白水县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

白水县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A ．2=1
B ．2=1
C ．2=2
D ．2=2
2． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=sinx
B ．y=1g2x
C ．y=lnx
D ．y=﹣x 3
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
3． 已知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*
,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素
x 对应，则,a k 的值分别为（ ）
A ．2,3
B ．3,4
C ．3,5
D ．2,5
4． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
5． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120 6． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．
B ．|a|＞|b|
C ．a 2＞b 2
D ．a 3＞b 3
7． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．[0，1]
C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
8． 在ABC ∆中，22
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 9． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ） A ．20种 B ．24种 C ．26种 D ．30种
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若
﹣
+1=0，则角B 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
11．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底
数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x
）
{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）
A ．h （）
B ．h （）
C ．h （）
D ．h （）
12．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）
C ．（2，+∞）
D ．（﹣1，0）
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数
()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和
()22,B x y ，则12x x +的值为__________．
14．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：06222
2
=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍，则=m .
15．f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，则常数c 的值为 ．
14．已知集合
，若3∈M ，5∉M ，则实数a 的取值范围是 ．
16．椭圆
的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．
17．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式
1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .
【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.
18．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．
三、解答题
19．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且
．
（1）求A ；
（2）若，求bc 的值，并求△ABC 的面积．
20．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．
21．在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为：A （0，4）；B （﹣3，0），C （1，1） （1）求点C 到直线AB 的距离； （2）求AB 边的高所在直线的方程．
22．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，
M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．
23．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式；
,整理得下表:
,求这50天的日利润单位:元的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间
[400,550]内的概率.
24．如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望。

白水县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：由题意知圆半径r=
，
∴圆的方程为2
=2．
故选：D ．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
2． 【答案】B
【解析】解：根据y=sinx 图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；
y=lg2x =xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B 正确； 根据y=lnx 的图象，该函数非奇非偶；
根据单调性定义知y=﹣x 3在（0，+∞）上单调递减． 故选B ．
【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．
3． 【答案】D 【解析】
试题分析：分析题意可知：对应法则为31y x =+，则应有42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩（1）或4231
3331
a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩（2），
由于*
a N ∈，所以（1）式无解，解（2）式得：25a k =⎧⎨=⎩。

故选D 。

考点：映射。

4． 【答案】B
5． 【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n
n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．
6． 【答案】D
【解析】解：若a ＞0＞b ，则
，故A 错误；
若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则|a|=|b|，故B 错误； 若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则a 2＞b 2，故C 错误； 函数y=x 3在R 上为增函数，若a ＞b ，则a 3＞b 3，故D 正确； 故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．
7． 【答案】D
【解析】解：∵函数f （x ）=﹣x 2
+2ax 的对称轴为x=a ，开口向下， ∴单调间区间为[a ，+∞）
又∵f （x ）在区间[1，2]上是减函数，
∴a ≤1
∵函数g （x ）=在区间（﹣∞，﹣a ）和（﹣a ，+∞）上均为减函数，
∵g （x ）=
在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a ＞2，或﹣a ＜1， 即a ＜﹣2，或a ＞﹣1，
综上得a ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B =⇒=，即s i n 2s i n 2
A B =，
所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题．
9． 【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案； 甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案； 甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案． 故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案， 故选：A ．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
10．【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有： =
，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即﹣1=，
整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
又∵A+B+C=180°，
∴sin（B+C）=sinA，
可得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=，
则B=60°．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．11．【答案】B
【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]
=x x（lnx+1），
令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，
∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∴h（）最小，
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．
12．【答案】C
【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，
令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，
结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】
5627
【解析】
14．【答案】9 【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.
15．【答案】 6 ．
【解析】解：f （x ）=x 3﹣2cx 2+c 2x ，f ′（x ）=3x 2﹣4cx+c 2
， f ′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f ′（x ）=3x 2﹣8x+4，
令f ′（x ）＞0⇒x ＜或x ＞2，f ′（x ）＜0⇒＜x ＜2，
故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，
∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．
故答案为6
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．
16．【答案】 20 ．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ． ∴△PQF 2的周长=20．， 故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．
17．【答案】)3,0(
【解析】构造函数x x f x F 3)()(-=，则03)(')('>-=x f x F ，说明)(x F 在R 上是增函数，且
13)1()1(-=-=f F .又不等式1log 3)(log 33-<x x f 可化为1l o g 3)(l o g 33-<-x x f ，即)1()(l o g
3F x F <，∴1log 3<x ，解得30<<x .∴不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为)3,0(. 18．【答案】 2 ．
【解析】解：∵复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），
∴z=
，∴|z|=
=
=2，
故答案为：2． 【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的
模，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且cosBcosC ﹣sinBsinC=cos （B+C ）=
，
∴B+C=，
则A=；
（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，
解得：bc=4，
则S
=bcsinA=×4×=．
△ABC
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
20．【答案】
【解析】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），
∴=0，
+8=0，
∴=，
化为，代入=0，
化为：+16﹣cos2θ，
∴，
∴θ=或．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解（1）∵，
∴根据直线的斜截式方程，直线AB：，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，
∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为；
（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为，
由直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，
∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．
22．【答案】
【解析】解：方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵，∴，，
∴
所以AB与MD所成角的大小为．
（3）∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵
，，
∴，所以点B到平面OCD的距离为．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：
A（0，0，0），B（1，0，0），，，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），
，
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵
∴，
∴，AB与MD所成角的大小为．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，
由，得d==
所以点B到平面OCD的距离为．
【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．
23．【答案】
【解析】：Ⅰ当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； 当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-.
所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩
Ⅱ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.
① 38094401150015530105605
477.2
50
⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯= ② 若利润在区间[400,550]内的概率为11151018
5025
P ++==
24．【答案】
【解析】（1）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得
P （A 1）=0。

1+0。

2+0。

3=0。

6，P （A 2）=0。

1+0。

4=0。

5，
P （A 1） ＞P （A 2）, 甲应选择L i P （B 1）=0。

1+0。

2+0。

3+0。

2=0。

8，P （B 2）=0。

1+0。

4+0。

4=0。

9，
P （B 2） ＞P （B 1）,
乙应选择L 2。

（2）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知
,又由题意知，A,B 独立，。