54平面向量应用举例15944 共59页
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|AB| |AC|
A
A D B C 0 , A D B C .ABAC.
|A A B B ||A A C C |1 2, B A C 60.
所以△ABC为等边三角形．
B
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D C
题 型 二 平面向量在物理中的应用
【例 2】质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿) 的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为___2__7___．
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☺方法二
如则如 则如 则图|图 |图 |OOO→→→FF，，F，111||||||22FF2F＋＋＋→→→111FFF|||FFF222→|→|→|121212F＝F＝F＝222|||||2|2FF2F＝＝＝111|||22||2|OO＋＋O＋→→→FFF|||FF2F22|||222222，||，|，222－－－222|||FFF111||||||FFF222|||cccooosss 666000°°°＝＝＝111222，，，
步步高大一轮复习讲义
平面向量应用举例
山东金榜苑文化传媒集团
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知识网络
向量及基本概念
向量的线性运算
平
面
向
量
向量的数量积
向量的表示 向量的加法 向量的减法 向量的数乘
几何意义 运算律 性质
几何意义 运算律 运算律
共线向量定理
平面向量基本定理
坐标运算
向量的应用
向量在物理中的应用
向量在几何中的应用
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要点梳理
忆一忆知识要点
3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、 三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量 给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充 要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上， 可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合 问题．
即|即 |即 ||FFFF 33∠3∠∠||3 |＝＝＝|OOO 222FFF2111FFF2F 22FFF为为为1 2121212 ＋＋＋直直直角角角(|||FFF|→，→，→F ，112212FFF1 2 F 222|||2 222|＝＝＝)22227772... 7.
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途 径主要有两种：
一是利用平面向量平行或垂直的充要条件； 二是利用向量数量积的公式和性质．
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基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
90 y2 8x(x0)
2 26 m/s
A B
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题 型 一 应用平面向量的几何意义解题
【例 1】平面上的两个向量O→A，O→B满足|O→A|＝a，|O→B|＝b，且O→A⊥O→B， a2＋b2＝4.向量O→P＝xO→A＋yO→B (x，y∈R)，且
解解::由由☺已已方法知知一条条件件由FF已111＋＋知FF条222＋＋件FFF333＝＝1＋00，，F2＋F3＝0，
则则 FF333＝＝－－FF111－－则FF222，F，3＝－F1－F2， FF232323＝＝FF212121＋＋FF22222＋＋F22||23FF＝111||||FFF21222＋||ccooFss2266＋00°°2＝＝|F212|88|F.. 2|cos 60°＝28. 因因此此，，||FF333||＝＝22因77此.. ，|F3|＝2 7.
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变式训练 2
如图所示，已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),F 的大小为 50 N,F 拉着一个 重 80 N 的木块在摩擦因数 μ＝0.02 的水平
解解解解 解解: :解平 功:::设:则 所 所F设则 所 所 ∴F设设 设面 分:则 所 所 ∴F则 所 所 ∴ 则 所 所 ∴FF设则 所 所F木在以 以木在设F以 以F木上 别 木 木在在 在 则 所 所F以 以F以 以 以 以FFF木在FFF以 以块，竖·F摩块，， ，竖·s木运 为 摩块块 在 块f竖·竖 以 以 竖··s摩摩 摩f块s＝sFs竖··fff摩＝·fs的s＝＝ ＝·直··的sf擦ff直动 多块擦的s＝的 竖 的s·s·＝直直 摩 直擦擦 擦 ＝所s的sf＝直所＝ ＝所 所|擦|＝F＝·|||F位位方了 少方力F的sFF力位|位 直 位方方 擦 方|力力 力 |做F位＝||f方做|||f做 做力|f··|f|f||||？移·移··|F向|向f|位·||·移移 方 移2|向s||向 力 向s····的 |f||fsss移|向的 |fs的 的 ||ff·|s0||fssss|||c|f·c的为|的|c上为ccs移的|上为|的 的|为 向 为||c上·上 上occm功cscco的为|o|oof上功功 功ocs|osoooo大sscss的的为|大s大o,大 大上s的的的 的ssscss问分ss3oss大的分分 分，3s333so1，， ，，0s3小1111分大，0小00小 小0的小分分 分s81分s别°08小888F分别3别 别°°°°，08＝1°为000＝＝ ＝力00小＝为为 为分力力 力°为0＝为力,8°为°°力为°为 为°摩＝°5＝＝ ＝0|＝5＝55大为|＝||f力5大大 大05|fff°|大|000擦f51|f＝||主0＝5×55111＝＝ ＝|5×|× ×小|10.1＝大＝小小 小×0f00...10力 小1011|..页(10200＝×(11((×2为822×× ×小(为8(为 为88.02××00010为8为8f000×03(202×3× ×× －33|02220为8－|所－ －F||×02×F0FF2－|000－|FJ×0F|×J22JJ0×× ×|2||s－做 |222，2s22ss×F|，30， ，5i2×|2s35i3355ii2n2s(n＝×3nn)5i|(((的2＝－)＝ ＝))32s5i－n×－(－ －－＝－ －×)× ×n335i(－3＝33)×n－5(03＝)×51550200－01113×20522000°00)1300°2°°.05)))0＝200＝22...0°15＝0＝ ＝＝)000＝ ＝00001.0＝0°＝J20)0°JJJ2.22)＝0＝5.－.0＝20＝5355－0.－ －..＝＝ ＝33305－＝200032×052－1＝5×× ×J2＝2231113JJJ×220.10，J222...1，， ，121211×.×21211221，1J(J1JJ＝12JJ(((＝N2＝ ＝...J(，N，NN.1＝..11212N.)J(2J()))＝2＝22，N，)N.， ，52.555，(5)2()((2N，N(NN，5N5)()))，(N，)， ，N，)，)，
a2(x
1 )2 2
b2(
y
1 )2 2
1
.
(1)如果点
M为Biblioteka 段AB的中点,求证:M→P＝
(
x
1 2
)
O→A＋
(
y
1 2
)
O→B；
(2)求|O→P|的最大值，并求此时四边形 OAPB 面积的最大值.
对第(1)问,可先求 O M ,再由条件即可得到结论; 对 第(2)问, 先设点M为线段AB的中点,进而利用第(1)问的结 论,并由条件确定P, O, A, B四点共圆,结论即可得到．
忆一忆知识要点
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是_矢__量__,它 们的分解与合成与向量的__加__法__和__减__法___相似，可以 用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s
的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ (θ为F与s的夹角)．
当当且且仅仅当当 aa＝＝bb＝＝ 22时时,,四四边边形形 OOAAPPBB 的的面面积积最最大大,,最最大大值值为为 22..
探究提高
本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解 第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题, 突破这一难点的关键主要是从设点M为线段AB的中点入手, 借助条件及第(1)问的结论,去探究 O P 的最大值等问题．
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变式训练 1
已知非零向量
AB与AC
满足
( AB AC)BC0, |AB| |AC|
且
|
AB AB| |
AC AC|
12,
则∆ABC为( D )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
令AD AB AC, 则 A D 平 分 B A C .
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性 运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全 等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题,常用 共线向量定理：
a //b a b (b 0 ) x1y2x2y10;
(2)证a 明 垂b 直 问题a ，b 常 用0 数量x积1x的2 运算y1性y2质0;
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ a b x1x2y1y2 (θ为 a与 b的 夹 角 ). | a || b | x12y12 x22y22
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要点梳理
故 P，O，A，B 四点都在以 M 为圆心、1 为半径的圆上， 所以当且仅当 OP 为圆 M 的直径时，|O→P|mmaaxx＝2.
这这时时四四边边形形 OOAAPPBB 为为矩矩形形，， 则则 SS 四四边边形形OOAAPPBB＝＝||OO→→AA||··||OO→→BB||＝＝aabb≤≤aa22＋＋22 bb22＝＝22，，
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|AB| |AC|
A
A D B C 0 , A D B C .ABAC.
|A A B B ||A A C C |1 2, B A C 60.
所以△ABC为等边三角形．
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D C
题 型 二 平面向量在物理中的应用
【例 2】质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿) 的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为___2__7___．
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☺方法二
如则如 则如 则图|图 |图 |OOO→→→FF，，F，111||||||22FF2F＋＋＋→→→111FFF|||FFF222→|→|→|121212F＝F＝F＝222|||||2|2FF2F＝＝＝111|||22||2|OO＋＋O＋→→→FFF|||FF2F22|||222222，||，|，222－－－222|||FFF111||||||FFF222|||cccooosss 666000°°°＝＝＝111222，，，
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向量及基本概念
向量的线性运算
平
面
向
量
向量的数量积
向量的表示 向量的加法 向量的减法 向量的数乘
几何意义 运算律 性质
几何意义 运算律 运算律
共线向量定理
平面向量基本定理
坐标运算
向量的应用
向量在物理中的应用
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要点梳理
忆一忆知识要点
3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、 三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量 给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充 要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上， 可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合 问题．
即|即 |即 ||FFFF 33∠3∠∠||3 |＝＝＝|OOO 222FFF2111FFF2F 22FFF为为为1 2121212 ＋＋＋直直直角角角(|||FFF|→，→，→F ，112212FFF1 2 F 222|||2 222|＝＝＝)22227772... 7.
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途 径主要有两种：
一是利用平面向量平行或垂直的充要条件； 二是利用向量数量积的公式和性质．
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1 2 3 4 5
答案
90 y2 8x(x0)
2 26 m/s
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题 型 一 应用平面向量的几何意义解题
【例 1】平面上的两个向量O→A，O→B满足|O→A|＝a，|O→B|＝b，且O→A⊥O→B， a2＋b2＝4.向量O→P＝xO→A＋yO→B (x，y∈R)，且
解解::由由☺已已方法知知一条条件件由FF已111＋＋知FF条222＋＋件FFF333＝＝1＋00，，F2＋F3＝0，
则则 FF333＝＝－－FF111－－则FF222，F，3＝－F1－F2， FF232323＝＝FF212121＋＋FF22222＋＋F22||23FF＝111||||FFF21222＋||ccooFss2266＋00°°2＝＝|F212|88|F.. 2|cos 60°＝28. 因因此此，，||FF333||＝＝22因77此.. ，|F3|＝2 7.
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变式训练 2
如图所示，已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),F 的大小为 50 N,F 拉着一个 重 80 N 的木块在摩擦因数 μ＝0.02 的水平
解解解解 解解: :解平 功:::设:则 所 所F设则 所 所 ∴F设设 设面 分:则 所 所 ∴F则 所 所 ∴ 则 所 所 ∴FF设则 所 所F木在以 以木在设F以 以F木上 别 木 木在在 在 则 所 所F以 以F以 以 以 以FFF木在FFF以 以块，竖·F摩块，， ，竖·s木运 为 摩块块 在 块f竖·竖 以 以 竖··s摩摩 摩f块s＝sFs竖··fff摩＝·fs的s＝＝ ＝·直··的sf擦ff直动 多块擦的s＝的 竖 的s·s·＝直直 摩 直擦擦 擦 ＝所s的sf＝直所＝ ＝所 所|擦|＝F＝·|||F位位方了 少方力F的sFF力位|位 直 位方方 擦 方|力力 力 |做F位＝||f方做|||f做 做力|f··|f|f||||？移·移··|F向|向f|位·||·移移 方 移2|向s||向 力 向s····的 |f||fsss移|向的 |fs的 的 ||ff·|s0||fssss|||c|f·c的为|的|c上为ccs移的|上为|的 的|为 向 为||c上·上 上occm功cscco的为|o|oof上功功 功ocs|osoooo大sscss的的为|大s大o,大 大上s的的的 的ssscss问分ss3oss大的分分 分，3s333so1，， ，，0s3小1111分大，0小00小 小0的小分分 分s81分s别°08小888F分别3别 别°°°°，08＝1°为000＝＝ ＝力00小＝为为 为分力力 力°为0＝为力,8°为°°力为°为 为°摩＝°5＝＝ ＝0|＝5＝55大为|＝||f力5大大 大05|fff°|大|000擦f51|f＝||主0＝5×55111＝＝ ＝|5×|× ×小|10.1＝大＝小小 小×0f00...10力 小1011|..页(10200＝×(11((×2为822×× ×小(为8(为 为88.02××00010为8为8f000×03(202×3× ×× －33|02220为8－|所－ －F||×02×F0FF2－|000－|FJ×0F|×J22JJ0×× ×|2||s－做 |222，2s22ss×F|，30， ，5i2×|2s35i3355ii2n2s(n＝×3nn)5i|(((的2＝－)＝ ＝))32s5i－n×－(－ －－＝－ －×)× ×n335i(－3＝33)×n－5(03＝)×51550200－01113×20522000°00)1300°2°°.05)))0＝200＝22...0°15＝0＝ ＝＝)000＝ ＝00001.0＝0°＝J20)0°JJJ2.22)＝0＝5.－.0＝20＝5355－0.－ －..＝＝ ＝33305－＝200032×052－1＝5×× ×J2＝2231113JJJ×220.10，J222...1，， ，121211×.×21211221，1J(J1JJ＝12JJ(((＝N2＝ ＝...J(，N，NN.1＝..11212N.)J(2J()))＝2＝22，N，)N.， ，52.555，(5)2()((2N，N(NN，5N5)()))，(N，)， ，N，)，)，
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1 )2 2
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(1)如果点
M为Biblioteka 段AB的中点,求证:M→P＝
(
x
1 2
)
O→A＋
(
y
1 2
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O→B；
(2)求|O→P|的最大值，并求此时四边形 OAPB 面积的最大值.
对第(1)问,可先求 O M ,再由条件即可得到结论; 对 第(2)问, 先设点M为线段AB的中点,进而利用第(1)问的结 论,并由条件确定P, O, A, B四点共圆,结论即可得到．
忆一忆知识要点
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是_矢__量__,它 们的分解与合成与向量的__加__法__和__减__法___相似，可以 用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s
的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ (θ为F与s的夹角)．
当当且且仅仅当当 aa＝＝bb＝＝ 22时时,,四四边边形形 OOAAPPBB 的的面面积积最最大大,,最最大大值值为为 22..
探究提高
本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解 第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题, 突破这一难点的关键主要是从设点M为线段AB的中点入手, 借助条件及第(1)问的结论,去探究 O P 的最大值等问题．
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变式训练 1
已知非零向量
AB与AC
满足
( AB AC)BC0, |AB| |AC|
且
|
AB AB| |
AC AC|
12,
则∆ABC为( D )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
令AD AB AC, 则 A D 平 分 B A C .
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性 运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全 等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题,常用 共线向量定理：
a //b a b (b 0 ) x1y2x2y10;
(2)证a 明 垂b 直 问题a ，b 常 用0 数量x积1x的2 运算y1性y2质0;
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ a b x1x2y1y2 (θ为 a与 b的 夹 角 ). | a || b | x12y12 x22y22
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要点梳理
故 P，O，A，B 四点都在以 M 为圆心、1 为半径的圆上， 所以当且仅当 OP 为圆 M 的直径时，|O→P|mmaaxx＝2.
这这时时四四边边形形 OOAAPPBB 为为矩矩形形，， 则则 SS 四四边边形形OOAAPPBB＝＝||OO→→AA||··||OO→→BB||＝＝aabb≤≤aa22＋＋22 bb22＝＝22，，