(安徽专用)高考数学 双曲线课后作业 文 新人教A版

课后作业(五十) 双曲线
一、选择题
1．(2013·烟台调研)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±22x
D ．y ＝±12
x 2．若双曲线y 25－x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±53
x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．(2013·临沂质检)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3
4．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )
A.
x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280
＝1 5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则
|PF 1|·|PF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6．(2013·青岛模拟)设椭圆C 1的离心率为513
，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )
A.x 242－y 232＝1
B.x 2132－y 25
2＝1 C.x 232－y 242＝1 D. x 2132－y 2
122＝1 二、填空题 7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2
m 2＋4
＝1的离心率为5，则m 的值为________．
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2
＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________． 9．(2012·重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，
F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________．
三、解答题
10．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为
c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34
c ，求双曲线的离心率． 11．(2013·合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；
(3)求△F 1MF 2面积．
12．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y ＝33
x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．
解析及答案
一、选择题
1．
【解析】 由题意得b ＝1，c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，即y ＝±22
x . 【答案】 C
2．
【解析】 由双曲线的渐近线方程为y ＝±53x 可知m ＝9. ∴F (0，±14)，其到y ＝±
53x 的距离d ＝|314|14
＝3. 【答案】 B
3．
【解析】 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，焦点F (－
c ，0)． 将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4
a 2. 所以|AB |＝2×
b 2a
＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2. ∴e ＝c a ＝ 3.
【答案】 B
4． 【解析】 ∵x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦距为10，∴
c ＝5＝a 2＋b 2.① 又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2，1)在渐近线上，
∴2b a
＝1，即a ＝2b .② 由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A.
【答案】 A
5．
【解析】 设点P 在双曲线C 的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理知
4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，
即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝8，
又|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝8，
∴|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.
【答案】 B
6．
【解析】 由题意知曲线C 2是以椭圆C 1的焦点为焦点的双曲线，且2a ＝8，即a ＝4，
由椭圆的离心率知c 13＝513
，∴c ＝5， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，
∴曲线C 2的标准方程为x 216－y 29
＝1. 【答案】 A
二、填空题
7．【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4， ∴e 2
＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.
【答案】 2
8．【解析】 由题意知b a ＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6，
则c ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝3a 2c 2＝a 2＋b 2c 2＝36
，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9b 2＝27， ∴双曲线方程为x 29－y 227
＝1. 【答案】 x 29－y 227＝1 9．【解析】 ∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1相交， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 3a x ，x 2a 2
－y 2
b 2＝1消去y 得x ＝32a 4， 又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝
c ，即e ＝c a ＝324
. 【答案】 324
三、解答题
10．【解】 由l 过两点(a ，0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为
34c ，得ab a 2＋b 2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得
3(c a )4－16(c a )2＋16＝0，即3e 4－16e 2
＋16＝0，又e ＞1，
故e ＝233或e ＝2. 又∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2
a ＝ 1＋
b 2a
2＞2， ∴应舍去e ＝233
，故所求离心率e ＝2. 11．
【解】 (1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．
∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.
∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.
(2)证明 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，
MF 2→
＝(23－3，－m )．
∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，
∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，
∴MF 1→·MF 2→＝0.
(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.
由(2)知m ＝± 3.
∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.
12．
【解】 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23
x ， 即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12
＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2
12－y 2
3＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，
则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，
将直线方程代入双曲线方程得x 2
－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 20
3＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。