河南省信阳市艺术中学2019年高二数学文期末试题含解析

河南省信阳市艺术中学2019年高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知f（x）=x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（）
A．4 B．﹣2 C．0 D．2
参考答案：
B
【考点】63：导数的运算．
【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值
【解答】解：求导得：f′（x）=2x+2f′（1），
令x=1，得到f′（1）=2+2f′（1），
解得：f′（1）=﹣2，
故选：B．
2. 设，则是的（）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
3. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265，
②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A．②、④都可能为分层抽样 B．①、③都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．②、③都不能为系统抽样
参考答案：
A
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据题意，结合三种抽样方法得到数据的特点是：系统抽样方法得到的数据每个数据与前一个的差都为27，分层抽样方法得到的数据在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；依次分析四组数据，判断其可能的情况，即可得答案．
【解答】解：①在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；
②在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的；
③一定不是系统抽样和分层抽样；
④在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；
同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的；
故选A．
【点评】本题考查了抽样方法的判定问题，解题时应熟悉常用的几种抽样方法是什么，各种抽样方法的特点是什么，是基础题．
4. 若复数(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为()
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
参考答案：
A
略
5. 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）
A．B．C．24 D．48
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．
【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．6. 已知点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I 为△PF1F2的内心，若S=S S成立，则双曲线的离心率为（）
A．4 B．C．2 D．
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得
△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入
已知式S=S S，化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．
【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是：
△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，
∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|，
=×|PF2|×|IG|=|PF2|，
S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．
∵S=S S，
∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|，
两边约去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|，
∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，
根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
∴2a=c?离心率为e=2，
故选：C．
7. 已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
8. 现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生人，女生人 B ．男生人，女生人 C ．男生人，女生人 D ．男生人，女生人. 参考答案：
B 解析：设男学生有人，则女学生有人，则
即
9. 已知函数的图象分别与直线
交于
两点,则
的最
小值为( )
A. 2
B.
C.
D.
参考答案：
B
10. 如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为 （ ）
(A) D 、E 、F (B) F 、D 、E (C) E 、F 、D (D) E 、D 、F
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若命题
“存在实数x,使
”是假命题，则实数的取值范围
是
.
参考答案：
12. M
是抛物线y=4x 2+1
上的一个动点，且点M 是线段OP 的中点（O 为原点），P 的轨迹方程为 ．
参考答案：
y=2x 2
+2
【考点】KK ：圆锥曲线的轨迹问题．
【分析】设出P 的坐标，求出M 的坐标，动点M 在抛物线y=4x 2+1上运动，点M 满足抛物线方程，代入求解，即可得到P 的轨迹方程．
【解答】解：设P 的坐标（x ，y ），由题意点M 为线段OP 的中点，可知M （，），
动点M 在抛物线y=4x 2+1上运动，所以=4
+1，所以y=2x 2+2
动点P 的轨迹方程为：y=2x 2+2． 故答案为：y=2x 2+2．
13. 若
是
上的增函数，且，设
，若“
”是“
的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.
参考答案：
14. 已知命题p ：“?n ∈N*，使得 n 2＜2n ”，则命题￢p 的真假为 ．
参考答案：
假
根据特称命题的否定是全称命题，再判断真假即可 解：命题是特称命题，则命题的否定是“?n ∈N ，n 2≥2n ”， 当n=1时不成立．
故￢p 为假命题， 故答案为：假． 15. 若复数为纯虚数，则t 的值为。

参考答案：
略
16. 已知函数f（x）=sin2x+acosx+a，a∈R．若对于区间上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，则a的取值范围．
参考答案：
（﹣∞，0]
【考点】三角函数的最值．
【分析】由题意可得0≤cosx≤1，f（x）=﹣++a+1，分①当＜0、②当0≤≤1、③当＞1三种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．
【解答】解：函数f（x）=1﹣cos2x+acosx+a=﹣++a+1，a∈R．
对于区间上的任意一个x，都有0≤cosx≤1，
再由f（x）≤1成立，可得f（x）的最大值小于或等于1．
分以下情形讨论：
①当＜0，则cosx=0时函数f（x）取得最大值为a+1，再由a+1≤1解得a≤0，
综上可得，a＜0．
②当0≤≤1，则cosx=时函数f（x）取得最大值为+a+1，
再由+a+1≤1，求得﹣4≤a≤0．
综上可得，a=0．
③当＞1，则cosx=1时函数f（x）取得最大值为2a，再由2a≤1得a≤．
综上可得，a无解．
综合①②③可得，a的范围为（﹣∞，0]，
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
17. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是________ 参考答案：
63
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题12分）函数f(x)＝(m2－m－5)x m－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
参考答案：
.解：根据幂函数的定义得：m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2，
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.
略
19. 已知：f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，当x∈（﹣3，2）时，f（x）＞0；x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）c为何值时，ax2+bx+c≤0的解集为R．
参考答案：
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意得﹣3，2是方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两根，利用根与系数的关系得到关于a，b的方程组，解出系数；（2）由（1）知道a＜0，可知只需△≤0，
即 25﹣12c≤0，由此求得c的值．
【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集为x∈（﹣3，2），
∴﹣3，2是方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两根，
∴，且a＜0，可得，
∴f（x）=﹣3x2﹣3x+18．
（2）由a＜0，知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，要使不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集为R，只需△≤0，
即25+12c≤0，故c≤﹣．
∴当c≤﹣时，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R．
【点评】本题考查二次函数、一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．
20. （本小题满分12分）设F1，F2分别是椭圆E： (0<b<1)的左，右焦点，过F1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|； (2)若直线的斜率为1，求b的值．
参考答案：
(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程为y＝x＋c，其中.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足
因为直线AB的斜率为1，
21. （本小题14分）倾角为的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线准线上的动点.
（1）△ABC能否为正三角形？
（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围.
参考答案：
（1）直线方程为，由可
得........ (2分)
若△ABC为正三角形，则
，由，那么CA与轴平行，此时........ (4分)
又.与|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC不可能是正三角形. ..... (6分)
（2）设，则，不可以为负，所以不为钝角. ....... (9分)
若为钝角，则，，则，得
........ (11分)
若角为钝角，则且C、B、A不共线.可得且. ....... (13分)
综上知，C点纵坐标的取值范围是....... (14分) 22. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且
.
(1)证明：平面平面；
(2)求棱与所成角的大小；
(3)若点为的中点，求二面角的平面角的余弦值.
参考答案：
(1)解：面，，又
面
平面平面
…………4分
(2)解：如图建立空间直角坐标系，，，，
，
与所成角为
…………9分
(3)解：，
令
，
，
可得面的一个法向量为，
版权所有
略。