2018-2019学年江苏省高邮市高一下学期期中调研数学试题(PDF版)

所以 OM＝
，所以在△OAN 中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)
＝cos∠AOM＝
．
由
＝
，得 ON＝
·＝
．
所以 S ＝ △OMN OM·ON·sin∠MON＝ ·
·
·
＝
，0＜x＜3．
令 6－x＝t，则 x＝6－t，3＜t＜6，则 S ＝ △OMN
-8-
所以 OM＝ ，所以 cos∠AOM＝
＝，
在△OAN 中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝ ．
在△OMN 中，由
＝
，得 MN＝ × ＝ ．
（2）解法 1：设 AM＝x，0＜x＜3． 在△OAM 中，由余弦定理得 OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，
A. 平行
B. 相交
C. 异面
【答案】D
3.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，如果
A.
B.
C.
【答案】C
4.若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为﹙
﹚
D. 以上都有可能
，那么 等于﹙
﹚
D.
A. 1
B. 3
C. 2
D.
【答案】B
5.下列命题中，正确命题的个数为﹙
﹚
（1）首尾相接的四条线段在同一平面内 （2）三条互相平行的线段在同一平面内
D. 4
，且 ，那么
一
D. 等腰或直角三角形
10.在锐角 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若
，则 的取值范围是﹙ ﹚
A.
B.
C.
【答案】D
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共计 30 分)
11.长方体
中，
，则
与平面
D. 所成的角的大小为________．
【答案】
12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则此圆锥的高为________ .
【答案】 13.如图，一艘船上午 在 A 处测得灯塔 在它的北偏东 30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午
到达 处，此时又测得灯塔 在它的北偏东 75°处，且与它相距 海里，此船的航速为________ 海 里 小时．
【答案】
14.在正方体
中，给出以下四个结论：
（1）直线
平面
；（2）直线 与平面 相交；
-7-
【详解】（1）由正弦定理得： ，
， ，
，
， ，
，
又
，
，当 时，
。
22.如图所示，高邮漫水公路 AB 一侧有一块空地
其
市政府拟在
中间开挖一个人工湖
，其中 M，N 都在边 AB 上（M，N 不与 A，B 重合，M 在 A，N 之间），且
（1）若 在距离 点 处，求点 M，N 之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖
（3）两两相交的四条直线在同一个平面内
（4）若四个点中的三个点在同一直线上，那么这四个点在同一平面内.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
6.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是
（）
A.
,有两解
B.
,有一解
C.
,无解
D.
,有一解
【答案】D
7. 已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B 8.设 是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下面四个命题：
-1-
（1）若
，则
（2）若
（3）若
，则
（4）若
其中正确命题个数是﹙
﹚
A. 1
B. 2
【答案】A
9.在
中，角
的对边分别为
定是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
【答案】D
,则 ，则
C. 3
，
，
C. 等腰三角形
＝ (t－9＋ )
≥ ·(2
－9)＝
．
当且仅当 t＝ ，即 t＝3 ，x＝6－3 时等号成立，S△OMN 的最小值为
．
所以 M 的位置为距离 A 点 6－3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是
km2．
解法 2：设∠AOM＝θ ，0＜θ ＜
在△OAM 中，由
＝
，得 OM＝
．
在△OAN 中，由
中，底面 为菱形,所以
，
，
.
（2）连结 .
,
-3-
，
，
,
，
,
.
【点睛】本题考查立体几何中线面垂直、平行的判定定理及性质，需利用特殊四边形的性质，如本题中底
面为菱形，则可得到对边平行且相等及对角线互相平行。
18. 的内角 的对边为 ，
（1）求 ；
（2）若
求．
【答案】（1）
； （2）
.
【解析】
【分析】
＝
，得 ON＝
＝．
所以 S ＝ △OMN OM·ON·sin∠MON＝ ·
··
＝
＝
＝
-9-
＝
＝
，0＜θ ＜ ．
当 2θ ＋ ＝ ，即 θ ＝ 时，S△OMN 的最小值为
．[]
所以应设计∠AOM＝ ，可使△OMN 的面积最小，最小面积是
km2．
- 10 -
-4-
19.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 被平面 A1B1C 截去一部分后得到如图所示几何体，BB1⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，BC ＝BB1，E 为棱 B1C 上的动点（不包含端点），平面 ABE 交 A1C 于点 F．
（1）求证：EF//AB；
（2）若点 E 为 中点，求证：平面 ABE⊥平面 A1B1C． 【答案】（1）见解析； （2）见解析.
（3）直线 平面 ； （4）平面
平面
.
上述结论中，所有正确结论的序号为________．
-2-
【答案】①④
15.在△ 中，已知
， 边上 中线
，则 的值为_______．
的 【答案】
16.在 中，内角 所对的边分别为 ．已知
，
，
面积为 ，
，则 的最小值为_______．
【答案】 三、解答题(本大题共 6 小题，共计 70 分。解答时，要写出必要的解题过程及步骤)
与 平行，从而得证。
（2）需证面面垂直，则需证明线面垂直，易证 边上的中线垂直于 且，该中线垂直于 ，从而得到
线面垂直，得到面面垂直。
【详解】（1）方法一：取 中点 ，连
分别为
中点
为四棱柱
又 为 的中点，
所以四边形 PFAM 为平行四边形 又 ，
方法二：取 中点 ,连
，
-6-
又
，
，
又
是四棱柱，
，
，
，
，
点 为 的中点，
，
-5-
, , .
20.在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，
,平面 BB1C1C 底面 ABCD，点 、F 分别是线段 、BC 的中点．
（1）求证：AF//平面 ；
（2）求证：平面 BB1C1C⊥平面 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）欲证 AF//平面 ，则需证明 平行于平面 内的一条直线，根据题目条件易得 边上的中线
【解析】
【分析】
（1）需证明
，则需证明 和 所在平面互相平行，且 与 都平行于两平面的交线即可证明线
线平行。
（2）需证明面面垂直则只需证明一个平面内的一条直线垂直于另一平面，即该直线垂直于另一平面内两条
相交直线即可。
【详解】(1)在三棱柱
中，
，
是平行四边形，
，
，
又
，
，
(2)
，
，
，
，
,又
，
由（1）知：
（1）由题目中告诉的
，利用正弦定理则可得到
，再结合
余弦定理公式
求出角 的值。
（2）根据第一问求得的 的值和题目中告诉的角 的值可求得角 的值，再利用正弦定理可求得边 和 的值。
【详解】(1)由正弦定理，得
，
由余弦定理，得
，又
所以
。
(2) 由（1）知：
所以
,又 ，又 ，
根据正弦定理，得
，
，
所以 【点睛】本题考查利用正余弦定理求解边与角。
，设
的
17.如图，在四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，
平面 ABCD．
（1）求证： //平面 ；
（2）求证：
．
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由底面为菱形可得到
，再根据
，从而得出
；
（2）需证明
，则需证明
，即需证明 垂直于平面 内两条相交直线，从而得证。
【详解】（1）在四棱锥
的面积要尽可能小．试确定 的位置，使
最小面积．
的面积最小，并求出
【答案】（1） 【解析】 试题分析：
（2）最小面积是
（1）先利用余弦定理分别求出
，再利用角度转化和正弦定理求出
；（2）设
，利用三角形之间的正余弦定理转化应用，解得
，应用函数化简技巧，
解得最小值
。
试题解析： （1）在△OAB 中，因为 OA＝3，OB＝3 ，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°． 在△OAM 中，由余弦定理得 OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，
江苏省高邮市 2018-2019 学年度第二学期高一期中
数学调研试卷
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共计 50 分)
1.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
，
， ，则最短边的长等于 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
2. 空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
，
，
，
又
，
，又
，又
，
（2） 又
又 而
又
21.在
, ，
， ，
，又 .
，
，
， ，
中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，
， ，
（1）求角 的大小；
（2）若
，求
的最小值．
【答案】（1） ； （2） .
【解析】 【分析】 （1）根据题目中的条件再利用三角恒等变化公式和正余弦定理转化成关于角的方程，从而得到角 。 （2）通过第一问得出的角 和题意找到边 、 和 之间的关系，然后利用函数的性质得到式子的最小值。