九年级上数学课件九年级上数学课件第一节九年级数学一元二次方程_人教新课标_人教新课标

个挂图面积 的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列
出方程． 在油画四周外围x镶上宽度 90
本题涉及两个基本量： 油画的面积与整个挂
40+2x
为x cm的边框，则整4个0 挂
图的面积．
图的长与宽各增加了多少？利用长方形的面积公
9式0+和2x油画面积与整个
挂图面积之间的关系 解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
④x2－2＋5x3－6x＝0 未知数的最高次数是3 ×
⑤2x2－3x＝2(x2－2) 整理后二次项系数为零 ×
只有③符合一元二次方程的定义
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
一元二次方程的识别方法： 整理前：①整式方程，②只含一个未知数； 整理后：未知数的最高次数是2.
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
次方程，则m的取值范围是( D )
A．m≠3
B．m≥3
C．m≥－2
D．m≥－2且m≠3
点拨：由题意，得 m-3≠0 m+2≥0
m≠3.
解得m≥－2且
2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0. (1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这 个方程； (2)m取何值时，它是一元一次方程？
A．ax2＋bx＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ 1 ＝2 x
D．x2－x－2＝0
2 若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，
则( B )
A．m＝1
B． m＝－1
C． m＝±1
D．m≠±1
（来自《典中点》）
知识点 2 一元二次方程的一般形式
知2－导
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这 种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
第2课时 一元二次方程的定义及相关 概念的五种常见应用
名师点金
巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在： 利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念
求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题 等．
类型 1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值
1. 已知(m－3)x2＋ m 2 x＝1是关于x的一元二
(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起； 指出某项系数时应连同它前面的符号一起.
（来自《点拨》）
知2－练
1 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
c的值分别是( A )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
（来自《典中点》）
知2－练
2 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写 出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
知识点 3 一元二次方程的解(根)
知3－讲
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一 元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二 次方程的根．
知3－讲
例3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
解析：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
2018 ＝a2－2 017a－ 2018a
2018 ＝a2－2 017a－a
＝a2－2 018a＝－1.
类型 4 利用一元二次方程的根的定义比较大小
8．若x0是方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)的一个根，设M ＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N的大小关系 正确的为( B )
A．M＞N
B．M＝N
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
a≠0
一次项系 数
a x²+b x+ c =0
二次项 一次项
知2－讲
指出方程各项的 系数时要带上前
面的符号.
常数项
知2－讲
例2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一
般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等， 就不是方程的根．
（来自《点拨》）
1 方程x2+x－12＝0的两个根为( D )
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
解：由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0， ∴m2－2m＝1，n2－2n＝1. ∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋ a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)， 由－4(a＋7)＝8得a＝－9， 故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.
应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高x m,可得方程x2＝2(2－x)，
整理得
x2＋2x－4＝0.
B
x2＋2x－4＝0. 这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其 中未知数x的最高次数是2. 如何解这类方程？ 如何用这类方程解决一些实际问题？
这就是本章要学习的主要内容．
长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与
全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短
一段的长x.
（来自教材）
1.整式 2.一个未知数 3.最高次数为2
使方程两边 一
相等的未知
元 二
数的值
次 方
程
的
根
一元二次方程的定义 一元二次方程
建立一元二次方程的模型
一
元
二 次
a x²+b x+ c =0
列方程
（来自《点拨》）
总结
知4－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既 要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目 中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、 利润公式等)进行列方程．
（来自《点拨》）
知4－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关 部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8 万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程
例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ 1 ＝2； x
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
知1－讲
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有( A )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
导引： ①x2＋y－6＝0 有两个未知数 ×
②x2＋ 1 ＝2 x
不是整式方程 ×
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
第1课时 认识一元二次方程
1 课堂讲解 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根) 利用一元二次方程建立实际问题模型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知
判断下列式子是否是一元一次方程：
x 9 6.5 2 0.3x 5 1 1 2
知1－导
思考：方程 x2 2x 4 0， x2－75x+350=0， x2 x 56 有什么共同点？
可以发现
1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是2次 3、等号的两边都是整式
知1－讲
定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做 一元二次方程．
方
程
的
一
般
形
式
判别一元二次方程的“两方法”： (1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含
有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. (2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx
＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以 为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情 况无关．
习题课 第二十一章 一元二次方程
中正确的是( C )
A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x)2＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
（来自《典中点》）
知4－练
2 根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程
化成一元二次方程的一般形式：
（1）4x2-25=0 (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正 （2）x2-2x-100=0 方形的边长x； (3) 2x2-3x+1=0 (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的
3．若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋ a－8＝0没有常数项，则a的值为____8____．
点拨：由题意得 2a-4≠0 解得a＝8. a-8=0
类型 3 利用一元二次方程的根的定义求字母或代数式的值
5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a (a≠0)，则a－b的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2
(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81； (3)4x(x＋2)＝25； (4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
(1) 5x2－4x－1＝0 、5、-4、-1 (2) 4x2-81＝0、4、0、-81 (3) 4x2+8x-25＝0、4、8、-25 (4) 3x2-7x+1=0、3、-7、1
（来自教材）
解：(1)当 m+1≠0 时，它是一元二次方程，解得m＝1. m2+1=2
当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0. (2)当m－2≠0，m＋1＝0或者当m＋1＋(m－2)≠0且
m2＋1＝1时，它是一元一次方程． 解得m＝－1或m＝0. 故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．
类型 2 利用一元二次方程的项的定义求字母的取值
知3－练
（来自《典中点》）
知4－讲
知识点 4 利用一元二次方程建立实际问题模型
一元二次方程的模型：
一元二次方程是刻 画现实世界的一个有效 数学模型，它是把实际 问题中语言叙述的数量 关系通过设未知数用一 元二次方程来表达．
常用于一元二次方程 来建模的问题有：
• 圆形的面积 • 增长(利润)率 • 行程问题 • 工程问题等
点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)， ∴a2－ab＋a＝0. ∴a(a－b＋1)＝0. ∵a≠0，∴a－b＝－1.
6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16
＝0的一个根为0，求k的值．
解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0， 得k2－16＝0， 解得k1＝4，k2＝－4. ∵k＋4≠0，∴k≠－4， ∴k＝4.
知4－讲
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系； (2)设出合适的未知数，一般设为x； (3)确定等量关系； (4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
一般形式．
知4－讲
例4 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整
C．M＜N
D．不确定
点拨：把x0代入方程ax2＋2x＋c＝0得ax02＋2x0＝－c， 再利用作差法比较可得．
类型 5 利用一元二次方程的根的定义解决探究性问题
9．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在 实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若 存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
7．已知实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一 个根，求代数式a2－2 017a－ a2＋1 的值． 2018
解：∵实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一个根，
∴a2－2 018a＋1＝0.
∴a2＋1＝2 018a，a2－2 018a＝－1. ∴a2－2 017a－ a2＋1
2
x
一元一次方程
1、只有一个未知数 2、未知数的指数是一次 3、方程的两边都是整式
导入新知
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)
的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉
美感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设
计为多高？
A
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC
和常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
二次项
3x2－8x－10＝0.
系数所以二次项系数为3，一次项系数为常－数8项， 常数项为－一1次0. 项系数
总结
知2－讲
(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方 程，但b，c可以是0.
(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去 分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．