专题2.5圆的有关性质大题专练(培优强化30题)

专题2.5圆的有关性质大题专练（培优强化30题）
一、解答题
1．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB 的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定
⊙O．
(1)试说明：点C也一定在⊙O上．
(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．
(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．
∵FP⊥PE，
∴∠FPE=90°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P是AB的中点，
∴CP平分∠ACB，
∴∠ACP=45°，
∵EP=EP，
是四边形ABCD的一个外角，∠DAE ＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？
【答案】相等，理由见解析．
【分析】先根据圆内接四边形的性质可得∠DAE=∠DCB，再根据圆周角定理可得
∠DAC=∠DBC，然后根据等量代换可得∠DCB=∠DBC，最后根据等腰三角形的判定即可得出结论．
【详解】解：DB=DC，理由如下：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DAE是四边形ABCD的一个外角，
∴∠DAE=∠DCB，
由圆周角定理得：∠DAC=∠DBC，
∵∠DAE=∠DAC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．
3．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
【答案】（1）10；（2）30°
【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，设OB=x，则OD=x,得出OE的长，再利用勾股定理列方程，解方程即可；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形两锐角互余可以求得结果；
【详解】解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；
（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据垂径定理可得，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找到相应的格点，作出弦AB的垂直平分线即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，即可画出一个含有50°角的直角三角形．
【详解】解：（1）如图1，线段EF即为所求；
（2）如图2，Rt△BEF即为所求．
【点睛】本题考查作图，应用与设计，垂径定理、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．
（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法保留作图痕迹）
（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵CF是BE的垂直平分线，
∴∠CFB=90°，CE=CB，
∴DE∥CF，
∴∠BDE=∠BCF，
又∵∠BCF=∠ECF，
∴∠BCE＝2∠BDE．
【点睛】本题主要考查尺规作图和圆周角定理的推论，熟练掌握尺规作垂直平分线的基本步骤是解题的关键．
6．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E．
（1）求证：∠EAD＝∠BAC；
（2）若AB的度数为64°，则∠E的度数为 °．
【答案】（1）见解析；（2）32
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，进而得到∠EAD＝∠BCD，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质证明即可；
（2）先求出∠ACB＝32°，圆内接四边形性质得出∠EDA＝∠ABC，再根据三角形内角和定理计算得出∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，求出∠E．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC=∠BCD，
∴∠EAD＝∠BAC；
（2）解：∵AB的度数为64°，
∴∠ACB＝32°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠EDA＝∠ABC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∴∠E＝∠ACB＝32°，
故答案为：32．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键．7．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；
（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，
后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
【详解】（1）证明：连接DE、BH，
∴∠FEH＝∠FGH．
又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，
∴∠FEH＋∠FGH＝180°，
∴∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．
8．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D，E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．（1）如图1，求∠F的度数：
（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．
（2）连接DO，同（1）先求出∠
∵AE=AD
(180°−∠BAC)=65°，
∴∠AED=1
2
【点睛】此题主要考查圆内角度求解，
和外角定理的运用．
9．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点
C两点，满足下列要求：
（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；
（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°即可作图；（2）根据三角形垂心的性质和垂径定理即可作图．
【详解】（1）如图①即为所求；
（2）如图②即为所求．
【点睛】此题主要考查根据圆的性质作图，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角．10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系，并证明你的结论．
（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，
∵AO=GO，
OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，连结AD．
（1）若∠AOD＝54°，求∠BAD的度数；
ED＝1，求OA的长．
（2）若AB＝
D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．（1）求证：AB//CD；
（2）连接AF，求证：AB＝AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）借助弦相等对应的弧相等，弧相等所对的圆周角得到∠A＝∠C，进而AB∥CD；（2）连接AF，，由（1）知四边形ABCD是平行四边形，得到∠B＝∠AFB，故AB＝AF．【详解】解：（1）∵AD//BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵DE＝DF，
∴DAE=DCF，
∴DAE+EF=DCF+EF，
∴DAF=DCE，
∴∠A＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB//CD；
（2）连接AF，
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵四边形AFCD是圆内接四边形，
∴∠AFC+∠D＝180°，
∵∠AFC+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝∠D＝∠B，
∴AB＝AF．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题关键是熟练掌握在同圆或者等圆中，有两条弦、两条弧、两个圆周角，其中有一组量相等，其它的量全部相等．
13．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AC= BC，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
【答案】（1）∠BEC＝110°；（2）证明见解析．
【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；
（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF ＝∠CFB，则可得出结论
【详解】解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC=BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵AC=BC，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
求证：AD＝BD+CD．
【答案】见解析．
【分析】连接BC，证明∠ADB＝∠ADC＝60°，在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，证明△BDE、△CDF为正三角形，再证明∠AEB＝∠CFA＝120°，∠EAB＝
∠FCA，证明△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，从而可得结论．
【详解】解：连接BC，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AC=AC,AB=AB,
∴∠ADC＝∠ABC=60°,∠ADB＝∠ACB=60°,
在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，
∴△BDE、△CDF为等边三角形，
∴∠DEB＝∠DFC＝60°，DE=BD,CF=DC,
∴∠AEB＝∠CFA＝120°，
又∠FAC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠FAC+∠EAB＝∠BAC＝60°，
∴∠EAB＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵{∠EAB=∠FCA ∠AEB=∠CFA AB=AC
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
15．（2020·江苏·海安市海陵中学九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，点E在CA延长线上．
（1）若∠ABC＝55°，求∠EAD的度数；
（2）若AD＝
BC＝6，求AC的长．
劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
（3）如图所示，分别作点D关于
【点睛】本题考查圆中的计算问题，
周角来证角相等，掌握三角形的证明方法，会用等边三角形
件，来证△DBC≌△EAC（SAS
积公式求S，会限定范围，会利用对称性确定
会求△DMN周长的最小值为
求D2H=D1H是关键．
17．（2019·江苏南通·九年级期中）已知
PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP若∠APQ=∠BPQ．
⊙O的半径；
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP
（2）如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．
∴∠NOQ=90O
∴∠NOQ+∠OCA=180O．
∴AB//ON
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
18．（2019·江苏扬州·九年级期中）如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A
是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、
F．
（1）求证：AE=BE；
（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；
（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不
正确，请写出CF与AB正确的关系式．
【答案】（1）见解析；（2）BE=EF，理由见解析；（3）小李的发现是正确的，理由见解析【分析】（1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到
∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到
∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论；
（2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．
【详解】（1）如图1，连接AP，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵点A是弧BP的中点，
∴∠P=∠ACB=∠ABP，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；
（2）BE=EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；
（3）小李的发现是正确的，
理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，
AB =4,CD =2，直线AD,BC 相交于点E ．（1）∠E 的度数为___________；
（2）如图（2），AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数；
（3）如图（3），弦AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．
【答案】（1）60°；（2）见解析，60°；（3）60°
【分析】（1）连结OD ，OC ，BD ，根据已知得到△DOC 为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E 的度数；
（2）同理解答（2）（3）．
【详解】（1）如图（1），连接OD,OC,BD．∵OD=OC=CD=2,∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°,∴∠DBC=30°．∵AB为直径，∴∠ADB=90°,∴∠BDE=90°，∴∠E=90°−30°=60°．故答案为60°．
（2）如图（2），直线AD,CB交于点E，连接OD,OC,AC．
∵OD=OC=CD=2,∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DAC=30°．∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CBD=360°−90°−90°−30°=150°,∴∠EBD=30°，∴∠E= 90°−30°=60°，
（3）如图（3），连接OD,OC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠CBD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°,∴∠BED=60°，∴∠AEC=60°．
【点睛】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答．
20．（2020·江苏·西附初中九年级期中）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O
的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD=∠ABC；
（2）若AD=6，求CD的长．
量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0°），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE＝CE；
（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是 ．
②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是 ；
③设旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是y＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x
【分析】（1）由于是每次都旋转2°且CP的旋转决定着∠ACE和∠ABE，且二者都是从0°开始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要证明：∠CBE＝∠BCE即可证明BE＝CE；
（2）①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出点E处的度数；
②当射线CP经过△ABC的内心时，内心到三边的距离相等，即CP为∠ACB的角平分线，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出点E处的度数；
③由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，∠BCE的度数为90°﹣2x，从而得出∠BOE 的度数，也即可得出y与x的函数式．
【详解】（1）证明：连接BE，如图所示：
的一旗杆AC垂直于地面（AC与地面上所有直线都垂直）．
为6m Array
（1）若P为弧AB的中点，试说明∠BPC=90°
（2）若P弧AB为上任意一点（不与A、B重合），∠BPC=90°还成立吗，为什么？
（3）弧AB上是否存在点P使△PAB与△PAC相似，若存在求PB
的值，不存在，说明理
PA
由．
(1)若∠ABC =62°，∠APC =100°，则∠BAD = ；∠CDB = ；
(2)若AD 的度数为m 度、BC 的度数为n 度，猜想：∠APD 的度数与m 、n 之间的数量关系，并证明你的结论
于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是__________；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心
的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB=1，AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值．
25．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，已知圆O上依次有A、B、C、D 四个点，AD=BC，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若BD＝5，求BF的长；
（2）设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．
（1）如图①，点A与点C重合，求证：圆心O在∠BAD的平分线上；
（2）如图②，用直尺和圆规作弦CD⊥AB（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若⊙O的半径为2，AB=m，记弦AB、CD所在的直线交点为P，且两直线夹角为60°．直接写出点P与⊙O的位置关系及相应的m的取值范围．
过点O作⊥CD,垂足为E，连接
两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，BE
AE =1
3
．求AB的长度；
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝1
2
AB，且CD⊥AB，垂足为F．若⊙O的半径为r，AB ＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，请求出点F在⊙O内时对应的m的取值范围．
⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
[类比应用]
已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．
（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是；
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围；
[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P
上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接写出答案）
连接PA、PM、OM、
C是PA中点，连接CM、过C作CD⊥
PQ//AB．
（2）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内，请你用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹），
①在图2中，作弦EF，使EF//BC；
②在图3中，以BC为边作一个45°的圆周角．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解
【分析】（1）连接AQ，证明∠AQP＝∠QAB即可；
（2）①延长CA交⊙O于E，延长BA交⊙O于F，连接EF，线段EF即为所求；
②在（1）基础上分别延长BF、CE，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断∠DBC＝45°．
【详解】（1）证明：连接AQ．
∵AP＝BQ，
∴AP=BQ，
∴∠AQP＝∠QAB，
∴PQ∥AB；
（2）解：①如图，线段EF即为所求．
②如图，∠DBC即为所求．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，圆心角、弧、弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．（2020·江苏宿迁·九年级期中）如图1，AB是⊙O的一条弦，点C是AmB上一点．
（1）若∠ACB=30°，AB=4．求⊙O的半径．
（2）如图2，若点P是⊙O外一点．点P、点C在弦AB的同侧．连接PA、PB．比较∠APB 与∠ACB的大小关系，并说明理由．
（3）如图3．设点G为AC的中点，在AmB上取一点D．使得AD=BC，延长BA至E，使AE=AB，连接DE，F为DE的中点，过点A作BE的垂线，交⊙O于点P，连接PF，PG．写出PG与PF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）⊙O的半径为4；（2）∠APB<∠ACB，理由见详解；（3）PG=PF，理由见详解．
【分析】（1）连接OA、OB，由题意易得△AOB是等边三角形，进而问题得解；
（2）设PB与⊙O交于点E，连接AE，易得∠AEB=∠C，然后根据三角形外角的性质可求。