -的最大值. 【详解】
由1z =知，复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离，
又复数z 对应的点所在圆的圆心到()0,1的距离为1， 所以max 112z i -=+=. 故选：B 【点睛】
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12
C ．15-
D ．18-
【答案】A 【解析】 【分析】
由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】
设公差为d ，则1123,
8780,2a d a d +=-⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨
=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.
故选：A. 【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.
6．函数3
222x x
x y -=+在[]6,6-的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】
设3
2()22x x
x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；3
66
26(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故
选B ． 【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ
，且cos 5
θ=，则该双曲线的离心
率为（ ） A
B
C ．2
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】
解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈
又cos θ=
sin θ=tan 2θ=，2b a =
，所以离心率c e a === 故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题
8．已知函数()()()1sin
,132
22,3100x x f x f x x π
⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩
，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，
并记相应的极大值为12,,?·
·n b b b ，则()1
n
i
i
i a b =+∑的值为（ ）
A ．5022449+
B ．5022549+
C ．4922449+
D ．4922549+
【答案】C 【解析】 【分析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当2x =时有极大值(2)1f =，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点n a 的通项公式2n a n =，且相应极大值12n n b -=，分组求和即得
【详解】
当13x ≤≤时，()cos 22
x f x π
ππ-⎛⎫
'=
⎪⎝⎭
， 显然当2x =时有，()0f x '=， ∴经单调性分析知
2x =为()f x 的第一个极值点
又∵3100x <≤时，()2(2)f x f x =- ∴4x =，6x =，8x =，…，均为其极值点 ∵函数不能在端点处取得极值 ∴2n a n =，149n ≤≤，n Z ∈ ∴对应极值12n n
b -=，149n ≤≤，n Z ∈
∴()4949
491
(298)491(12)
22449212i i i a b =+⨯⨯-+=
+=+-∑ 故选：C 【点睛】
本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题
9．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
设()()g x xf x =，若函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.
所以，“()y f x =是奇函数”⇒“()y xf x =的图象关于y 轴对称”；
若函数()y f x =是R 上的偶函数，则()()()()()g x xf x xf x xf x g x -=--=-==，所以，函数
()y xf x =的图象关于y 轴对称.
所以，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”⇒“()y f x =是奇函数”.
因此，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题. 10．已知复数2
1z i =+　
，其中i 为虚数单位，则z =（ ）
A B
C ．2
D
【答案】D 【解析】 【分析】
把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】 解：()()()2121111i z i i i i -=
==-++-
，
则z ==故选：D. 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题. 11．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -
C ．6-
D ．6
【答案】A
【分析】
由复数的运算法则计算． 【详解】
因为()()5z i i --=，所以5
6z i i i
=+=- 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数的运算．属于简单题．
12．已知函数2(0)
()ln (0)
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的
取值范围（ ）． A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞
C ．(0,)+∞
D ．[,1)-∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件可知方程()0f x x a +-=有且只有一个实根等价于函数()y f x =的图象与直线y x a =-+只有一个交点，作出图象，数形结合即可． 【详解】
解：因为条件等价于函数()y f x =的图象与直线y x a =-+只有一个交点，作出图象如图，
由图可知，1a >， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设函数()()21
1log 2,12,1
x x x f x x -⎧+-<=⎨
≥⎩，则()()22log 3f f -+=______.
【答案】92
【解析】 【分析】
由自变量所在定义域范围，代入对应解析式，再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加，即为答案. 【详解】
因为函数()()21
1log 2,12,1
x x x f x x -⎧+-<=⎨
≥⎩，则()()221log 24l 3221og f ==⎡+--⎤⎣⎦
+-= 因为22log 3log 21>=，则()2
23
log log 31
2
22
23g 2
lo 3f -==
= 故()()2392log 3322
f f -+=+
= 故答案为：92
【点睛】
本题考查分段函数求值，属于简单题.
14．在数列{}n a 中，已知*
111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则数列{}n a 的的前21n +项和为21n S +=__________.
【答案】223n +- 【解析】 【分析】
由已知数列递推式可得数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到2n S ，再由21221n n n S S a ++=+求解． 【详解】
解：由*111,2()n n n a a a n N +==∈g ，
得112(2)n n n a a n --=g …
， ∴
1
1
2(2)n n a n a +-=…， 则数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．
∴12
22,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数为偶数，
21321242()()n n n S a a a a a a -∴=++⋯++++⋯+
212(1222)(222)n n -=+++⋯++++⋯+
2
1
123(1222)332312
n
n n --=+++⋯+==--g g ．
∴221221323223n n n n n n S S a +++=+=-+=-g ．
故答案为：223n +-． 【点睛】
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题． 15．已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =U ____________. 【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】
根据并集的定义计算即可. 【详解】
由集合的并集，知A B =U {}2,3,5. 故答案为：{}2,3,5 【点睛】
本题考查集合的并集运算，属于容易题.
16．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。

问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。

问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___. 【答案】10 900 【解析】 【分析】
由题意列出方程组，求解即可. 【详解】
由题意可得100100900
x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得10y 900x ==，.
故答案为10 900
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2ln(1)(0)1
+=-+>+ax x
f x x a x ，且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为12y x b =+.
（1）求()f x 的极值点与极值. （2）当12
k ≥
，[)0,x ∈+∞时，证明：()2
f x kx ≤. 【答案】（1）极小值点为=0x ，极小值为0，无极大值；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
(1)先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求a ，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；(2)令
2()()g x kx f x =-，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为()1,-+∞.
()()()()()()
222
211211111ax x ax x x ax a f x x x x ++-'-+-=-=+++ ()3114a f =
'-，由已知得()1
12
f '=，解得1a = ∴()2ln(1)=ln(1)1
+=-+-++x x
f x x x x x ， ()1111x f x x x +'=-
=+ 令()=0f x '，得=0x
令()0f x '>，得0x >，∴()f x 在()0+∞，
上单调递增. 令()0f x '<，得10x -<<∴()f x 在(1,0)-上单调递减 ∴()f x 的极小值点为=0x ，极小值为0，无极大值.
（2）证明：由（1）知1a =，∴()2ln(1)=ln(1)1
+=-+-++x x
f x x x x x ，
令()()2
=-g x kx f x ， 即()2
g ln(1)=-++x kx
x x
()()2122111221111
k kx x x k x k g x kx x x x -⎛
⎫+ ⎪⎡⎤+-⎣⎦⎝⎭'=-+==
+++
∵12k ≥，[)0,x ∈+∞， ∴()21220
1
k kx x k g x x -⎛⎫
+ ⎪⎝⎭='≥+恒成立. ∴()2
g ln(1)=-++x kx
x x 在[)0,+∞上单调递增
又()00g =，∴()()00g x g ≥=在[)0,+∞上恒成立 ∴2ln(1)0-++≥kx x x 在[)0,+∞上恒成立 ∴2ln(1)≥-+kx x x ， 即2ln(1)-+≤x x kx ∴()2
f x kx ≤
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
18．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝
⎭的图象向左平移2π后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝⎭图
象重合.
（1）求ω和ϕ的值；
（2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，求()h x 的单调递增区间及图象的对称轴方程.
【答案】（1）2ω=，3
π
ϕ=；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦，212
k x ππ=+，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．
（2）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】
（1）由题意得2ω=，
5sin 2cos 2263f x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+=+
=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2
π
ϕ<
Q ，3
π
ϕ∴=
（2）()sin 2cos 2881212h x f x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
由23
2
x k π
π
π+
=+
，解得212
k x ππ
=
+， 所以对称轴为212
k x ππ
=
+，k Z ∈. 由222232k x k πππ
ππ-≤+≤+，
解得51212
k x k ππππ-≤≤+， 所以单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
., 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】 (Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()3
4
E X = ；(Ⅲ)4 【解析】 【分析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m
⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，解得答案.
【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：
2
50520
⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.
()25285014C p X C ===，()11
532815128C C p X C ===，()23283
328
C p X C ===
. 故分布列为：
()0121428284
E X =⨯
+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m
⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，故4m ≥. 故m 的最小值为4. 【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．设直线l 与抛物线2
2x y =交于,A B 两点，与椭圆22
142
x y +=交于,C D 两点，设直线
,OA ,OB ,OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1,k 2,k 3,k 4k ，若OA OB ⊥.
（1）证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设直线l 的方程为y=kx+b 代入抛物线的方程，利用OA ⊥OB ，求出b ，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出12k k +，34k k +，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得12x x +，12x x ，
34x x +，34x x 代入12k k +，34k k +，化简即可求解.
【详解】
（1）证明：由题知，直线l 的斜率存在且不过原点， 故设:(0),l y kx b b =+≠()11,,A x y ()22,B x y
由2
2y kx b
x y
=+⎧⎨
=⎩可得2220x kx b --=， 12122,2x x k x x b ∴+==-.
,OA OB ⊥Q 0OA OB ∴⋅=u u u r u u u r
，
()2
12
121212
04
x x x x y y x x ∴+=+=，
故2b =
所以直线l 的方程为2y kx =+ 故直线l 恒过定点(0,2).
（2）由（1）知122,x x k +=124x x =-
12
1212
y y k k x x ∴+=
+ 1212
22
kx kx x x ++=
+ 12
22
2k x x =+
+ ()
1212
22x x k x x +=+
k =
设()33,,C x y ()44,D x y
由222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2212840k x kx +++=，
3428,12k x x k ∴+=-+34
2
4
12x x k =+ 343434
y y k k x x ∴+=
+ 3434
22
kx kx x x ++=
+ 34
22
2k x x =+
+ ()
3434
22x x k x x +=+
2k =-
()123412
k k k k ∴+=-
+，即存在常数1
2λ=-满足题意.
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。

中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.
（1）根据上述样本数据，将22⨯列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？ （2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ξ，求随机变量ξ的期望和方差；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为
1
2
，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？ 附：
20()P K k ≥ 0.050
0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】（1）列联表见解析，99%；（2）95，18
25
；（3）第二种优惠方案更划算. 【解析】 【分析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论； （2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为35
P =，知ξ服从二项分布，即3
(3,)5B :ξ，可求得其期
望和方差；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元，若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案. 【详解】
（1）由已知得出联列表：
，所以2
2
60(1081230)7.033 6.63522384020
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴ 有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为123205
P =
=，3
()5B ξ∴:3, ，
()()393318
=3,31555525
E D ξξ⎛⎫∴⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元
若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，
()020********=224P X C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11
121111080==222P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，()2
22
111
1020=224
P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()111
1200108010201095424
E X ∴=⨯+⨯+⨯=
11001095>∴Q ，选择第二种优惠方案更划算
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题. 22．已知等差数列
和等比数列
满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
【答案】 (I) ，；(II)
【解析】 【分析】
(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案. (II) ，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】 (I)
，故
，
解得，故，.
(II)
，故
.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 23．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若对于任意m ，*N n ∈，且m n ≠，都有2m n m n m n S a a
a a m n m n
+-=+++-. （1）求证：数列{}n a 是等差数列
（2）若数列{}n c 满足(
)2
*
12N
n n n n a a c a n ++=-∈，且等差数列{}n
a 的公差为13
，存在正整数,p q ，使得p q a c +，求1a 的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）118
. 【解析】 【分析】
（1）用数学归纳法证明即可；
（2）根据条件可得2
9
n n c a ==+，然后将p q a c +用1a ，p ，q 表示出来，根据1183(31)1
a m p q =--++
是一个整数，可得结果． 【详解】
解：（1）令2m =，1n =，则
23
223
S a =， 即
2123
3
a a a a ++=，
∴1322a a a +=，∴123,,a a a 成等差数列， 下面用数学归纳法证明数列{}n a 是等差数列， 假设12,,,k a a a L 成等差数列，其中3k ≥，公差为d ， 令m k =，1n =1
121
k k S a a d k +=+++， ∴()()1112(1)
(1)k k k k S k a a d k a a a k d +=+++=++++
12(1)k k S a a k d =++++，
∴()1112(1)2k k S a a k d a kd +=+++=+， 即11k a a kd +=+，
∴121,,,,k k a a a a +L 成等差数列， ∴数列{}n a 是等差数列； （2）2
121233n n n n n n c a a a a a ++⎛⎫⎛⎫==+
+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
， 2
9
n a =+，
若存在正整数,p q ，使得p q a c +是整数， 则11112(1)(1)339
p q a c a p a q +=+
-++-+ 122
239
p q a Z +-=+
+∈， 设122
239
p q m a +-=+
+，m Z ∈， ∴1183(31)1a m p q =--++是一个整数，
∴1181a ≥，从而1118
a ≥
，
又当11
18
a =时，有131a c Z +=∈， 综上，
1a 的最小值为
118
． 【点睛】
本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题．。