人教A版数学必修四第二学期调研考试高一数学.docx

高中数学学习材料
唐玲出品
如东县掘港高级中学2010-2011学年第二学期调研考试
高一数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在题中横线上. 1直线053=+-y x 的倾斜角是 ．
2.若向量(2,1)a =-与向量(1,)b k =互相垂直，则实数k 的值为 ．
3.
2tan151tan 15︒
-︒
的值等于 ．
4. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为 ．
5.设p 在x 轴上，它到)3,2,
0(1
p 的距离为到点
p
2
（0，1，-1）的距离的两倍，点p 的坐
标是 ．
6. 已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3
π
=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，
那么函数的解析式为 ．
7.设,,a b c 是三个非零向量，给出以下四个命题：①若||||0a b a b ⋅+=，则a ∥b ； ②若
22
a b =，则a b =或a b =-；③若||||a b a b +=-，则a b ⊥； ④若 c a b a ⋅=⋅，则
b c =.则所有正确命题的序号为 .
8. 圆x 2+y 2－4x=0在点P （1，3）处的切线方程为 ．
9. 若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则
k 的值为 ．
10. 已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且圆与直线3x + 4y +4 = 0相切，则圆的标准方程是________. 11. 已知
παβπ
4
32
<
<<，
13
12
)cos(=
-βα，
5
3)sin(-
=+βα，求
α
2s i n 的值 ．
12. 能够使得圆2
2
2410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值是 ．
13. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为 ． 14.将函数()sin()(0)4
f x x π
ωω=->的图象向左平移
4π
ω
个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,
]3
π
上为增函数，则ω的最大值为 ．
二、解答题：本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分14分)已知()()π,0,sin ,31,cos ,1∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛==x x b x a
（1） 若b a //，求x
x x
x cos sin cos sin -+的值
（2） 若b a ⊥，求x x cos sin -的值
16. (本小题满分14分)如图，B A ,是单位圆O 上的点，D C ,分别是圆O 与x 轴的两交点，
AOB ∆为正三角形。

(1)若A 点坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛54,53，求BOC ∠cos 的值
(2)若⎪⎭
⎫
⎝⎛<<=∠π320x x AOC ，四边形CABD 的周长为y ，试将y 表示成x 的函数，并求出y 的最大值。

17.(本小题满分14分)已知一条直线经过两条直线0432:1=--y x l 和0113:2=-+y x l 的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程。

18、（本题16分）已知平面直角坐标系)4,4(),2,324(,B A xOy +中，圆C 是△OAB 的外接
圆。

（1）求圆C 的方程；
（2）若过点（2，6）的直线l 被圆C 所截得的弦长为34，求直线l 的方程。

19、（本题16分）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y+1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.
20．（本题16分）已知向量a =(2cos ,2sin )x x ，b =(cos ,3cos )x x -， 函数()f x =⋅a b ，()(
)63
g x f x ax π
π
=++（a 为常数）
．（1）求函数()f x 图象的对称轴方程；（2）若函数()g x 的图象关于y 轴对称，求g(1)+g(2)+g(3)+ ……+g(2011)的值；（3）已知对任意实数12,x x ，都有1212|cos cos
|||3
3
3
x x x x π
π
π
-≤
-成立，当且仅当12x x = 时取
“=”．求证：当23
a π
>时，函数()g x 在(,)-∞+∞上是增函数．
如东县掘港高级中学2010-2011学年度第二学期调研考试
高一数学参考答案与评分标准
一、填空题： 1. 60° 2.2 3.3
6
4. 210x y +-=
5.（1，0，0）、（-1，0，0）
6. )2
3sin(2π
-=x y 7.①③ 8. x －3y+2=0 9. 3± 10. 22(2)4x y -+=
11. 6556-
12.3 13. 13 14. 32
二、解答题：
17、设交点为P，由方程组
2340
3110
x y
x y
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
解得P（5，2）. …………4分
故
2
5
OP
k=.…………6分
设所求直线的斜率为k，由于它与直线OP垂直，则
15
2
OP
k
k
=-=-，…………10分
所以所求直线的方程为
5
2(5)
2
y x
-=--，即52290
x y
+-=.…………14分
18、解：（1）设圆C 方程为,02
2=++++F Ey Dx y x
则⎪
⎩⎪
⎨⎧=+++++=+++=0
316322)324(032440
F E D F E D F ………………4分 解得D=—8，E=F=0。

所以圆C ：.16)4(2
2
=+-y x ………………8分
（2）当斜率不存在时，,342:被圆截得弦长为=x l 符合题意；…………10分
当斜率存在时，设直线,026),2(6:=-+--=-k y kx x k y l 即 因为被圆截得弦长为34，所以圆心到直线距离为2， 所以
,3
4
,21|
264|2
-==+-+k k k k 解得 …………14分
所以直线.02634),2(3
4
6:=-+--
=-y x x y l 即 ………………16分 故所求直线.02634,2=-+=y x x l 或为
19、解：（1）曲线方程为（x+1）2
+（y －3）2
=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.
∵点P 、Q 在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1. …………6分 （2）∵直线PQ 与直线y=x+4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y=－x+b.
将直线y=－x+b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x+b 2
－6b+1=0.
Δ=4（4－b ）2
－4×2×（b 2－6b+1）>0，得2－32<b<2+32.…………10分
由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2
1
62+-b b .
y 1·y 2=b 2
－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2
162+-b b +4b.
∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0， 即b 2
－6b+1+4b=0.
解得b=1∈（2－32，2+32）. …………14分 ∴所求的直线方程为y=－x+1. …………16分
20．解：（1）依题意得，
2()2cos 23sin cos f x x x x =-
1cos 23sin 2x x =+-
2cos(2)13x π
=++． ……………………………………………4分
由π2π()3x k k Z +=∈，得ππ
()26
k x k Z =-∈，
即函数()f x 的对称轴方程为ππ
()26
k x k Z =-∈．……………………………………6分
（2）由（1）知()2cos(
)12cos
13
3
g x x ax x ax π
π
π=+++=-++
函数()g x 的图象关于y 轴对称，∴函数()g x 是偶函数，即0a =． 故()2cos
13
g x x π
=-+ ……………………………………………8分
又函数()g x 的周期为6，(1)(2)(3)(4)(5)(6)6g g g g g g ∴+++++=．
∴g(1)+g(2)+g(3) ……+g(2011)=2010． ……………………………………………11分
（3）
已知对任意实数12,x x ，都有1212|cos
cos
|||3
3
3
x x x x π
π
π
-≤
-成立
∴对于任意12,x x 且12x x <，由已知得121221()cos
cos
()3
3
3
3
x x x x x x π
π
π
π
-≤-≤
-．
∴121122()()2cos
12cos
13
3
g x g x x ax x ax π
π
-=++---
12122(cos cos
)()3
3
x x a x x π
π
=-+-
21121222()()()()33
x x a x x a x x ππ
<
-+-=-- 23a π>，∴122()()03
a x x π--< 即当12x x <时，恒有12()()g x g x <．
所以当23
a π
>时，函数()g x 在(,)-∞+∞上是增函数．…………………………16分。