2018年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足i3z＝1﹣i，则||＝（）
A．1B．2C．D．
2．（5分）已知集合M＝{y∈R|y＝lgx，x≥1}，N＝{x∈R|y＝}，则M∩N＝（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．[0，2]
C．[0，1]D．{1}
3．（5分）下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的所似值为（）
A．B．C．D．
4．（5分）命题“，x2﹣a﹣2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥9B．a≤8C．a≥6D．a≤11
5．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，+∞）时，f（x）＝2018x，若a ＝f（ln3e），b＝f（0.20.3），，则a，b，c的大小关系是（）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线描绘的是某几何体的三视图，其中主视图和左视图相同如上方，俯视图在其下方，该几何体体积为（）
A．B．5πC．D．
7．（5分）实数x，y满足，则最大值为（）A．3B．5C．D．
8．（5分）运行如图程序框图，若输入的，则输出s取值为（）
A．B．C．D．s∈[0，8]
9．（5分）已知菱形ABCD满足，|AB|＝2，∠ABC＝，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为（）
A．πB．8πC．7πD．
10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，且图象关于直线x＝对称，且在区间[0，]上是单调函数，则ω＝（）
A．B．C．或D．
11．（5分）若函数f（x）＝（a+1）e2x﹣2e x+（a﹣1）x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，）B．（1，）
C．（﹣，）D．（，1）∪（1，）
12．（5分）已知抛物线x2＝2py（p＞0），过点P（0，b）（b≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，交x轴于点Q，若，，则实数λ的取值是（）
A．B．C．﹣2D．与b，p有关二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知||＝，•＝﹣，且（﹣）•（+）＝﹣15，则向量与的夹角为．
14．（5分）已知展开式中的常数项为60，则
＝．
15．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线上
存在关于y轴对称的两点A，B使得等腰梯形ABF2F1满足下底长是上底长两倍，且腰与下底形成的两个底角为60°，则该双曲线的离心率为．
16．（5分）已知等边△ABC边长为6，过其中心O点的直线与边AB，AC交于P，Q两点，则当取最大值时，|OP|＝．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}首项为1，其前n项和为S n，且S n+1﹣3S n﹣1＝0．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，G和H分别是CE和CF的中点．
（1）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（2）若平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，求平面CED与平面CEF所成角的余弦值．
19．（12分）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学期开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并根据学生每个学期总分评定等级．某校决定针对高中学生，每学期进行一次体质健康测试，以下是小明同学六个学期体质健康测试的总分情况．
（1）请根据上表提供的数据，用相关系数r说明y与x的线性相关程度，并用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（线性相关系数保留两位小数）；
（2）在第六个学期测试中学校根据《标准》，划定540分以上为优秀等级，已知小明所在的学习小组10个同学有6个被评定为优秀，测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的总分，小明随机的给小组内4个同学打电话询问对方成绩，优秀的同学有X人，求X的分布列和期望．
参考公式：，；
相关系数；
参考数据：，．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，
F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，以PF1为直径的动圆内切于圆x2+y2＝4．
（1）求椭圆的方程；
（2）延长PO交椭圆于R点，求△PQR面积的最大值．
21．（12分）已知函数．
（1）若x∈（0，π），讨论方程f（x）＝k根的情况；
（2）若x∈（0，2π），，讨论方程f'（x）＝k根的情况．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（10分）平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数，m＞0），曲线C1：（φ为参数）．
（1）求直线l及曲线C1的极坐标方程；
（2）若曲线与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，且，求m的取值．
23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x+3|．
（1）解不等式f（x）＜2x+10；
（2）若不等式f（x）≤m|x+2|有解，求m的取值范围．
2018年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足i3z＝1﹣i，则||＝（）
A．1B．2C．D．
【解答】解：由i3z＝1﹣i，
得，
则，
||＝．
故选：C．
2．（5分）已知集合M＝{y∈R|y＝lgx，x≥1}，N＝{x∈R|y＝}，则M∩N＝（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．[0，2]
C．[0，1]D．{1}
【解答】解：集合M＝{y∈R|y＝lgx，x≥1}＝[0，+∞），
N＝{x∈R|y＝}＝[0，2]，
∴M∩N＝[0，2]，
故选：B．
3．（5分）下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的所似值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：大正方形的边长为5，总面积为25，
小正方形的边长为2，其内切圆的半径为1，面积为π；
则＝，
解得π＝．
故选：D．
4．（5分）命题“，x2﹣a﹣2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥9B．a≤8C．a≥6D．a≤11
【解答】解：，x2﹣a﹣2≤0，
则a+2≥x2在x∈[，3]恒成立，
故a+2≥9，解得：a≥7，
命题“，x2﹣a﹣2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a≥9，
故选：A．
5．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，+∞）时，f（x）＝2018x，若a ＝f（ln3e），b＝f（0.20.3），，则a，b，c的大小关系是（）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【解答】解：f（x）是偶函数；
∴；
ln3e＝ln3+1＞2，0＜0.20.3＜1；
∴；
又f（x）在[0，+∞）上单调递增；
∴；
∴b＜c＜a．
故选：A．
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线描绘的是某几何体的三视图，其中主视图和左视图相同如上方，俯视图在其下方，该几何体体积为（）
A．B．5πC．D．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为半球体，
下部为圆台的组合体，如图所示；
结合图中数据，计算它的体积为：
V＝•π•13+π•（12+1×2+22）•2＝．
故选：C．
7．（5分）实数x，y满足，则最大值为（）A．3B．5C．D．
【解答】解：作出不等式式表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部，
其中P（1，2），设P（x，y）为区域内点，
定点O（0，0）．
z＝＝1+2×
可得t＝表示P、O两点连线的斜率，
t的最大值为：＝2．
则z的最大值为1+2×2＝5
故选：B．
8．（5分）运行如图程序框图，若输入的，则输出s取值为（）
A．B．C．D．s∈[0，8]
【解答】解：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s＝的
值域，
当t∈[﹣，1）时，s＝2cos2+sinπt＝1+2sin（）∈[1﹣，3），
当t∈[1，3]时，s＝（）＝∈[﹣1，8]，
故输出s的取值范围是[1﹣，8]，
故选：C．
9．（5分）已知菱形ABCD满足，|AB|＝2，∠ABC＝，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为（）
A．πB．8πC．7πD．
【解答】解：由题意菱形ABCD满足，|AB|＝2，∠ABC＝，
∴AC＝2，DB＝，
将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，
∴三棱锥B﹣ACD高为．
底面ACD外接圆半径为，
外接球半径为R，球心与圆心的距离为d，
d2+r2＝R2……①
……②
由①②解得：R2＝
外接球的表面积S＝．
故选：A．
10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，且图象关于直线x＝对称，且在区间[0，]上是单调函数，则ω＝（）
A．B．C．或D．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）是R上的偶函数，
∴φ＝，f（x）＝cosωx；
又函数f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴ω•＝kπ，k∈Z；
解得ω＝，k∈Z；
又f（x）在区间[0，]上是单调函数，
∴0≤ω≤π；
即0≤≤1，
解得0≤k≤，k∈Z；
∴k＝1或k＝0（不合题意，舍去），
∴ω＝．
故选：D．
11．（5分）若函数f（x）＝（a+1）e2x﹣2e x+（a﹣1）x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，）B．（1，）
C．（﹣，）D．（，1）∪（1，）
【解答】解：∵函数f（x）＝（a+1）e2x﹣2e x+（a﹣1）x，
∴f′（x）＝2（a+1）e2x﹣2e x+（a﹣1），
令e x＝t，t＞0，
∴f′（t）＝2（a+1）t2﹣2t+a﹣1，
∵函数f（x）＝（a+1）e2x﹣2e x+（a﹣1）x有两个极值点，
∴f′（x）＝0有两个不同的实数根，
∴f′（t）＝0有两个不同的正根，
∴，
解得1＜a＜，
故选：B．
12．（5分）已知抛物线x2＝2py（p＞0），过点P（0，b）（b≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，交x轴于点Q，若，，则实数λ的取值是（）
A．B．C．﹣2D．与b，p有关【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵P（0，b），∴设直线l：y＝kx+b，可得Q（﹣，0）
由，，可得y1＝3（b﹣y1），﹣b＝λ（y2﹣y1），
（此处选用横坐标的关系进行运算，复杂）
⇒⇒，
联立，得x2﹣2kpx﹣2pb＝0，所以x1•x2＝﹣2pb，（x1•x2）2＝4p2b2；
∴x22＝，又，y2＝．
∴．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知||＝，•＝﹣，且（﹣）•（+）＝﹣15，则向量与的
夹角为．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，
∵||＝，
且（﹣）•（+）＝﹣＝||﹣||＝﹣15，
∴||＝5；
又•＝||×||cosθ＝×5cosθ＝﹣，
∴cosθ＝﹣，
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝．
故答案为：．
14．（5分）已知展开式中的常数项为60，则＝4．
【解答】解：根据题意，展开式的通项T r+1＝C6r（ax）6﹣r（）r，令r＝4可得，T5＝C64（ax）2（）4＝15a2，
又由其展开式中的常数项为60，
即15a2＝60，且a＞0，则a＝2，
＝＝+＝（﹣cos x﹣）+（﹣cos x+）＝4；
故答案为：4．
15．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在关于y轴对称的两点A，B使得等腰梯形ABF2F1满足下底长是上底长两倍，且腰与
下底形成的两个底角为60°，则该双曲线的离心率为或．
【解答】解：若等腰梯形ABF2F1满足AB＝F1F2＝c，
可设B（c，c），
代入双曲线的方程可得
﹣＝1，
即有e2﹣＝4，
即为e4﹣8e2+4＝0，
即有e2＝4+2（4﹣2舍去），
解得e＝+1；
若等腰梯形ABF2F1满足AB＝2F1F2＝4c，
可设B（2c，c），
代入双曲线的方程可得
﹣＝1，
即有4e2﹣＝1，
即为4e4﹣8e2+1＝0，
即有e2＝（舍去），
解得e＝．
故答案为：或+1．
16．（5分）已知等边△ABC边长为6，过其中心O点的直线与边AB，AC交于P，Q两点，
则当取最大值时，|OP|＝．
【解答】解：设A（0，2），B（3，﹣），C（﹣3，﹣），
设PQ的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），
直线AB的方程为y＝﹣x+2，
直线AC的方程为y＝x+2，
将直线PQ的方程代入直线AB，直线AC的方程可得
t1＝，t2＝，
可得＝+
＝＝，
当cos（α+θ）＝1即α+θ＝2kπ，k∈Z，取最大值，
即α＝﹣θ+2kπ，k∈Z，cosθ＝，sinθ＝，
可得cosα＝，sinα＝﹣，
此时|OP|＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}首项为1，其前n项和为S n，且S n+1﹣3S n﹣1＝0．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵S n+1﹣3S n﹣1＝0，
当n≥2，S n﹣3S n﹣1﹣1＝0．
∴a n+1﹣3a n＝0，
又∵，
∴{a n}为等比数列，
∴a n＝3n﹣1．
（2）∵，
∴，
∴，
∴T n＝，
∴．
18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，G和H分别是CE和CF的中点．
（1）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（2）若平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，求平面CED与平面CEF所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：连接AC交BD于点O，显然OG∥AE，OG⊄平面AEF，
AE⊂平面AEF，可得OG∥平面AEF，同理BD∥平面AEF，
OG∩BD＝O，又BD，OG⊂平面BDGH，
可得：平面BDGH∥平面AEF．
（2）解：过点O在平面BDEF中作z轴⊥BD，显然z轴、OB、OC两两垂直，
如图所示建立空间直角坐标系.，E（﹣1，0，3），F（1，0，3），D（﹣1，0，0），，，．
设平面CDE与平面CDF法向量分别为，．
，
设；，
设．
，
综上：面CED与平面CEF所成角的余弦值为．
19．（12分）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学期开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并根据学生每个学期总分评定等级．某校决定针对高中学生，每学期进行一次体质健康测试，以下是小明同学六个学期体质健康测试的总分情况．
（1）请根据上表提供的数据，用相关系数r说明y与x的线性相关程度，并用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（线性相关系数保留两位小数）；
（2）在第六个学期测试中学校根据《标准》，划定540分以上为优秀等级，已知小明所在的学习小组10个同学有6个被评定为优秀，测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的总分，小明随机的给小组内4个同学打电话询问对方成绩，优秀的同学有X人，求X的分布列和期望．
参考公式：，；
相关系数；
参考数据：，．
【解答】解：（1）由表中数据计算得：，，，
，
∴．
综上y与x的线性相关程度较高．
又，
∴，
故所求线性回归方程：．
（2）X服从超几何分布，所有可能取值为1，2，3，4，
所以X的分布列为
期望．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，
F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，以PF1为直径的动圆内切于圆x2+y2＝4．
（1）求椭圆的方程；
（2）延长PO交椭圆于R点，求△PQR面积的最大值．
【解答】解：（1）设|PF1|的中点为M，在三角形PF1F2中，由中位线得：，当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即
∴，即a＝2，又∴
∴椭圆方程为：；
（2）由已知k PQ≠0可设直线PQ：x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
，
，
令，原式＝，当t＝1时，．
∴（S△PQR）max＝3．
21．（12分）已知函数．
（1）若x∈（0，π），讨论方程f（x）＝k根的情况；
（2）若x∈（0，2π），，讨论方程f'（x）＝k根的情况．
【解答】解：（1）x∈（0，π），f（x）＝k⇒kx﹣sin x＝0，令g（x）＝kx﹣sin x，x∈（0，π）．此时g'（x）＝k﹣cos x①若k≤﹣1，g（x）在（0，π）递减，g（0）＝0，无零点；
②若k≥1，g（x）在（0，π）递增，g（0）＝0，无零点；
③若﹣1＜k＜1，g（x）在（0，x0）递减，（x0，π）递增，其中cos x0＝k．
Ⅰ．若﹣1＜k≤0，则g（0）＝0，g（π）≤0，此时g（x）在（0，π）无零点；
Ⅱ．若0＜k＜1，则g（0）＝0，g（π）＞0，此时g（x）在（0，π）有唯一零点；
综上所述：当k≤0或k≥1时，无零点；当0＜k＜1时，有1个零点．
（2）解法一：，
令h（x）＝kx2+sin x﹣x cos x，x∈（0，2π），h'（x）＝x（sin x+2k）
①若，h（x）在（0，2π）递增，h（0）＝0，无零点；
②若，h（x）在（0，x1）递增，（x1，x2）递减，（x2，2π）递
增．
其中，∴
显然
，
消元：，其中，
令，，
，即x∈（0，2π），h（x）＞0，无零点．综上所述：，方程f'（x）＝k无解．
解法二：令，．
令u（x）＝﹣x2sin x﹣2x cos x+2sin x，x∈（0，2π），u'（x）＝﹣x2cos x．
显然u（x）在递减，递增，递减，u（0）＝0，，
h（x）在（0，x1）递减，（x1，x2）递增，（x2，2π）递减，其中．且，
由洛必达法则：
，
，由，．
综上所述：，方程f'（x）＝k无解．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（10分）平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数，m＞0），曲线C1：（φ为参数）．
（1）求直线l及曲线C1的极坐标方程；
（2）若曲线与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，且，求m的取值．
【解答】解：（1）由，得，化为极坐标方程，为：
，
由C1：，得x2+（y﹣m）2＝m2，即x2+y2﹣2my＝0，
即ρ2﹣2mρsinθ＝0，可得曲线C1的极坐标方程：ρ＝2m sinθ；
（2）把曲线分别代入直线l和曲线C 1的极坐标方程，可得，，
由|AB|＝|ρA﹣ρB|＝||＝，解得m＝．
23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x+3|．
（1）解不等式f（x）＜2x+10；
（2）若不等式f（x）≤m|x+2|有解，求m的取值范围．
【解答】解：（1）；
x≤﹣时．可得﹣3x﹣4＜2x+10，解得：﹣＜x，
当时，x+2＜2x+10，解得﹣＜x＜﹣1，
当x≥﹣1时，3x+4＜2x+10，解得﹣1＜x＜6．
综上；
（2）①若x＝﹣2，显然无解；②若x≠﹣2，则，
令（当且仅当时等号成立）∴m≥1．。